Identités et symétries

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הנקודה PP של הזווית α\alpha יושבת על מעגל סימטרי לגמרי. משקפים אותה בציר xx, בציר yy או באלכסון y=xy=x — ומקבלים נקודה של זווית אחרת, עם אותם מספרים בדיוק, אולי עם סימן הפוך. כל הזהויות של הפרק הן שיקופים כאלה.

הנקודה P בזווית α, והשיקופים שלה Q ו-R
PQR-1-0.500.51-1-0.50.51xy

בציור QQ היא השיקוף של PP בציר xx. לאיזו זווית QQ מתאימה, ומה אפשר להסיק על sin⁡(−α)\sin(-\alpha)?

Voir la réponse et le corrigé

QQ מתאימה לזווית −α-\alpha (סיבוב באותו גודל עם כיוון השעון). השיקוף בציר xx שומר על ה-xx והופך את הגובה, ולכן cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos\alpha ו-sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha.

הסימטריות

sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(-\alpha) &= -\sin\alpha \\ \quad \cos(-\alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר xx.

sin⁡(180∘−α)=sin⁡αcos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\begin{aligned}\sin(180^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(180^\circ - \alpha) &= -\cos\alpha\end{aligned}

שיקוף בציר yy — הנקודה RR בציור.

sin⁡(α+360∘)=sin⁡αcos⁡(α+360∘)=cos⁡α\begin{aligned}\sin(\alpha + 360^\circ) &= \sin\alpha \\ \quad \cos(\alpha + 360^\circ) &= \cos\alpha\end{aligned}

סיבוב שלם — מחזוריות.

הזווית המשלימה: cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

במשולש ישר זווית שתי הזוויות החדות משלימות ל-90∘90^\circ, והניצב שמול האחת הוא הניצב שליד השנייה. על המעגל זה שיקוף באלכסון y=xy=x: השיקוף מחליף בין xx ל-yy.

cos⁡(90∘−α)=sin⁡αsin⁡(90∘−α)=cos⁡α\begin{aligned}\cos(90^\circ - \alpha) &= \sin\alpha \\ \qquad \sin(90^\circ - \alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}

השלימו: cos⁡70∘=sin⁡ ?\cos 70^\circ = \sin\ ?

Voir la réponse et le corrigé

cos⁡70∘=sin⁡(90∘−70∘)=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ. בודקים במחשבון: שניהם בערך 0.3420.342.

הטנגנס

tan⁡α=sin⁡αcos⁡αcos⁡α≠0\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \qquad \cos\alpha \neq 0\end{aligned}

הטנגנס הוא השיפוע של הקרן OPOP. ב-90∘90^\circ וב-270∘270^\circ הקרן אנכית — ואין לה שיפוע.

מסימן המונה והמכנה: הטנגנס חיובי ברביעים I ו-III ושלילי ב-II וב-IV.

ערכים מדויקים מתוך קוסינוס

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-α\alpha ברביע השלישי. מצאו את sin⁡α\sin\alpha ואת tan⁡α\tan\alpha.

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

ברביע השלישי הסינוס שלילי

tan⁡α=−12/13−5/13=125\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5}\end{aligned}

מינוס חלקי מינוס — הטנגנס חיובי ברביע השלישי

שלוש החלפות שעולות נקודות.

sin⁡(−α)=sin⁡α\sin(-\alpha) = \sin\alpha
sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha

הקוסינוס זוגי, הסינוס אי-זוגי. השיקוף בציר xx הופך את הגובה.

tan⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

שיפוע הוא yx\frac{y}{x}, והגובה הוא הסינוס.

sin⁡2α=0.64⇒sin⁡α=0.8\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 0.64 \Rightarrow \sin\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}
sin⁡α=±0.8\sin\alpha = \pm 0.8

הזהות לא יודעת באיזה רביע אתם — הנתון על הרביע כן.

זהות נכונה לכל זווית, ומוכיחים אותה. משוואה נכונה רק לזוויות מסוימות, ופותרים אותה. «הוכיחו כי» מבקש זהות — אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכחתם.

Exercices

Exercice 1

נתון cos⁡α=−513\cos\alpha = -\frac{5}{13} ו-180∘<α<270∘180^\circ < \alpha < 270^\circ. מהו tan⁡α\tan\alpha? (תשובה עשרונית)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.4

Corrigé :

sin⁡2α=1−25169=144169\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - \tfrac{25}{169} \\ &= \tfrac{144}{169}\end{aligned}

הזהות היסודית

sin⁡α=−1213\sin\alpha = -\tfrac{12}{13}

רביע שלישי

tan⁡α=−12/13−5/13=125=2.4\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-12/13}{-5/13} \\ &= \tfrac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

שני שליליים

המלכודת: −2.4-2.4. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן הטנגנס חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

לאיזה ביטוי שווה cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) לכל זווית α\alpha?

  1. −sin⁡α-\sin\alpha
  2. −cos⁡α-\cos\alpha
  3. sin⁡α\sin\alpha
  4. cos⁡α\cos\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −cos⁡α-\cos\alpha

Corrigé :

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף של PP בציר yy

(x, y)→(−x, y)(x,\,y) \to (-x,\,y)

ה-xx מתהפך והגובה נשאר

cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha

הקוסינוס הוא ה-xx

התשובה: −cos⁡α-\cos\alpha. «cos⁡α\cos\alpha» מבלבל עם cos⁡(−α)\cos(-\alpha); «sin⁡α\sin\alpha» מבלבל עם cos⁡(90∘−α)\cos(90^\circ - \alpha).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הביעו באמצעות sin⁡α\sin\alpha את הביטוי cos⁡2α−1\cos^2\alpha - 1.

  1. sin⁡2α\sin^2\alpha
  2. −sin⁡2α-\sin^2\alpha
  3. 1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha
  4. −sin⁡α-\sin\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −sin⁡2α-\sin^2\alpha

Corrigé :

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha

מהזהות היסודית

cos⁡2α−1=1−sin⁡2α−1\cos^2\alpha - 1 = 1 - \sin^2\alpha - 1

On remplace (מציבים)

=−sin⁡2α= -\sin^2\alpha

מצמצמים

התשובה: −sin⁡2α-\sin^2\alpha. «1−sin⁡2α1 - \sin^2\alpha» הוא cos⁡2α\cos^2\alpha עצמו — שכחו להחסיר את ה-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

האם ייתכן ש-tan⁡α=3\tan\alpha = 3, וגם sin⁡α<0\sin\alpha < 0 וגם cos⁡α>0\cos\alpha > 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

sin⁡α<0, cos⁡α>0\sin\alpha < 0,\ \cos\alpha > 0

רביע רביעי

tan⁡α=−+<0\tan\alpha = \frac{-}{+} < 0

ברביע הרביעי הטנגנס שלילי

3>03 > 0

סתירה

לא ייתכן. טנגנס חיובי דורש סינוס וקוסינוס באותו סימן — רביע I או III.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון tan⁡α=2\tan\alpha = 2 ו-α\alpha זווית חדה. מהו cos⁡2α\cos^2\alpha? (תשובה עשרונית)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.2

Corrigé :

sin⁡α=2cos⁡α\sin\alpha = 2\cos\alpha

מ-tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=2\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2

4cos⁡2α+cos⁡2α=14\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

מציבים בזהות היסודית

cos⁡2α=15=0.2\begin{aligned}\cos^2\alpha &= \tfrac15 \\ &= 0.2\end{aligned}

המלכודת: להציב sin⁡α=2\sin\alpha = 2. הנתון הוא על היחס, לא על הסינוס — ולכן מבטאים את הסינוס באמצעות הקוסינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון cos⁡α=0.28\cos\alpha = 0.28 ו-270∘<α<360∘270^\circ < \alpha < 360^\circ. בחישוב של sin⁡α\sin\alpha שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha
sin⁡2α=1−0.0784=0.9216\begin{aligned}\sin^2\alpha &= 1 - 0.0784 \\ &= 0.9216\end{aligned}
sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡α=0.96\sin\alpha = 0.96 → sin⁡α=−0.96\sin\alpha = -0.96

Corrigé :

sin⁡2α=0.9216\sin^2\alpha = 0.9216

עד כאן נכון

sin⁡α=±0.96\sin\alpha = \pm 0.96

לשורש שני סימנים

270∘<α<360∘⇒sin⁡α<0270^\circ<\alpha<360^\circ \Rightarrow \sin\alpha<0

ברביע הרביעי הגובה שלילי

המלכודת: לקחת את השורש החיובי מתוך הרגל. הרביע הרביעי נמצא מתחת לציר xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

התאימו לכל ביטוי את הביטוי השווה לו, לכל α\alpha שבו הם מוגדרים.

  • sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha)
  • cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha)
  • sin⁡(−α)\sin(-\alpha)
  • cos⁡(−α)\cos(-\alpha)
  • tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ)
  • −cos⁡α-\cos\alpha
  • −sin⁡α-\sin\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha
  • tan⁡α\tan\alpha
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha) — sin⁡α\sin\alpha · cos⁡(180∘−α)\cos(180^\circ - \alpha) — −cos⁡α-\cos\alpha · sin⁡(−α)\sin(-\alpha) — −sin⁡α-\sin\alpha · cos⁡(−α)\cos(-\alpha) — cos⁡α\cos\alpha · tan⁡(α+180∘)\tan(\alpha + 180^\circ) — tan⁡α\tan\alpha

Corrigé :

180∘−α180^\circ - \alpha

שיקוף בציר yy: הגובה נשאר, ה-xx מתהפך

−α-\alpha

שיקוף בציר xx: ה-xx נשאר, הגובה מתהפך

α+180∘\alpha + 180^\circ

הנקודה הנגדית: שני הסימנים מתהפכים, והמנה לא משתנה

המלכודת: להחליף בין sin⁡(−α)\sin(-\alpha) ל-sin⁡(180∘−α)\sin(180^\circ - \alpha). במינוס הגובה מתהפך; ב-180∘180^\circ פחות הוא נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו כי לכל זווית α\alpha מתקיים (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2.

  • α\alpha זווית כלשהי
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

(sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2

Voir la réponse et le corrigé
  1. (sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר לסכום
  2. (sin⁡α−cos⁡α)2=sin⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha — נוסחת הכפל המקוצר להפרש
  3. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2sin⁡2α+2cos⁡2α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha — מחברים — האיברים המעורבים מתבטלים
  4. 2sin⁡2α+2cos⁡2α=2(sin⁡2α+cos⁡2α)2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) — הוצאת גורם משותף
  5. (sin⁡α+cos⁡α)2+(sin⁡α−cos⁡α)2=2(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2 — הזהות היסודית

Corrigé :

2(sin⁡2α+cos⁡2α)=2⋅1=2\begin{aligned}2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

פותחים, מבטלים, ומציבים את הזהות

המלכודת: להציב α=0∘\alpha = 0^\circ, לקבל 22 ולהכריז שהוכחתם. דוגמה אחת לא מוכיחה זהות — צריך לעבוד עם α\alpha כללית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ \approx 0.342. חשבו בלי מחשבון את cos⁡70∘+sin⁡160∘+sin⁡(−20∘)\cos 70^\circ + \sin 160^\circ + \sin(-20^\circ). (שלוש ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.342

Corrigé :

cos⁡70∘=sin⁡20∘\cos 70^\circ = \sin 20^\circ

הזווית המשלימה

sin⁡160∘=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡20∘\begin{aligned}\sin 160^\circ &= \sin(180^\circ - 20^\circ) \\ &= \sin 20^\circ\end{aligned}

שיקוף בציר yy

sin⁡(−20∘)=−sin⁡20∘\sin(-20^\circ) = -\sin 20^\circ

שיקוף בציר xx

sin⁡20∘+sin⁡20∘−sin⁡20∘=sin⁡20∘≈0.342\sin 20^\circ + \sin 20^\circ - \sin 20^\circ = \sin 20^\circ \approx 0.342

המלכודת: sin⁡(−20∘)\sin(-20^\circ) הוא מינוס sin⁡20∘\sin 20^\circ. מי שהתעלם מהמינוס קיבל 1.0261.026.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

פשטו את tan⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha (עבור cos⁡α≠0\cos\alpha \neq 0).

  1. sin⁡α\sin\alpha
  2. sin⁡2α\sin^2\alpha
  3. 11
  4. cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A sin⁡α\sin\alpha

Corrigé :

tan⁡α⋅cos⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α\tan\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha

מציבים את הגדרת הטנגנס

=sin⁡α= \sin\alpha

מצמצמים את cos⁡α\cos\alpha

התשובה: sin⁡α\sin\alpha. «cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}» מתקבל ממי שהפך את הטנגנס ל-cos⁡sin⁡\frac{\cos}{\sin}.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe