Série 5 — vers le bagrut

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה 5 — לקראת הבגרות. הסדרה מערבבת את כל נושאי הפרק: שאלות בנוסח הבגרות: חקירת פונקציה מחזורית בתחום, פרמטר ומספר פתרונות, הוכיחו או הפריכו, ומודל מהחיים.

כתבו כל שלב כמו במחברת הבחינה: בידוד, בדיקת קיום, פתרון כללי, ורק בסוף הצבת kk.

Exercices

Exercice 1

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1f(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

2sin⁡(2x−60∘)+1=0⇒sin⁡(2x−60∘)=−12\begin{aligned}2\sin(2x - 60^\circ) + 1 &= 0 \Rightarrow \sin(2x - 60^\circ) \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx: f(x)=0f(x) = 0

−60∘≤2x−60∘≤300∘-60^\circ \le 2x - 60^\circ \le 300^\circ

תחום הזווית שבסוגריים

2x−60∘=−30∘ 210∘\begin{aligned}2x - 60^\circ &= -30^\circ \\ \ 210^\circ\end{aligned}

הזוויות בתחום שהסינוס שלהן −12-\frac12

x=15∘ 135∘\begin{aligned}x &= 15^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

המלכודת: לחפש רק ב-[0∘,360∘][0^\circ, 360^\circ] ולפספס את −30∘-30^\circ, או להכניס את 330∘330^\circ שמחוץ לתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

עבור אותה פונקציה, f(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1f(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ: מהו שיעור ה-xx של נקודת המקסימום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

f מרבית  ⟺  sin⁡(2x−60∘)=1f \text{ מרבית} \iff \sin(2x - 60^\circ) = 1

האמפליטודה חיובית

2x−60∘=90∘2x - 60^\circ = 90^\circ

היחידה בתחום [−60∘,300∘][-60^\circ, 300^\circ]

x=75∘f(75∘)=3\begin{aligned}x &= 75^\circ \\ \quad f(75^\circ) &= 3\end{aligned}

המלכודת: לענות 45∘45^\circ (שוכחים את ההזזה) או 90∘90^\circ (מציבים את הזווית שבסוגריים במקום xx).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתונה g(x)=2sin⁡(2x−60∘)+1+kg(x) = 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 + k. עבור אילו ערכי kk לגרף של gg אין נקודות משותפות עם ציר xx?

  1. k>3k > 3 או k<−1k < -1
  2. k≥1k \ge 1 או k≤−3k \le -3
  3. k>1k > 1 או k<−3k < -3
  4. −3<k<1-3 < k < 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C k>1k > 1 או k<−3k < -3

Corrigé :

−1≤2sin⁡(2x−60∘)+1≤3-1 \le 2\sin(2x - 60^\circ) + 1 \le 3

הטווח של ff

−1+k≤g(x)≤3+k-1 + k \le g(x) \le 3 + k

ההזזה מזיזה את כל הטווח

−1+k>0 או 3+k<0-1 + k > 0 \ \text{או}\ 3 + k < 0

הטווח כולו מעל ציר xx או כולו מתחתיו

k>1 או k<−3k > 1 \ \text{או}\ k < -3

התשובה: k>1k > 1 או k<−3k < -3. −3<k<1-3 < k < 1 הוא בדיוק המקרה ההפוך (יש חיתוך); הגרסה עם ≥\ge שוכחת שב-k=1k = 1 המינימום נוגע בציר; ו-k>3k > 3 או k<−1k < -1 מחליפה בין המינימום למקסימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: אם sin⁡α=sin⁡β\sin\alpha = \sin\beta, אז α=β\alpha = \beta.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

α=30∘ β=150∘\begin{aligned}\alpha &= 30^\circ \\ \ \beta &= 150^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

sin⁡30∘=sin⁡150∘=12\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \sin 150^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

אותו גובה על המעגל

30∘≠150∘30^\circ \neq 150^\circ

הטענה מופרכת

הטענה שגויה. זו בדיוק הסיבה שלמשוואה sin⁡x=a\sin x = a יש שתי משפחות פתרונות: α\alpha ו-180∘−α180^\circ - \alpha.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

גובה של קצה להב בטורבינת רוח הוא h(t)=40+25sin⁡(72t)h(t) = 40 + 25\sin(72t) מטר, כאשר tt בשניות והזווית 72t72t נמדדת במעלות. כמה שניות מתוך כל סיבוב הקצה נמצא בגובה של יותר מ-52.552.5 מטר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.6666666666666667

Corrigé :

T=360∘72=5\begin{aligned}T &= \frac{360^\circ}{72} \\ &= 5\end{aligned}

סיבוב בן 55 שניות

40+25sin⁡(72t)>52.5⇒sin⁡(72t)>1240 + 25\sin(72t) > 52.5 \Rightarrow \sin(72t) > \tfrac12

בידוד

30∘<72t<150∘30^\circ < 72t < 150^\circ

בסיבוב הראשון

512<t<2512⇒2512−512=53≈1.67\tfrac{5}{12} < t < \tfrac{25}{12} \Rightarrow \tfrac{25}{12} - \tfrac{5}{12} = \tfrac53 \approx 1.67

המלכודת: לענות 2.082.08, הרגע שבו הקצה יורד חזרה מתחת ל-52.552.5 מטר. המשך הוא ההפרש בין שני הרגעים, לא אחד מהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון sin⁡α=13\sin\alpha = \frac13 ו-90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ. חשבו את sin⁡(180∘−α)+cos⁡(−α)\sin(180^\circ - \alpha) + \cos(-\alpha), ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.60947570824873

Corrigé :

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α=13\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ &= \tfrac13\end{aligned}

שיקוף בציר yy

cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha

שיקוף בציר xx

cos⁡α=−1−19=−223\begin{aligned}\cos\alpha &= -\sqrt{1 - \tfrac19} \\ &= -\tfrac{2\sqrt2}{3}\end{aligned}

ברביע השני הקוסינוס שלילי

13−223=1−223≈−0.61\tfrac13 - \tfrac{2\sqrt2}{3} = \tfrac{1 - 2\sqrt2}{3} \approx -0.61

המלכודת: cos⁡(−α)=−cos⁡α\cos(-\alpha) = -\cos\alpha. זה הכלל של הסינוס. הקוסינוס זוגי, והמינוס בתשובה מגיע מהרביע השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הפתרון הכללי של המשוואה tan⁡(3x+15∘)=−3\tan(3x + 15^\circ) = -\sqrt3 נכתב בצורה x=p+qkx = p + q k, כאשר 0<p<q0 < p < q. השלימו.

pp = ____ מעלות, qq = ____ מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : pp = 35 מעלות, qq = 60 מעלות.

Corrigé :

3x+15∘=−60∘+180∘k3x + 15^\circ = -60^\circ + 180^\circ k

tan⁡(−60∘)=−3\tan(-60^\circ) = -\sqrt3

x=−25∘+60∘kx = -25^\circ + 60^\circ k

מחסירים 15∘15^\circ ומחלקים הכל ב-33

x=35∘+60∘kx = 35^\circ + 60^\circ k

אותה משפחה, מתחילים מ-k=1k = 1

המלכודת: q=120∘q = 120^\circ, מתוך הרגל של 360∘360^\circ בסינוס. המחזור של הטנגנס הוא 180∘180^\circ, ואחרי חלוקה ב-33 נשארים 60∘60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

עבור אילו ערכי mm יש למשוואה cos⁡x=2m−3\cos x = 2m - 3 בדיוק פתרון אחד בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ?

  1. m=2m = 2 בלבד
  2. m=1m = 1 או m=2m = 2
  3. 1≤m≤21 \le m \le 2
  4. אין ערך כזה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B m=1m = 1 או m=2m = 2

Corrigé :

−1<c<1-1 < c < 1

נסמן c=2m−3c = 2m - 3. ישר אנכי x=cx = c חותך את המעגל פעמיים: שני פתרונות

c=1⇒x=0∘;c=−1⇒x=180∘\begin{aligned}c &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0^\circ;\quad c \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= 180^\circ\end{aligned}

בקצוות הישר משיק: פתרון אחד

2m−3=1⇒m=2;2m−3=−1⇒m=1\begin{aligned}2m - 3 &= 1 \Rightarrow m \\ &= 2;\quad 2m - 3 \\ &= -1 \Rightarrow m \\ &= 1\end{aligned}

התשובה: m=1m = 1 או m=2m = 2. 1≤m≤21 \le m \le 2 מתאר מתי יש פתרון, לא מתי הוא יחיד; ומי שבחר m=2m = 2 בלבד שכח ש-cos⁡x=−1\cos x = -1 מתקבל רק ב-180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הגרף של f
0°30°60°90°120°150°180°210°240°270°300°330°360°-2-101234xy

בציור הגרף של f(x)=2cos⁡(x−b)+1f(x) = 2\cos(x - b) + 1, כאשר 0∘<b<180∘0^\circ < b < 180^\circ. מהו bb?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

max⁡=3 ב-x=60∘\begin{aligned}\max &= 3 \text{ ב-} x \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הפסגה הראשונה בגרף

cos⁡(x−b)=1  ⟺  x−b=0∘\begin{aligned}\cos(x - b) &= 1 \iff x - b \\ &= 0^\circ\end{aligned}

לקוסינוס יש פסגה כשהזווית שבסוגריים אפס

b=60∘b = 60^\circ

המלכודת: לקרוא את החיתוך עם ציר yy (f(0)=2f(0) = 2) ולנחש משם. ההזזה נקראת מהמקום שבו הפסגה עברה — מ-0∘0^\circ ל-60∘60^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha מתקיים sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha.

  • α\alpha זווית כלשהי
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha

Voir la réponse et le corrigé
  1. sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — נוסחת הכפל המקוצר להפרש ריבועים
  2. sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 — הזהות היסודית
  3. sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha — מציבים 11 בגורם השני

Corrigé :

sin⁡4α−cos⁡4α=(sin⁡2α−cos⁡2α)(sin⁡2α+cos⁡2α)\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)

הפרש ריבועים

=(sin⁡2α−cos⁡2α)⋅1= (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)\cdot 1

הזהות היסודית

המלכודת: להציב כמה זוויות, לראות שוויון ולהכריז שהוכחתם. שוויון בכמה דוגמאות אינו הוכחה לכל α\alpha.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe