Résoudre une équation avec un graphe

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כבר פתרנו משוואות מהצורה ax+b=cx+dax + b = cx + d — העברנו אגפים והגענו למספר. עכשיו נראה את אותה משוואה בעיניים, ואגב כך נבין מה בעצם חיפשנו כל הזמן.

כל אגף הוא פונקציה בפני עצמו

ניקח את המשוואה 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5. הרעיון כולו הוא לשכוח לרגע שיש כאן סימן שוויון, ולהסתכל על כל אגף בנפרד — כל אחד מהם הוא פונקציה, ולכל אחד יש גרף.

y=2x−4y = 2x - 4

האגף השמאלי הפך לפונקציה.

y=−x+5y = -x + 5

והאגף הימני לפונקציה שנייה.

נקודת החיתוך היא הפתרון

בכל נקודה על הישר הראשון הגובה הוא 2x−42x - 4, ובכל נקודה על השני הגובה הוא −x+5-x + 5. בנקודת החיתוך שני הגבהים הם אותו מספר — וזה בדיוק מה שהמשוואה מבקשת.

ה-xx של נקודת החיתוך הוא הפתרון של המשוואה

אותה משוואה, שתי דרכים

פתרו 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5 גרפית, ובדקו באלגברה.

x=3x = 3

מהגרף: הישרים נחתכים מעל x=3x = 3

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

ובאלגברה — מעבירים אגפים

3x=9 ⇒ x=3\begin{aligned}3x &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

אותה תשובה בדיוק

2⋅3−4=2  −3+5=2\begin{aligned}2 \cdot 3 - 4 &= 2 \ \\ \ -3 + 5 &= 2\end{aligned}

ובדיקה: שני האגפים נותנים 2 — וזה גובה נקודת החיתוך

שימו לב מה עוד קיבלנו בחינם: ה-yy של נקודת החיתוך — כאן 2 — הוא הערך המשותף של שני האגפים בפתרון. בבדיקת הצבה מחשבים אותו בכל מקרה, אז הגרף רק מראה אותו מראש.

שני ישרים נחתכים בנקודה (4, 7)(4,\, 7). מהו הפתרון של המשוואה שמשווה את שני הביטויים שלהם?

Voir la réponse et le corrigé

x=4x = 4. הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך, לא ה-yy. ה-7 הוא הערך שמקבלים שני האגפים כש-x=4x = 4 — שימושי לבדיקה, אבל אינו התשובה.

ומה אם אין חיתוך?

שני ישרים לא תמיד נפגשים בנקודה אחת. יש עוד שני מקרים:

∥\parallel

מקבילים — אותו שיפוע, ישרים שונים. הם לעולם לא נפגשים: למשוואה אין פתרון.

==

אותו ישר בדיוק — כל נקודה היא נקודת חיתוך: למשוואה אינסוף פתרונות.

הגרף מראה מיד כמה פתרונות יש, ואיפה בערך. האלגברה נותנת את המספר המדויק. קריאה כמו «בערך 2.7» היא רמז שמאמתים בחישוב — לא תשובה.

שלוש הטעויות של הפתרון הגרפי.

הפתרון=7\text{הפתרון} = 7
הפתרון=4\text{הפתרון} = 4

לוקחים את ה-yy של נקודת החיתוך. הפתרון הוא תמיד ה-xx.

חיתוך עם ציר x\text{חיתוך עם ציר } x
חיתוך בין שני הישרים\text{חיתוך בין שני הישרים}

מחפשים איפה ישר אחד חותך את הציר במקום איפה השניים נפגשים זה עם זה.

x≈2.7 סוףx \approx 2.7 \ \text{סוף}
x≈2.7 ⇒ לבדוק באלגברהx \approx 2.7 \ \Rightarrow \ \text{לבדוק באלגברה}

קריאה מגרף היא אומדן. היא מצוינת כדי לדעת שלא טעינו — לא כדי להחליף חישוב.

עכשיו נתרגל: לקרוא פתרון מחיתוך, ולעבור בין שתי הדרכים.

Exercices

Exercice 1

גרפי שני האגפים נחתכים בנקודה (3, 2)(3,\, 2). מהו הפתרון של המשוואה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(3, 2)(3,\, 2)

הפתרון הוא ה-xx של נקודת החיתוך

ה-2 הוא הערך המשותף של שני האגפים, ולא הפתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו אלגברית: 2x−4=−x+52x - 4 = -x + 5

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

2x+x=5+42x + x = 5 + 4

האיקסים לצד אחד, המספרים לשני

3x=93x = 9

מכנסים

x=3x = 3

מחלקים ב-3

אותה תשובה כמו מהגרף — וזו בדיוק הנקודה: שתי הדרכים אינן שתי שאלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה מייצגת נקודת החיתוך של גרפי שני אגפי משוואה?

  1. השיפוע המשותף
  2. החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx
  3. ה-xx שבו שני האגפים שווים
  4. הערך הגבוה ביותר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ה-xx שבו שני האגפים שווים

Corrigé :

ax+b=cx+dax + b = cx + d

שני גבהים שווים באותו xx

זו כל המשמעות של סימן השוויון במשוואה — ולכן הגרף מראה אותו ישירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

לשני ישרים בעלי אותו שיפוע וחיתוכי ציר שונים אין נקודת חיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

m1=m2  b1≠b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \ \\ \ b_1 \neq b_2\end{aligned}

אותה נטייה, גובה שונה

הם מקבילים, ולכן למשוואה המתאימה אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המשוואה y=4x−1y = 4x - 1 ו-y=x+8y = x + 8 נפגשות. מהו xx בנקודת המפגש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

4x−1=x+84x - 1 = x + 8

משווים את שני הגבהים

3x=93x = 9

מעבירים

x=3x = 3

מחלקים

«נפגשות» פירושו «אותו גובה» — וזה תמיד מתורגם לסימן שוויון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ובאותה שאלה — מהו yy בנקודת המפגש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

y=4⋅3−1=11\begin{aligned}y &= 4 \cdot 3 - 1 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

y=3+8=11\begin{aligned}y &= 3 + 8 \\ &= 11\end{aligned}

ובשני — אותו מספר, וזו הבדיקה

אם שני האגפים לא נותנים את אותו yy, הפתרון שגוי. זו בדיקה של חמש שניות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

תלמיד קרא מהגרף «בערך 2.7» ורשם זאת כתשובה סופית. מה היה עליו לעשות?

  1. לצייר גרף גדול יותר
  2. כלום — קריאה מגרף היא תשובה מדויקת
  3. לעגל ל-3
  4. לאמת את האומדן בפתרון אלגברי
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לאמת את האומדן בפתרון אלגברי

Corrigé :

x≈2.7x \approx 2.7

האומדן מהגרף

ax+b=cx+dax + b = cx + d

והמספר המדויק מגיע מהאלגברה

הגרף נותן כיוון ומספר פתרונות; המספר המדויק מגיע מהאלגברה. שתי הדרכים משלימות, ואף אחת אינה מייתרת את השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בשתי חברות סלולר: הראשונה גובה 30 ש״ח ועוד 2 ש״ח לשעת שיחה, השנייה 10 ש״ח ועוד 4 ש״ח לשעה. אחרי כמה שעות שיחה המחיר זהה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

y=2x+30  y=4x+10\begin{aligned}y &= 2x + 30 \ \\ \ y &= 4x + 10\end{aligned}

שתי פונקציות — שני ישרים

2x+30=4x+102x + 30 = 4x + 10

«מחיר זהה» פירושו נקודת חיתוך

20=2x ⇒ x=10\begin{aligned}20 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

On résout

זו השאלה הנפוצה ביותר בנושא: «מתי משתלם יותר» היא תמיד שאלה על נקודת חיתוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שני גרפים נחתכים ב-(5, 8)(5,\, 8). שורה אחת שגויה

פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5
פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : פתרון המשוואה: x=8\text{פתרון המשוואה: } x = 8 → פתרון המשוואה: x=5\text{פתרון המשוואה: } x = 5

Corrigé :

(5, 8) ⇒ x=5(5,\, 8) \ \Rightarrow \ x = 5

הפתרון הוא ה-xx

הפתרון הוא תמיד ה-xx. ה-yy הוא הערך שמקבלים שני האגפים שם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

לאיזו דרך מתאים כל משפט?

  • גרף
  • אלגברה
  • מראה שהישרים מקבילים
  • נותן את המספר המדויק
  • עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד
  • רואים מיד כמה פתרונות יש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : רואים מיד כמה פתרונות יש — גרף · נותן את המספר המדויק — אלגברה · מראה שהישרים מקבילים — גרף · עובד גם כששני הפתרונות רחוקים מאוד — אלגברה

Corrigé :

ax+b=cx+dax + b = cx + d

אותה שאלה, שתי דרכים לענות

הגרף עונה על «כמה ואיפה בערך», האלגברה על «כמה בדיוק». במבחן משתמשים בשתיהן — האחת בודקת את השנייה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe