Commutativité et associativité

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני חוקים שנראים מובנים מאליהם — ודווקא בגללם נופלים. שניהם אומרים שמותר לסדר מחדש תרגיל בלי לשנות את התוצאה. השאלה האמיתית היא מתי מותר, ועל זה כל השיעור.

חוק החילוף — להחליף מקומות

בחיבור ובכפל אפשר להחליף בין שני האיברים, והתוצאה לא זזה:

a+b=b+aa⋅b=b⋅a\begin{aligned}a + b &= b + a \qquad a \cdot b \\ &= b \cdot a\end{aligned}

הטעות של החילוף.

10−4=4−1010 - 4 = 4 - 10
10−4≠4−1010 - 4 \neq 4 - 10

שישה מול מינוס שישה. בחיסור הסדר קובע.

12:3=3:1212 : 3 = 3 : 12
12:3≠3:1212 : 3 \neq 3 : 12

ארבע מול רבע. בחילוק הסדר קובע.

האם 8−58 - 5 שווה ל-5−85 - 8?

Voir la réponse et le corrigé

לא. 8−5=38-5=3 ואילו 5−8=−35-8=-3. חוק החילוף עובד רק בחיבור ובכפל — בחיסור הסדר הוא חלק מהתרגיל.

חוק הקיבוץ — לבחור מי מתחבר עם מי

כשיש שלושה איברים ויותר, חוק הקיבוץ מרשה לבחור אילו מהם לחשב קודם. הסוגריים זזות, התוצאה לא:

(a+b)+c=a+(b+c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\begin{aligned}(a + b) + c &= a + (b + c) \qquad (a \cdot b) \cdot c \\ &= a \cdot (b \cdot c)\end{aligned}

בפועל משתמשים בשני החוקים יחד: החילוף מזיז את המספרים, והקיבוץ מחליט מי נכנס לסוגריים. זה מה שמאפשר לחשב 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25 בראש — מזיזים את ה-25 ליד ה-4, וכופלים קודם אותם.

חשבו בדרך נוחה: 8⋅17⋅1258 \cdot 17 \cdot 125

Voir la réponse et le corrigé

17,000. חוק החילוף מזיז את ה-125 ליד ה-8, וחוק הקיבוץ מרשה לכפול אותם קודם: 8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000, ואז 1000⋅171000 \cdot 17.

ומה עם החיסור והחילוק?

גם חוק הקיבוץ אינו חל עליהם. בדקו: (20−8)−3=9(20 - 8) - 3 = 9, אבל 20−(8−3)=1520 - (8 - 3) = 15. אותם שלושה מספרים, אותו סדר — ורק הסוגריים זזו.

יש דרך לעקוף את זה, ולומדים אותה בהמשך: כל חיסור אפשר לכתוב כחיבור של מספר נגדי (20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)), וכל חילוק ככפל בהופכי. ברגע שהכול הופך לחיבור וכפל — שני החוקים חוזרים לתוקף.

הטעות של הקיבוץ.

(20−8)−3=20−(8−3)(20 - 8) - 3 = 20 - (8 - 3)
9≠159 \neq 15

בחיסור, הזזת סוגריים משנה את התשובה. לא מזיזים סוגריים בחיסור ובחילוק.

Exercices

Exercice 1

באיזו פעולה אין חוק חילוף?

  1. חיסור
  2. חיבור
  3. בכולן יש
  4. כפל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חיסור

Corrigé :

7−3≠3−77-3 \neq 3-7

גם בחילוק אין — הסדר שם חלק מהמשמעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו בדרך נוחה: 25⋅17⋅425 \cdot 17 \cdot 4

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1700

Corrigé :

25⋅4=10025 \cdot 4 = 100

חילוף וקיבוץ

100⋅17=1700100 \cdot 17 = 1700
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו: 37+58+337 + 58 + 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 98

Corrigé :

37+3=4037 + 3 = 40

הזוג שמשלים לעשרת

40+58=9840 + 58 = 98
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה זה (20−8)−3(20 - 8) - 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

12−3=912 - 3 = 9

בחיסור אין חוק קיבוץ: מיקום הסוגריים משנה את התוצאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

וכמה זה 20−(8−3)20 - (8 - 3)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

20−5=1520 - 5 = 15

אותם מספרים, רק הסוגריים זזו — ובחיסור זה משנה הכול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חוק הקיבוץ חל על…

  1. אף פעולה
  2. כל ארבע הפעולות
  3. חיסור וחילוק
  4. חיבור וכפל בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D חיבור וכפל בלבד

Corrigé :

(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c = a+(b+c)

רק לחיבור ולכפל. בחיסור ובחילוק שינוי הקיבוץ משנה את התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: 8⋅125⋅98 \cdot 125 \cdot 9

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9000

Corrigé :

8⋅125=10008 \cdot 125 = 1000
1000⋅9=90001000 \cdot 9 = 9000

מחפשים את הזוג שנותן מספר עגול: 8 כפול 125 הם 1000, והשאר קל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a — איזה חוק?

  1. סדר פעולות
  2. חוק החילוף
  3. חוק הקיבוץ
  4. חוק הפילוג
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B חוק החילוף

Corrigé :

החלפת מקומות\text{החלפת מקומות}

חוק החילוף מדבר על סדר; חוק הקיבוץ מדבר על מיקום הסוגריים. שניים שונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו: 2⋅43⋅52 \cdot 43 \cdot 5

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 430

Corrigé :

2⋅5=102 \cdot 5 = 10
10⋅43=43010 \cdot 43 = 430

2 ו-5 נותנים 10 — מחפשים אותם קודם, ואז הכפל נעשה בראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

איך אפשר בכל זאת להחיל את חוק החילוף על חיסור?

  1. להשתמש בסוגריים
  2. להפוך את הסימן בסוף
  3. לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי
  4. אי אפשר לעולם
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לכתוב את החיסור כחיבור של מספר נגדי

Corrigé :

20−8=20+(−8)20 - 8 = 20 + (-8)

ברגע שהכול חיבור — החוקים חוזרים לתוקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חשבו: 4⋅27⋅254 \cdot 27 \cdot 25

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2700

Corrigé :

4⋅25=1004 \cdot 25 = 100
100⋅27=2700100 \cdot 27 = 2700

4 כפול 25 הם 100. חוק החילוף מרשה לסדר מחדש כדי להגיע לזה.

Vérifier la réponse sur elev

ומה עם החיסור והחילוק?

Exercice 12

בכל זוג: האם הסרת הסוגריים משנה את התוצאה?

  • אותה תוצאה
  • תוצאה שונה
  • (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9
  • (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5
  • 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2
  • 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (25⋅4)+9(25 \cdot 4) + 9 מול 25⋅4+925 \cdot 4 + 9 — אותה תוצאה · 120:(60:2)120 : (60 : 2) מול 120:60:2120 : 60 : 2 — תוצאה שונה · 200−(70−20)200 - (70 - 20) מול 200−70−20200 - 70 - 20 — תוצאה שונה · (30+10):5(30 + 10) : 5 מול 30+10:530 + 10 : 5 — תוצאה שונה

Corrigé :

120:(60:2)=4120 : (60 : 2) = 4

עם הסוגריים

120:60:2=1120 : 60 : 2 = 1

ובלעדיהם

בחיסור ובחילוק הסוגריים קובעים — הזזתם משנה את התוצאה. בזוג הראשון הסוגריים מיותרים, כי הכפל ממילא קודם לחיבור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

150−(40+25)150 - (40 + 25) שווה ל-150−40−25150 - 40 - 25

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

150−65=85150 - 65 = 85
150−40−25=85150 - 40 - 25 = 85

כשמסירים סוגריים אחרי מינוס, כל איבר שבפנים מחליף סימן: החיבור שבפנים הופך לחיסור שני.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe