Le cercle unité

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במשולש ישר זווית הסינוס והקוסינוס הוגדרו רק לזוויות חדות. אבל גלגל שמסתובב, מחוג של שעון או גובה של גל עוברים את 90∘90^\circ בלי לעצור. כדי לדבר עליהם צריך הגדרה שעובדת לכל זווית.

ההגדרה על מעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 11. מסובבים קרן מהכיוון החיובי של ציר xx נגד כיוון השעון בזווית α\alpha, והיא פוגשת את המעגל בנקודה PP.

P=(cos⁡α, sin⁡α)P = (\cos\alpha,\ \sin\alpha)

הקוסינוס הוא שיעור ה-xx של הנקודה, והסינוס הוא שיעור ה-yy.

לזווית חדה זו בדיוק ההגדרה המוכרת: מורידים אנך מ-PP לציר xx ומקבלים משולש ישר זווית שהיתר שלו 11. הניצב שמול α\alpha מחולק ביתר — ומכיוון שהיתר 11, הניצב עצמו הוא sin⁡α\sin\alpha, והוא הגובה של PP.

לאיזו נקודה על מעגל היחידה מגיעים בזווית 90∘90^\circ? מה אם כן cos⁡90∘\cos 90^\circ ו-sin⁡90∘\sin 90^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

הקרן מצביעה ישר למעלה, לנקודה (0, 1)(0,\,1). לכן cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0 ו-sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 — ערכים שהמשולש לא יכול היה לתת.

הסימנים בארבעת הרביעים

I: 0∘<α<90∘\text{I}:\ 0^\circ<\alpha<90^\circ

sin⁡>0\sin>0, cos⁡>0\cos>0 — הנקודה מימין ולמעלה.

II: 90∘<α<180∘\text{II}:\ 90^\circ<\alpha<180^\circ

sin⁡>0\sin>0, cos⁡<0\cos<0 — משמאל ולמעלה.

III: 180∘<α<270∘\text{III}:\ 180^\circ<\alpha<270^\circ

sin⁡<0\sin<0, cos⁡<0\cos<0 — משמאל ולמטה.

IV: 270∘<α<360∘\text{IV}:\ 270^\circ<\alpha<360^\circ

sin⁡<0\sin<0, cos⁡>0\cos>0 — מימין ולמטה.

מה הסימן של cos⁡200∘\cos 200^\circ? ושל sin⁡200∘\sin 200^\circ?

Voir la réponse et le corrigé

200∘200^\circ ברביע השלישי: הנקודה משמאל לציר yy ומתחת לציר xx. שניהם שליליים.

שלוש הזוויות המיוחדות

sin⁡30∘=12cos⁡30∘=32\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \tfrac{1}{2} \\ \quad \cos 30^\circ &= \tfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

מחצית משולש שווה צלעות.

sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 45^\circ &= \cos 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}

משולש ישר זווית שווה שוקיים.

sin⁡60∘=32cos⁡60∘=12\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \tfrac{\sqrt3}{2} \\ \quad \cos 60^\circ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

הסינוס והקוסינוס של 30∘30^\circ מתחלפים.

זווית ברביע אחר נשענת על אחת מהן. 150∘150^\circ היא 180∘−30∘180^\circ - 30^\circ: הנקודה שלה היא שיקוף של הנקודה של 30∘30^\circ בציר yy — אותו גובה, xx הפוך. לכן sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac12 ו-cos⁡150∘=−32\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt3}{2}.

חישוב cos⁡240∘\cos 240^\circ

מוצאים רביע, זווית חדה שעליה נשענים, וסימן.

240∘=180∘+60∘240^\circ = 180^\circ + 60^\circ

רביע שלישי, נשען על 60∘60^\circ

∣cos⁡240∘∣=cos⁡60∘=12\begin{aligned}|\cos 240^\circ| &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}

הגודל נקבע לפי הזווית החדה

cos⁡240∘=−12\cos 240^\circ = -\tfrac12

ברביע השלישי הקוסינוס שלילי

זווית גדולה מ-360∘360^\circ או שלילית היא פשוט עוד סיבוב, או סיבוב עם כיוון השעון: sin⁡390∘=sin⁡30∘\sin 390^\circ = \sin 30^\circ, והנקודה של −30∘-30^\circ היא הנקודה של 330∘330^\circ.

פיתגורס במעגל

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

המרחק של PP מהראשית הוא 11, ושיעוריה הם cos⁡α\cos\alpha ו-sin⁡α\sin\alpha.

נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha = 0.6. מה אפשר להגיד על sin⁡α\sin\alpha בלי לדעת באיזה רביע α\alpha?

Voir la réponse et le corrigé

sin⁡2α=1−0.36=0.64\sin^2\alpha = 1 - 0.36 = 0.64, ולכן sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 או sin⁡α=−0.8\sin\alpha = -0.8. רק הרביע מכריע: ברביע I חיובי, ברביע IV שלילי.

הטעויות שחוזרות בפרק.

cos⁡120∘=cos⁡60∘=12\begin{aligned}\cos 120^\circ &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac12\end{aligned}
cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\tfrac12

ברביע השני הקוסינוס שלילי. הגודל נלקח מ-60∘60^\circ, הסימן מהרביע.

sin⁡210∘=12\sin 210^\circ = \tfrac12
sin⁡210∘=−12\sin 210^\circ = -\tfrac12

210∘210^\circ מתחת לציר xx — הגובה שלילי.

sin⁡2α=sin⁡(α2)\sin^2\alpha = \sin(\alpha^2)
sin⁡2α=(sin⁡α)2\sin^2\alpha = (\sin\alpha)^2

הריבוע חל על הערך של הסינוס, לא על הזווית.

Exercices

Exercice 1

מהו cos⁡120°\cos 120°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.5

Corrigé :

90∘<120∘<180∘90^\circ < 120^\circ < 180^\circ

ברביע השני

cos⁡120°=−cos⁡60°=−0.5\begin{aligned}\cos 120° &= -\cos 60° \\ &= -0.5\end{aligned}

שם הקוסינוס שלילי

ברביע השני הקוסינוס שלילי והסינוס חיובי. זה מה שהופך משולש לקהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו sin⁡225∘\sin 225^\circ?

  1. −32-\frac{\sqrt3}{2}
  2. 22\frac{\sqrt2}{2}
  3. −22-\frac{\sqrt2}{2}
  4. −12-\frac12
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −22-\frac{\sqrt2}{2}

Corrigé :

225∘=180∘+45∘225^\circ = 180^\circ + 45^\circ

רביע שלישי, נשען על 45∘45^\circ

∣sin⁡225∘∣=sin⁡45∘=22\begin{aligned}|\sin 225^\circ| &= \sin 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2}\end{aligned}

הגודל

sin⁡225∘=−22\sin 225^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

ברביע השלישי הסינוס שלילי

התשובה: −22-\frac{\sqrt2}{2}. מי שבחר 22\frac{\sqrt2}{2} שכח את הסימן של הרביע השלישי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מיינו את הזוויות לפי הסימן של הסינוס שלהן.

  • sin⁡>0\sin>0
  • sin⁡<0\sin<0
  • −20∘-20^\circ
  • 100∘100^\circ
  • 170∘170^\circ
  • 200∘200^\circ
  • 290∘290^\circ
  • 45∘45^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100∘100^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 170∘170^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 45∘45^\circ — sin⁡>0\sin>0 · 200∘200^\circ — sin⁡<0\sin<0 · 290∘290^\circ — sin⁡<0\sin<0 · −20∘-20^\circ — sin⁡<0\sin<0

Corrigé :

0∘<α<180∘⇒sin⁡α>00^\circ<\alpha<180^\circ \Rightarrow \sin\alpha>0

חצי המעגל העליון

180∘<α<360∘⇒sin⁡α<0180^\circ<\alpha<360^\circ \Rightarrow \sin\alpha<0

חצי המעגל התחתון

−20∘→340∘-20^\circ \to 340^\circ

זווית שלילית: מסובבים עם כיוון השעון

המלכודת: 100∘100^\circ ו-170∘170^\circ. הן גדולות מ-90∘90^\circ, אבל עדיין בחצי העליון — הסינוס חיובי עד 180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מעגל היחידה — הנקודה P
P-1-0.500.51-1-0.50.51xy

הקרן בזווית 150∘150^\circ פוגשת את מעגל היחידה בנקודה PP. מהם שיעורי PP?

  1. (32, 12)\left(\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)
  2. (−12, 32)\left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)
  3. (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)
  4. (12, −32)\left(\frac12,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right)

Corrigé :

P=(cos⁡150∘, sin⁡150∘)P = (\cos 150^\circ,\ \sin 150^\circ)

ההגדרה

150∘=180∘−30∘150^\circ = 180^\circ - 30^\circ

שיקוף של 30∘30^\circ בציר yy

P=(−32, 12)P = \left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\ \tfrac12\right)

ה-xx מתהפך, הגובה נשאר

התשובה: (−32, 12)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ \frac12\right). הזוג (−12, 32)\left(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) שייך ל-120∘120^\circ — נשען על 60∘60^\circ ולא על 30∘30^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

התאימו לכל ביטוי את ערכו.

  • sin⁡30∘\sin 30^\circ
  • cos⁡180∘\cos 180^\circ
  • sin⁡360∘\sin 360^\circ
  • cos⁡45∘\cos 45^\circ
  • sin⁡240∘\sin 240^\circ
  • −32-\frac{\sqrt3}{2}
  • −1-1
  • 22\frac{\sqrt2}{2}
  • 12\frac12
  • 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡30∘\sin 30^\circ — 12\frac12 · cos⁡180∘\cos 180^\circ — −1-1 · sin⁡360∘\sin 360^\circ — 00 · cos⁡45∘\cos 45^\circ — 22\frac{\sqrt2}{2} · sin⁡240∘\sin 240^\circ — −32-\frac{\sqrt3}{2}

Corrigé :

(cos⁡180∘,sin⁡180∘)=(−1, 0)(\cos 180^\circ, \sin 180^\circ) = (-1,\,0)

חצי סיבוב

(cos⁡360∘,sin⁡360∘)=(1, 0)(\cos 360^\circ, \sin 360^\circ) = (1,\,0)

סיבוב שלם

240∘=180∘+60∘240^\circ = 180^\circ + 60^\circ

רביע שלישי, נשען על 60∘60^\circ

המלכודת: sin⁡240∘\sin 240^\circ. הזווית נשענת על 60∘60^\circ, ולכן הגודל הוא 32\frac{\sqrt3}{2} ולא 12\frac12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון ש-sin⁡x=0.6\sin x = 0.6 ו-xx זווית חדה. מהו cos⁡x\cos x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.8

Corrigé :

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

הזהות היסודית

cos⁡2x=1−0.36=0.64\begin{aligned}\cos^2 x &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}
cos⁡x=0.8\cos x = 0.8

חיובי, כי הזווית חדה

התנאי «חדה» הוא שמכריע את הסימן — בלעדיו יש שתי תשובות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

אם sin⁡α=0.6\sin \alpha = 0.6, מהו cos⁡2α\cos^2 \alpha?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.64

Corrigé :

sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1

הזהות היסודית

0.36+cos⁡2=10.36 + \cos^2 = 1

On remplace (מציבים)

cos⁡2=0.64\cos^2 = 0.64

מעבירים

זהו פיתגורס במעגל היחידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מעגל היחידה — הנקודה P ברביע השלישי
P-1-0.500.51-1.3-0.8-0.30.20.71.2xy

הנקודה PP על מעגל היחידה נמצאת ברביע השלישי, ושיעור ה-xx שלה הוא −0.6-0.6. PP מתאימה לזווית α\alpha. מהו sin⁡α\sin\alpha?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -0.8

Corrigé :

cos⁡α=−0.6\cos\alpha = -0.6

שיעור ה-xx הוא הקוסינוס

sin⁡2α=1−0.36=0.64\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

פיתגורס במעגל

sin⁡α=−0.8\sin\alpha = -0.8

ברביע השלישי הגובה שלילי

המלכודת: לענות 0.80.8. השורש נותן שני סימנים, והרביע השלישי בוחר את השלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

האם ייתכן שקיימת זווית α\alpha שעבורה sin⁡α=0.8\sin\alpha = 0.8 ו-cos⁡α=0.5\cos\alpha = 0.5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

0.82+0.52=0.64+0.25=0.89\begin{aligned}0.8^2 + 0.5^2 &= 0.64 + 0.25 \\ &= 0.89\end{aligned}

בודקים את פיתגורס במעגל

0.89≠10.89 \neq 1

הנקודה (0.5, 0.8)(0.5,\,0.8) אינה על מעגל היחידה

לא ייתכן. כל אחד מהערכים לבד אפשרי, אבל יחד הם חייבים לקיים sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הוכיחו את הזהות היסודית sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, בעזרת מעגל היחידה.

  • נקודה PP על מעגל היחידה, שרדיוסו 11
  • cos⁡x\cos x הוא שיעור ה-xx של PP, ו-sin⁡x\sin x הוא שיעור ה-yy

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Voir la réponse et le corrigé
  1. P=(cos⁡x, sin⁡x)P = (\cos x,\ \sin x) — הגדרת הסינוס והקוסינוס על מעגל היחידה
  2. המרחק מהראשית אל PP שווה ל-11 — PP נמצאת על המעגל שרדיוסו 11
  3. (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1\sqrt{(\cos x)^2 + (\sin x)^2} = 1 — נוסחת המרחק בין (0,0)(0,0) ל-PP
  4. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 — העלאת שני האגפים בריבוע
Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe