Équations trigonométriques

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

המחשבון נותן לכל משוואה זווית אחת. המעגל מראה שבכל סיבוב יש בדרך כלל שתיים, ושהסיבובים לא נגמרים. זו לא טעות חישוב — זו השאלה מה בדיוק מבקשים למצוא.

מתי יש פתרון בכלל

הסינוס והקוסינוס הם שיעורים של נקודה על מעגל שרדיוסו 11, ולכן הם תמיד בין −1-1 ל-11. הטנגנס, לעומתם, מקבל כל ערך.

sin⁡x=a cos⁡x=a\begin{aligned}\sin x &= a \\ \ \cos x &= a\end{aligned}

יש פתרון רק כאשר −1≤a≤1-1 \le a \le 1.

tan⁡x=a\tan x = a

יש פתרון לכל aa.

למי מהמשוואות יש פתרון: cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9, sin⁡x=1.1\sin x = 1.1, tan⁡x=1.1\tan x = 1.1?

Voir la réponse et le corrigé

ל-cos⁡x=−0.9\cos x = -0.9 ול-tan⁡x=1.1\tan x = 1.1 יש. ל-sin⁡x=1.1\sin x = 1.1 אין — הישר בגובה 1.11.1 עובר מעל המעגל.

הפתרון הכללי

אחרי סיבוב שלם חוזרים לאותה נקודה, ולכן לכל פתרון מוסיפים 360∘k360^\circ k, כאשר kk מספר שלם. זה הפתרון הכללי — כל הפתרונות בבת אחת.

sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+360∘k או x=180∘−α+360∘k\begin{aligned}\sin x &= \sin\alpha \iff x \\ &= \alpha + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 180^\circ - \alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו גובה, סימטריות לציר yy.

cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= \cos\alpha \iff x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

שתי נקודות באותו רוחב, סימטריות לציר xx.

tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+180∘k\begin{aligned}\tan x &= \tan\alpha \iff x \\ &= \alpha + 180^\circ k\end{aligned}

הטנגנס חוזר על עצמו כל חצי סיבוב.

פתרון כללי ופתרונות בתחום

פתרו sin⁡x=−12\sin x = -\frac12: פתרון כללי, ופתרונות בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

α=−30∘\alpha = -30^\circ

זווית שהסינוס שלה −12-\frac12 (המחשבון נותן אותה)

x=−30∘+360∘k או x=210∘+360∘k\begin{aligned}x &= -30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 210^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

180∘−(−30∘)=210∘180^\circ - (-30^\circ) = 210^\circ

k=1: x=330∘k=0: x=210∘\begin{aligned}k &= 1:\ x \\ &= 330^\circ \qquad k \\ &= 0:\ x \\ &= 210^\circ\end{aligned}

בוחרים kk כך שהפתרון ייכנס לתחום

x=210∘ 330∘\begin{aligned}x &= 210^\circ \\ \ 330^\circ\end{aligned}

שני פתרונות, שניהם בחצי התחתון של המעגל

פתרו cos⁡x=12\cos x = \frac12 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ.

Voir la réponse et le corrigé

x=±60∘+360∘kx = \pm 60^\circ + 360^\circ k. מ-+60∘+60^\circ עם k=0k=0 מקבלים 60∘60^\circ, ומ-−60∘-60^\circ עם k=1k=1 מקבלים 300∘300^\circ. שימו לב: הכלל של הקוסינוס הוא ±\pm, לא 180∘180^\circ פחות.

התחום קובע כמה פתרונות רושמים

0∘≤x<360∘0^\circ \le x < 360^\circ

סיבוב אחד — לרוב שני פתרונות.

0∘≤x≤90∘0^\circ \le x \le 90^\circ

לפעמים רק אחד נכנס.

x כלשהוx \ \text{כלשהו}

אינסוף פתרונות — כותבים את הפתרון הכללי.

שלוש הטעויות של המשוואות.

sin⁡x=12⇒x=30∘\begin{aligned}\sin x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= 30^\circ\end{aligned}
x=30∘+360∘k או x=150∘+360∘k\begin{aligned}x &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או}\ x \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

הפתרון השני אינו בונוס. בלעדיו הסעיף חלקי.

cos⁡x=a⇒x=180∘−α\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= 180^\circ - \alpha\end{aligned}
cos⁡x=a⇒x=±α+360∘k\begin{aligned}\cos x &= a \Rightarrow x \\ &= \pm\alpha + 360^\circ k\end{aligned}

ערבוב בין שני הכללים: 180∘180^\circ פחות שייך לסינוס.

tan⁡x=a⇒x=α+360∘k\begin{aligned}\tan x &= a \Rightarrow x \\ &= \alpha + 360^\circ k\end{aligned}
x=α+180∘kx = \alpha + 180^\circ k

מחזור הטנגנס הוא 180∘180^\circ — עם 360∘360^\circ מאבדים חצי מהפתרונות.

Exercices

Exercice 1

פתרו sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 150

Corrigé :

x1=30°x_1 = 30°

המחשבון

180−30=150°180 - 30 = 150°

והכלל

שתי תשובות: 30°30° ו-150°150°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו cos⁡x=0.5\cos x = 0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 300

Corrigé :

x1=60°x_1 = 60°
360−60=300°360 - 60 = 300°

כלל הקוסינוס

360360 פחות, לא 180180 פחות. זה ההבדל בין שני הכללים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=1\sin x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

∣a∣=1|a| = 1

הישר משיק למעגל

x=90°x = 90°

נקודה אחת בלבד

המקרה היחיד עם פתרון אחד. בכל ערך אחר בתחום יש שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=2\sin x = 2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

∣2∣>1|2| > 1

מחוץ לתחום הסינוס

הישר עובר מחוץ למעגל. הסינוס לעולם אינו עולה על 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון sin⁡x1=a\sin x_1 = a ו-x1x_1 פתרון. מהו הפתרון השני?

  1. 180°−x1180° - x_1
  2. −x1-x_1
  3. x1+180°x_1 + 180°
  4. 360°−x1360° - x_1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 180°−x1180° - x_1

Corrigé :

sin⁡(180∘−x1)=sin⁡x1\sin(180^\circ - x_1) = \sin x_1

הסינוס חיובי ברביעים I ו-II

360°−x1360° - x_1 הוא כלל הקוסינוס, ו-x1+180°x_1 + 180° כלל הטנגנס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו sin⁡x=−0.5\sin x = -0.5 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הקטן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 210

Corrigé :

sin⁡x<0\sin x < 0

הסינוס שלילי ברביעים III ו-IV

x=210°  330°\begin{aligned}x &= 210° \ \\ \ 330°\end{aligned}

ערך שלילי מזיז את שני הפתרונות למחצית התחתונה של המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו tan⁡x=1\tan x = 1 בתחום 0°≤x<360°0° \leq x < 360°. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 225

Corrigé :

x1=45°x_1 = 45°
45+180=225°45 + 180 = 225°

מחזור הטנגנס

הטנגנס חוזר כל 180°180°, ולכן ההפרש בין הפתרונות הוא 180180 ולא 360360.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כמה פתרונות יש ל-sin⁡x=0.5\sin x = 0.5 בתחום 0°≤x<180°0° \leq x < 180°?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

30° ו-150°30° \ \text{ו-} 150°

שניהם קטנים מ-180°180°

כאן שניהם נכנסים. בתחום 0°0° עד 90°90° היה נכנס רק אחד — התחום קובע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהו הפתרון הכללי של המשוואה cos⁡x=−22\cos x = -\frac{\sqrt2}{2}?

  1. x=±45∘+360∘kx = \pm 45^\circ + 360^\circ k
  2. x=135∘+360∘kx = 135^\circ + 360^\circ k או x=45∘+360∘kx = 45^\circ + 360^\circ k
  3. x=135∘+180∘kx = 135^\circ + 180^\circ k
  4. x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

Corrigé :

cos⁡135∘=−22\cos 135^\circ = -\tfrac{\sqrt2}{2}

זווית אחת: רביע שני, נשען על 45∘45^\circ

x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k

כלל הקוסינוס

k=1: −135∘+360∘=225∘\begin{aligned}k &= 1:\ -135^\circ + 360^\circ \\ &= 225^\circ\end{aligned}

בדיקה: 225∘225^\circ ברביע השלישי, גם שם הקוסינוס שלילי

התשובה: x=±135∘+360∘kx = \pm 135^\circ + 360^\circ k. «135∘135^\circ או 45∘45^\circ» הוא כלל הסינוס (180∘180^\circ פחות), ו-±45∘\pm 45^\circ שוכח את המינוס של aa.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מיינו: לאילו משוואות יש פתרון?

  • יש פתרון
  • אין פתרון
  • cos⁡x=−1\cos x = -1
  • cos⁡x=3\cos x = \sqrt3
  • cos⁡x=1.5\cos x = 1.5
  • sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2
  • sin⁡x=0.99\sin x = 0.99
  • tan⁡x=50\tan x = 50
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : sin⁡x=0.99\sin x = 0.99 — יש פתרון · cos⁡x=−1\cos x = -1 — יש פתרון · tan⁡x=50\tan x = 50 — יש פתרון · sin⁡x=−1.2\sin x = -1.2 — אין פתרון · cos⁡x=3\cos x = \sqrt3 — אין פתרון · cos⁡x=1.5\cos x = 1.5 — אין פתרון

Corrigé :

−1≤sin⁡x≤1,  −1≤cos⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1,\ \ -1 \le \cos x \le 1

סינוס וקוסינוס כלואים

3≈1.73>1\sqrt3 \approx 1.73 > 1

מחוץ לתחום

tan⁡x∈R\tan x \in \mathbb{R}

לטנגנס אין הגבלה

המלכודת: tan⁡x=50\tan x = 50. המספר גדול, אבל לטנגנס יש פתרון לכל ערך — רק סינוס וקוסינוס מוגבלים ל-[−1, 1][-1,\,1].

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe