Domaine, croissance et décroissance

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו שאלנו «מה קורה בנקודה הזאת». עכשיו נשאל שאלה אחרת: «מה קורה לאורך קטע שלם» — ולשם כך צריך מילה אחת חדשה.

תחום — חלק מציר ה-x

תחום הוא חתיכה מציר ה-xx — קבוצת הקלטים שמדברים עליהם. הוא אינו חלק מהגרף, והוא אינו על ציר ה-yy.

2<x<62 < x < 6

קטע — בין שני גבולות. הנפוץ ביותר.

x>4x > 4

קרן — יש התחלה, אין סוף.

x=1  2  3\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ 2 \ \\ \ 3\end{aligned}

קבוצה סופית — כשהקלט נספר, למשל מספר כרטיסים.

זו ההבחנה שהכי הרבה נופלים בה, ולכן נאמר אותה במפורש: תחום העלייה הוא מה שכתוב על ציר ה-xx — לא הקו שעולה. הקו עולה; התחום הוא הצל שלו למטה, על הציר.

עולה, יורדת, קבועה

את שלושת המצבים קוראים מהגרף תמיד באותו כיוון: משמאל לימין — כלומר מ-xx קטן ל-xx גדול.

↗\nearrow

עולה בתחום — כש-xx גדל, yy גדל גם הוא.

↘\searrow

יורדת בתחום — כש-xx גדל, yy קטן.

→\rightarrow

קבועה בתחום — xx גדל, ו-yy לא משתנה כלל.

ואת אותו דבר בדיוק אפשר לראות מטבלה, בלי לצייר — בתנאי אחד: שערכי ה-xx מסודרים מהקטן לגדול.

לקרוא עלייה מטבלה

נתונים הזוגות (1, 20)(1,\, 20), (2, 17)(2,\, 17), (3, 11)(3,\, 11), (4, 11)(4,\, 11), (5, 14)(5,\, 14). מה קורה בכל מקטע?

20→17→1120 \rightarrow 17 \rightarrow 11

ה-yy קטן — יורדת בתחום 1<x<31 < x < 3

11→1111 \rightarrow 11

ה-yy לא זז — קבועה בתחום 3<x<43 < x < 4

11→1411 \rightarrow 14

ה-yy גדל — עולה בתחום 4<x<54 < x < 5

בטבלה (0, 5)(0,\, 5), (1, 9)(1,\, 9), (2, 13)(2,\, 13) — עולה או יורדת?

Voir la réponse et le corrigé

עולה. ה-xx מסודר עולה, וה-yy גדל איתו. שימו לב שהיא עולה בקצב אחיד — 4 בכל צעד — אבל זה כבר עניין אחר: פונקציה יכולה לעלות גם בקצב לא אחיד.

לכתוב את התחום

במבחן לא מספיק לומר «כאן היא עולה». צריך לכתוב את התחום, ותמיד באותה צורה — אי-שוויון על xx:

0<x<20 < x < 2

וכשלתחום אין סוף, כותבים צד אחד בלבד: x>6x > 6. וכשיש שני תחומי עלייה נפרדים, כותבים את שניהם — הם לא מתאחדים לאחד.

פונקציה עולה מ-x=1x=1 עד x=5x=5. איך כותבים את תחום העלייה?

Voir la réponse et le corrigé

1<x<51 < x < 5. לא «מ-1 עד 5» במילים, ולא 1<y<51 < y < 5 — התחום נכתב תמיד כאי-שוויון על xx.

שלוש הטעויות של התחומים.

2<y<82 < y < 8
1<x<41 < x < 4

תחום נכתב על xx. ערכי ה-yy הם שאלה אחרת, ונגיע אליה ביחידה הבאה.

עולה מ-20 ל-30\text{עולה } \text{מ-} 20 \text{ ל-} 30
עולה בתחום 1<x<4\text{עולה בתחום } 1 < x < 4

מי שכותב את ערכי הגרף במקום את הקטע על הציר עונה על שאלה אחרת.

יורדת=שלילית\text{יורדת} = \text{שלילית}
יורדת≠שלילית\text{יורדת} \neq \text{שלילית}

גרף יכול לרדת הרבה מעל הציר. «יורדת» מדברת על כיוון, «שלילית» על גובה.

עכשיו נתרגל: לזהות, לכתוב, ולא להתבלבל בין הגרף לציר.

Exercices

Exercice 1

בטבלה (1, 4)(1,\, 4), (2, 7)(2,\, 7), (3, 12)(3,\, 12) — מה עושה הפונקציה?

  1. עולה
  2. יורדת
  3. Impossible de savoir
  4. קבועה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A עולה

Corrigé :

4<7<124 < 7 < 12

ה-yy גדל כש-xx גדל

ה-xx כבר מסודר מהקטן לגדול, ולכן אפשר לקרוא ישר מהשורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בגרף מרחק-זמן יש קטע אופקי. מה זה אומר על הפונקציה שם?

  1. היא עולה לאט
  2. היא קבועה
  3. היא יורדת
  4. היא אינה מוגדרת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B היא קבועה

Corrigé :

x↗ , y→x \nearrow \ , \ y \rightarrow

הקלט משתנה, הפלט לא

פונקציה קבועה בתחום — לא «עצרה להתקיים». היא מחזירה את אותו פלט לכל קלט בתחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

תחום העלייה של פונקציה נכתב כאי-שוויון על xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

0<x<20 < x < 2

אי-שוויון על xx, ולא על yy

התחום יושב על ציר ה-xx — לכן הוא נכתב על xx, ולא על yy ולא במילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פונקציה יורדת היא בהכרח פונקציה שערכיה שליליים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(1, 90)→(2, 80)(1,\, 90) \rightarrow (2,\, 80)

יורדת, ושני הערכים חיוביים

«יורדת» אומרת שה-yy קטן. הוא יכול לקטון ולהישאר גבוה מאוד מעל האפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פונקציה עולה בתחום 2<x<92 < x < 9. כמה יחידות על ציר ה-x אורכו של תחום זה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

9−2=79 - 2 = 7

הפרש הגבולות

התחום הוא קטע על הציר, ולכן אורכו נמדד בהפרש — ולא בערכי הפונקציה שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מה עושה הפונקציה בכל מקטע?

  • עולה
  • יורדת
  • (0, 3)(0,\, 3) ואז (1, 8)(1,\, 8)
  • (1, −6)(1,\, -6) ואז (2, −2)(2,\, -2)
  • (2, 5)(2,\, 5) ואז (6, 1)(6,\, 1)
  • (4, 20)(4,\, 20) ואז (5, 12)(5,\, 12)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (0, 3)(0,\, 3) ואז (1, 8)(1,\, 8) — עולה · (4, 20)(4,\, 20) ואז (5, 12)(5,\, 12) — יורדת · (1, −6)(1,\, -6) ואז (2, −2)(2,\, -2) — עולה · (2, 5)(2,\, 5) ואז (6, 1)(6,\, 1) — יורדת

Corrigé :

−6<−2-6 < -2

השורה השלישית עולה, למרות שני הסימנים

השורה השלישית היא המלכודת: שני הערכים שליליים, ובכל זאת הפונקציה עולה — כי −2-2 גדול מ-−6-6.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Complétez (השלימו)

פונקציה עולה מ-x=3 עד x=11. תחום העלייה הוא ____ < x < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : פונקציה עולה מ-x=3 עד x=11. תחום העלייה הוא 3 < x < 11

Corrigé :

3<x<113 < x < 11

התחום יושב על ציר ה-xx: מה-xx שבו העלייה מתחילה עד ה-xx שבו היא נגמרת

הגבולות הם ערכי xx, לא ערכי yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איזה מהבאים אינו תחום אפשרי?

  1. 3<x<83 < x < 8
  2. x=1 , 2 , 3x = 1 \ , \ 2 \ , \ 3
  3. x>8x > 8
  4. 3<y<83 < y < 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 3<y<83 < y < 8

Corrigé :

תחום⊂ציר x\text{תחום} \subset \text{ציר } x

תחום הוא תמיד חלק מציר ה-xx

שלושת האחרים הם קטע, קרן וקבוצה סופית — שלוש הצורות שהתוכנית מזכירה. אי-שוויון על yy מתאר ערכים, לא תחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

תלמיד תיאר גרף שעולה מ-x=0x=0 עד x=4x=4, ושם ערכי הפונקציה בין 10 ל-30. שורה אחת שגויה

תחום העלייה: 0<x<4\text{תחום העלייה: } 0 < x < 4
תחום העלייה: 10<y<30\text{תחום העלייה: } 10 < y < 30
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תחום העלייה: 10<y<30\text{תחום העלייה: } 10 < y < 30 → תחום העלייה: 0<x<4\text{תחום העלייה: } 0 < x < 4

Corrigé :

0<x<40 < x < 4

התחום יושב על ציר ה-xx

10<y<3010 < y < 30

ואילו זה טווח הערכים — שאלה אחרת

10<y<3010 < y < 30 הוא טווח הערכים של הפונקציה — נכון כשלעצמו, ותשובה לשאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בטבלה: (0, 50)(0,\, 50), (1, 50)(1,\, 50), (2, 50)(2,\, 50), (3, 44)(3,\, 44). עד איזה ערך של xx הפונקציה קבועה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

50=50=50\begin{aligned}50 &= 50 \\ &= 50\end{aligned}

שלושת הערכים הראשונים זהים

0<x<20 < x < 2

ומשם היא מתחילה לרדת

פונקציה קבועה אינה פונקציה «משעממת» — היא מקרה מלא זכויות, וגרף שלה הוא קו אופקי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

התאימו כל תיאור למה שהוא אומר

  • עולה בתחום
  • יורדת בתחום
  • קבועה בתחום
  • אינה מוגדרת
  • x גדל ו-y אינו משתנה
  • כש-x גדל, y גדל גם הוא
  • כש-x גדל, y קטן
  • לאותו x אין פלט כלל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : עולה בתחום — כש-x גדל, y גדל גם הוא · יורדת בתחום — כש-x גדל, y קטן · קבועה בתחום — x גדל ו-y אינו משתנה · אינה מוגדרת — לאותו x אין פלט כלל

Corrigé :

x↗ ⇒ y ?x \nearrow \ \Rightarrow \ y \, ?

תמיד שואלים: כש-xx גדל, מה קורה ל-yy?

עולה — yy גדל; יורדת — yy קטן; קבועה — yy לא זז. ואם אין פלט בכלל, הפונקציה אינה מוגדרת שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיכל מים מתמלא 4 דקות, נשאר מלא 3 דקות, ואז מתרוקן 5 דקות. כמה תחומים שונים יש בגרף — עלייה, קבועה וירידה יחד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

0<x<40 < x < 4

עלייה

4<x<74 < x < 7

קבועה

7<x<127 < x < 12

ירידה

שימו לב שגבול כל תחום הוא הסכום של הזמנים שקדמו לו, ולא משך הקטע עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe