Taux de variation et pente

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

קצב השתנות עונה על שאלה אחת: כשה-xx גדל ביחידה אחת, בכמה משתנה ה-yy? זה כל הרעיון, ובכיתה ח יקראו לו שיפוע.

אחיד או לא אחיד

אחיד\text{אחיד}

בכל צעד של xx ה-yy משתנה באותו מספר. הגרף יוצא ישר.

לא אחיד\text{לא אחיד}

השינוי משתנה מצעד לצעד. הגרף יוצא מעוקל.

זו בדיקה שאפשר לעשות ישר מהטבלה, בלי לצייר: מחסרים כל שני ערכי yy עוקבים. יצא אותו הפרש בכל פעם — הקצב אחיד, והגרף ישר.

מהקצב לנוסחה

ברגע שהקצב אחיד אפשר לכתוב את הנוסחה: הקצב הוא המקדם של xx, והמספר החופשי הוא הערך ב-x=0x = 0.

המשך הדוגמה

מהי הנוסחה של הטבלה שלמעלה?

y=3x+by = 3x + b

הקצב 3 הוא המקדם

7=3⋅1+b7 = 3 \cdot 1 + b

מציבים את הזוג הראשון

b=4b = 4

המספר החופשי

y=3x+4y = 3x + 4

הנוסחה

3⋅4+4=163 \cdot 4 + 4 = 16

בדיקה על הזוג האחרון

קצב שלילי

קצב יכול להיות שלילי — ואז ה-yy קטן בכל צעד, והגרף יורד. מים שמתרוקנים ממיכל, סוללה שנגמרת, מרחק שמתקצר.

ובכיתה ח תלמדו את הנוסחה שמחשבת אותו משתי נקודות כלשהן — היא בדיוק אותו רעיון, כתוב בקיצור.

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הטעות של קצב ההשתנות.

הפרשי y שווים⇒תמיד קצב אחיד\text{הפרשי } y \ \text{שווים} \Rightarrow \text{תמיד קצב אחיד}
רק אם גם הפרשי x שווים\text{רק אם גם הפרשי } x \ \text{שווים}

הבדיקה תקפה כשה-xx מתקדם בצעדים שווים. אם ה-xx קופץ 1, 2, 5 — צריך לחלק בהפרש, לא רק לחסר.

מכונית עברה 180 ק״מ בשעתיים. מהו הקצב?

Voir la réponse et le corrigé

90 קמ״ש — המרחק חלקי הזמן. בגרף זה השיפוע: כמה עולים על כל צעד ימינה.

שני קווים בגרף — של הולך ושל רוכב. איך מזהים את הרוכב?

Voir la réponse et le corrigé

הקו התלול יותר: על כל דקה הוא צובר יותר מרחק. תלילות היא מהירות.

Exercices

Exercice 1

בטבלה: (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13). מהו קצב ההשתנות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

10−7=310 - 7 = 3

הפרש ראשון

13−10=313 - 10 = 3

והשני — זהה

אותו הפרש בכל צעד — קצב אחיד, וגרף ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי הנוסחה של הטבלה (1, 7)(1,\, 7), (2, 10)(2,\, 10), (3, 13)(3,\, 13)?

  1. y=3x+4y = 3x + 4
  2. y=7x+3y = 7x + 3
  3. y=3x+7y = 3x + 7
  4. y=3xy = 3x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=3x+4y = 3x + 4

Corrigé :

y=3x+by = 3x + b

הקצב הוא המקדם

7=3+b⇒b=4\begin{aligned}7 &= 3 + b \Rightarrow b \\ &= 4\end{aligned}

מציבים זוג אחד

בדיקה על זוג אחר: 3⋅3+4=133 \cdot 3 + 4 = 13.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בטבלה: (1, 2)(1,\, 2), (2, 5)(2,\, 5), (3, 10)(3,\, 10). האם הקצב אחיד?

  1. Impossible de savoir
  2. כן, הקצב 5
  3. לא
  4. כן, הקצב 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא

Corrigé :

5−2=35 - 2 = 3

הפרש ראשון

10−5=510 - 5 = 5

הפרש שני — שונה

הפרשים שונים — הגרף מעוקל, לא ישר. ההפרשים 3 ואז 5

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיכל מתרוקן: (0, 100)(0,\, 100), (1, 92)(1,\, 92), (2, 84)(2,\, 84). מהו קצב ההשתנות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -8

Corrigé :

92−100=−892 - 100 = -8

הפרש ראשון

84−92=−884 - 92 = -8

זהה

קצב שלילי — הגרף יורד, והמיכל מתרוקן ב-8 ליטר בכל שעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

טבלה של כמות המשקעים לפי חודש: ינואר 70, פברואר 120, מרץ 120, אפריל 10, מאי 0, יוני 0, יולי 10 (מ״מ). האם הפונקציה משתנה בקצב אחיד?

  1. כן — בחורף בלבד
  2. כן — יש ערך לכל חודש
  3. לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו
  4. אי אפשר לדעת בלי גרף
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא — הקפיצות בין החודשים שונות זו מזו

Corrigé :

70→120:+5070 \to 120: +50

קפיצה ראשונה

120→120:0120 \to 120: 0

קפיצה שנייה — שונה

120→10:−110120 \to 10: -110

ועוד יותר שונה

קצב אחיד פירושו אותה קפיצה בכל צעד. גם פונקציה שנתונה בטבלה בלבד — בלי נוסחה — היא פונקציה לכל דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הפונקציה y=2x−6y = 2x - 6 — האם היא משתנה בקצב אחיד?

  1. רק כאשר xx חיובי
  2. רק בין −2-2 ל-55
  3. כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy
  4. לא — ה-yy משתנה ממקום למקום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן — כל תוספת של 1 ל-xx מוסיפה בדיוק 2 ל-yy

Corrigé :

−10,  −8,  −6-10,\; -8,\; -6

ב-x=−2,−1,0x = -2, -1, 0: קפיצות של 2

y=2x−6y = 2x - 6

המקדם של xx הוא הקצב

לכן הגרף שלה קו ישר. קצב אחיד = ישר; קצב משתנה (כמו המשקעים) = לא ישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

רוכב עבר 45 ק״מ בשלוש שעות. מהו קצבו בקמ״ש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

45:3=1545 : 3 = 15

קצב הוא תמיד «כמה לכל יחידה»: מחלקים את הדרך בזמן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ברז ממלא 8 ליטר בדקה. כמה ליטרים ב-6 דקות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

8×6=488 \times 6 = 48

קצב כפול זמן — הכמות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בגרף מרחק-זמן קו עובר מ-(0,0)(0,0) ל-(2,120)(2, 120). מהי המהירות בקמ״ש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

120:2=60120 : 2 = 60

עליית המרחק חלקי הזמן

השיפוע של הקו — הוא המהירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שני קווים בגרף מרחק-זמן. של מי המהירות גבוהה יותר?

  1. של הקו התלול יותר
  2. Impossible de savoir
  3. של הקו העליון
  4. של הקו הארוך יותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A של הקו התלול יותר

Corrigé :

שיפוע=מהירות\text{שיפוע} = \text{מהירות}

גובה הקו אומר איפה אתה — התלילות אומרת כמה מהר.

Vérifier la réponse sur elev

אחיד או לא אחיד

Exercice 11

האם קצב ההשתנות אחיד?

  • קצב אחיד
  • קצב לא אחיד
  • אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה
  • כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן
  • מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן
  • נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מכונית בנסיעה במהירות קבועה — הדרך כפונקציה של הזמן — קצב אחיד · נר גלילי דולק — גובה הנר כפונקציה של זמן הבעירה — קצב אחיד · כדור טניס שנורה כלפי מעלה — גובהו כפונקציה של הזמן — קצב לא אחיד · אוכלוסייה שמכפילה את עצמה כל שנה — קצב לא אחיד

Corrigé :

ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x}

קבוע — הגרף קו ישר; משתנה — הגרף מתעקל

קצב אחיד נותן קו ישר. הכדור עולה, מאט, ויורד — הגרף שלו מתעקל; וההכפלה גדלה יותר ויותר בכל צעד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

בטבלה (1, 5)(1,\, 5), (2, 8)(2,\, 8), (4, 14)(4,\, 14) ההפרשים של yy הם 3 ו-6 — ולכן הקצב אינו אחיד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

8−5=3  2−1=1\begin{aligned}8 - 5 &= 3 \ \\ \ 2 - 1 &= 1\end{aligned}

בצעד הראשון xx גדל ב-1, ו-yy ב-3

14−84−2=62=3\begin{aligned}\dfrac{14 - 8}{4 - 2} &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

בצעד השני xx קפץ ב-2 — מחלקים בצעד

הקצב 3 בשני הצעדים: הוא אחיד. הפרשי yy משווים ישירות רק כש-xx מתקדם בצעדים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

התאימו כל טבלה לקצב ההשתנות שלה

  • (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10)
  • (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5)
  • (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15)
  • (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4)
  • −2-2
  • 33
  • 44
  • לא אחיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (0, 2),  (1, 6),  (2, 10)(0,\, 2) ,\; (1,\, 6) ,\; (2,\, 10) — 44 · (0, 9),  (1, 7),  (2, 5)(0,\, 9) ,\; (1,\, 7) ,\; (2,\, 5) — −2-2 · (1, 3),  (3, 9),  (5, 15)(1,\, 3) ,\; (3,\, 9) ,\; (5,\, 15) — 33 · (0, 1),  (1, 2),  (2, 4)(0,\, 1) ,\; (1,\, 2) ,\; (2,\, 4) — לא אחיד

Corrigé :

6−2=4  10−6=4\begin{aligned}6 - 2 &= 4 \ \\ \ 10 - 6 &= 4\end{aligned}

הטבלה הראשונה: 4 בכל צעד

7−9=−27 - 9 = -2

השנייה יורדת: קצב שלילי

9−33−1=3\dfrac{9 - 3}{3 - 1} = 3

בשלישית xx קופץ ב-2 — מחלקים

2−1=1  4−2=2\begin{aligned}2 - 1 &= 1 \ \\ \ 4 - 2 &= 2\end{aligned}

ברביעית ההפרשים שונים

הטבלה השלישית היא המלכודת: הפרשי yy הם 6, אבל כל צעד של xx הוא 2 — הקצב 3.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe