Série 4 — avancé

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 4 — מתקדם. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: פתרונות בקצה התחום, cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x בתוך משוואה, בחירת מודל לפי כמה נתונים, והוכחת זהות.

קצה סגור של תחום (≤\le) הוא מקום שבו פתרון מסתתר. הציבו את הקצה ובדקו.

Exercices

Exercice 1

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡(3x−30∘)=12\sin(3x - 30^\circ) = \frac12 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

−30∘≤3x−30∘≤510∘-30^\circ \le 3x - 30^\circ \le 510^\circ

תחום הזווית שבסוגריים

3x−30∘=30∘ 150∘ 390∘ 510∘\begin{aligned}3x - 30^\circ &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 390^\circ \\ \ 510^\circ\end{aligned}

כל הזוויות בתחום שהסינוס שלהן 12\frac12

x=20∘ 60∘ 140∘ 180∘\begin{aligned}x &= 20^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 140^\circ \\ \ 180^\circ\end{aligned}

המלכודת: לענות 33 ולפספס את x=180∘x = 180^\circ. הקצה כלול בתחום, והצבה מראה ש-sin⁡510∘=sin⁡150∘=12\sin 510^\circ = \sin 150^\circ = \frac12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון tan⁡α=−34\tan\alpha = -\frac34 ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. מהו sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha + \cos\alpha?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.2

Corrigé :

sin⁡α=−34cos⁡α\sin\alpha = -\tfrac34\cos\alpha

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

916cos⁡2α+cos⁡2α=1⇒cos⁡2α=1625\begin{aligned}\tfrac{9}{16}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha &= 1 \Rightarrow \cos^2\alpha \\ &= \tfrac{16}{25}\end{aligned}

מציבים בזהות היסודית

cos⁡α=−45sin⁡α=35\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac45 \\ \quad \sin\alpha &= \tfrac35\end{aligned}

ברביע השני: קוסינוס שלילי, סינוס חיובי

35−45=−15\tfrac35 - \tfrac45 = -\tfrac15

המלכודת: לקחת sin⁡α=−35\sin\alpha = -\frac35 כי הטנגנס שלילי. המינוס של הטנגנס מגיע מהקוסינוס — ברביע השני הסינוס חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הערך הגדול ביותר של פונקציה הוא 55, הקטן ביותר −1-1, המחזור שלה 90∘90^\circ, ו-f(0)=5f(0) = 5. איזו פונקציה מתאימה?

  1. f(x)=3cos⁡(90x)+2f(x) = 3\cos(90x) + 2
  2. f(x)=6cos⁡(4x)−1f(x) = 6\cos(4x) - 1
  3. f(x)=3sin⁡(4x)+2f(x) = 3\sin(4x) + 2
  4. f(x)=3cos⁡(4x)+2f(x) = 3\cos(4x) + 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D f(x)=3cos⁡(4x)+2f(x) = 3\cos(4x) + 2

Corrigé :

A=5−(−1)2=3c=5+(−1)2=2\begin{aligned}A &= \frac{5 - (-1)}{2} \\ &= 3 \\ \quad c &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

אמפליטודה וקו אמצע

360∘b=90∘⇒b=4\begin{aligned}\frac{360^\circ}{b} &= 90^\circ \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

המחזור

f(0)=3cos⁡0∘+2=5\begin{aligned}f(0) &= 3\cos 0^\circ + 2 \\ &= 5\end{aligned}

הקוסינוס מתחיל בפסגה; 3sin⁡0∘+2=23\sin 0^\circ + 2 = 2

התשובה: 3cos⁡(4x)+23\cos(4x) + 2. הגרסה עם סינוס מתחילה בקו האמצע ולא בפסגה; cos⁡(90x)\cos(90x) מבלבל מחזור עם מקדם; 6cos⁡(4x)−16\cos(4x) - 1 יורד עד −7-7.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הערך הגדול ביותר של mm שעבורו יש פתרון למשוואה 2sin⁡x=m−12\sin x = m - 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

sin⁡x=m−12\sin x = \frac{m - 1}{2}

בידוד

−1≤m−12≤1⇒−1≤m≤3-1 \le \frac{m - 1}{2} \le 1 \Rightarrow -1 \le m \le 3

תנאי הקיום

m=3⇒sin⁡x=1⇒x=90∘\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow \sin x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 90^\circ\end{aligned}

בקצה עדיין יש פתרון

המלכודת: לענות 22 (שוכחים לחלק ב-22) או לפסול את 33 כקצה. ב-m=3m = 3 הישר משיק למעגל — וזה פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha שעבורה cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0 מתקיים (1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha.

  • cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

(1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha

Voir la réponse et le corrigé
  1. 1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha — הזהות היסודית
  2. tan⁡2α=sin⁡2αcos⁡2α\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} — הגדרת הטנגנס, tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  3. (1−sin⁡2α)tan⁡2α=cos⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} — מציבים את שני הביטויים
  4. (1−sin⁡2α)tan⁡2α=sin⁡2α(1 - \sin^2\alpha)\tan^2\alpha = \sin^2\alpha — מצמצמים ב-cos⁡2α≠0\cos^2\alpha \neq 0

Corrigé :

1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha

הזהות היסודית

cos⁡2α⋅sin⁡2αcos⁡2α=sin⁡2α\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha

מצמצמים, כי cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0

המלכודת: לשכוח את התנאי cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0. בלעדיו אי אפשר לצמצם — וב-α=90∘\alpha = 90^\circ הטנגנס בכלל לא מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

עומק המים במעגן מתואר על ידי d(t)=5+3sin⁡(30t)d(t) = 5 + 3\sin(30t) מטר, כאשר tt בשעות. סירה יכולה להיכנס כשהעומק לפחות 6.56.5 מטר. כמה שעות בתחום 0≤t≤120 \le t \le 12 הסירה יכולה להיכנס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

5+3sin⁡(30t)≥6.5⇒sin⁡(30t)≥125 + 3\sin(30t) \ge 6.5 \Rightarrow \sin(30t) \ge \tfrac12

בידוד

0∘≤30t≤360∘0^\circ \le 30t \le 360^\circ

בתחום יש סיבוב אחד בדיוק

30∘≤30t≤150∘⇒1≤t≤530^\circ \le 30t \le 150^\circ \Rightarrow 1 \le t \le 5

הקשת שבה הגובה לפחות 12\frac12

5−1=45 - 1 = 4

המלכודת: לענות 11 או 55 — הרגעים שבהם העומק בדיוק 6.56.5. השאלה שואלת על משך, וזה ההפרש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המשוואה sin⁡(2x+10∘)=cos⁡40∘\sin(2x + 10^\circ) = \cos 40^\circ בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

cos⁡40∘=sin⁡50∘\cos 40^\circ = \sin 50^\circ

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

2x+10∘=50∘+360∘k או 2x+10∘=130∘+360∘k\begin{aligned}2x + 10^\circ &= 50^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ 2x + 10^\circ \\ &= 130^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

כלל הסינוס

x=20∘+180∘k או x=60∘+180∘k\begin{aligned}x &= 20^\circ + 180^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 60^\circ + 180^\circ k\end{aligned}

מחלקים הכל ב-22

x=20∘ 60∘ 200∘ 240∘\begin{aligned}x &= 20^\circ \\ \ 60^\circ \\ \ 200^\circ \\ \ 240^\circ\end{aligned}

המלכודת: לכתוב 2x+10∘=40∘2x + 10^\circ = 40^\circ. הזווית 40∘40^\circ שייכת לקוסינוס; כדי להשוות סינוס לסינוס עוברים ל-50∘50^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

האם ייתכן שלמשוואה sin⁡(ax)=0.3\sin(ax) = 0.3, כאשר a>0a > 0, יש בדיוק 7 פתרונות בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0∘≤ax<360∘a0^\circ \le ax < 360^\circ a

הזווית עוברת aa סיבובים

a=3.25:0∘≤ax<1170∘a = 3.25:\quad 0^\circ \le ax < 1170^\circ

שלושה סיבובים ועוד 90∘90^\circ

3⋅2+1=73 \cdot 2 + 1 = 7

שני פתרונות בכל סיבוב שלם, ואחד (ax≈1097.5∘ax \approx 1097.5^\circ) ברבע האחרון

ייתכן. המלכודת: לחשוב שמספר הפתרונות תמיד זוגי. זה נכון רק כשהתחום של axax הוא מספר שלם של סיבובים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

התאימו לכל פונקציה את המחזור שלה.

  • y=sin⁡(x2)y = \sin(\frac{x}{2})
  • y=cos⁡(6x)y = \cos(6x)
  • y=tan⁡(2x)y = \tan(2x)
  • y=tan⁡xy = \tan x
  • y=3cos⁡(5x)−1y = 3\cos(5x) - 1
  • 180∘180^\circ
  • 60∘60^\circ
  • 72∘72^\circ
  • 720∘720^\circ
  • 90∘90^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=sin⁡(x2)y = \sin(\frac{x}{2}) — 720∘720^\circ · y=cos⁡(6x)y = \cos(6x) — 60∘60^\circ · y=tan⁡(2x)y = \tan(2x) — 90∘90^\circ · y=tan⁡xy = \tan x — 180∘180^\circ · y=3cos⁡(5x)−1y = 3\cos(5x) - 1 — 72∘72^\circ

Corrigé :

T=360∘aT = \frac{360^\circ}{a}

לסינוס ולקוסינוס

T=180∘aT = \frac{180^\circ}{a}

לטנגנס

sin⁡(x2): T=360∘1/2=720∘\begin{aligned}\sin(\tfrac{x}{2}):\ T &= \frac{360^\circ}{1/2} \\ &= 720^\circ\end{aligned}

מקדם קטן מ-11 מותח את הגל

המלכודת: tan⁡(2x)\tan(2x). המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ, ולכן חלוקה ב-22 נותנת 90∘90^\circ ולא 180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מעגל היחידה — שלוש הזוויות
25°155°205°-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור הנקודות על מעגל היחידה של הזוויות 25∘25^\circ, 155∘155^\circ ו-205∘205^\circ. נתון sin⁡25∘≈0.4226\sin 25^\circ \approx 0.4226. חשבו בלי מחשבון את sin⁡155∘+cos⁡115∘+sin⁡205∘\sin 155^\circ + \cos 115^\circ + \sin 205^\circ, ועגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.42261826174069944

Corrigé :

sin⁡155∘=sin⁡(180∘−25∘)=sin⁡25∘\begin{aligned}\sin 155^\circ &= \sin(180^\circ - 25^\circ) \\ &= \sin 25^\circ\end{aligned}

שיקוף בציר yy

cos⁡115∘=−cos⁡65∘=−sin⁡25∘\begin{aligned}\cos 115^\circ &= -\cos 65^\circ \\ &= -\sin 25^\circ\end{aligned}

cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x, ואחר כך cos⁡(90∘−x)=sin⁡x\cos(90^\circ - x) = \sin x

sin⁡205∘=sin⁡(180∘+25∘)=−sin⁡25∘\begin{aligned}\sin 205^\circ &= \sin(180^\circ + 25^\circ) \\ &= -\sin 25^\circ\end{aligned}

חצי סיבוב

sin⁡25∘−sin⁡25∘−sin⁡25∘=−sin⁡25∘≈−0.423\sin 25^\circ - \sin 25^\circ - \sin 25^\circ = -\sin 25^\circ \approx -0.423

המלכודת: cos⁡115∘\cos 115^\circ. היא נראית רחוקה מ-25∘25^\circ, אבל 115∘=90∘+25∘115^\circ = 90^\circ + 25^\circ — הקוסינוס שלה הוא מינוס הסינוס של 25∘25^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe