Zéro, un et l'inverse

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע פעולות החשבון מתנהגות אותו דבר עם כל המספרים — חוץ משניים. לאפס ולאחד יש תפקיד שאין לאף מספר אחר, ומי שמכיר אותו חוסך לעצמו הרבה טעויות באלגברה.

למה אסור לחלק באפס

כדי להבין את זה צריך להיזכר מה חילוק אומר. 6:2=36 : 2 = 3 אינו כלל שהומצא — הוא אומר: «3 הוא המספר שכפול 2 נותן 6».

a:ba : b הוא המספר שכפול bb נותן aa

הכלל שאין לו יוצא מן הכלל

חילוק באפס אינו מוגדר. לא «אפס», לא «אינסוף», לא «שגיאה» — פשוט אין תשובה. וזה נכון גם ל-0:00 : 0.

כמה זה 0:70 : 7?

Voir la réponse et le corrigé

0, וזה מוגדר היטב. אפס כפול 7 הוא 0, אז התשובה קיימת ויחידה. המלכודת היא רק כשהאפס נמצא במכנה, כלומר כשמחלקים בו.

וזו גם הסיבה שבמשוואה אסור לחלק את שני האגפים בביטוי שעלול להיות אפס. בכיתה ח תפגשו את זה כשתחלקו ב-xx — ותאבדו פתרון בלי לשים לב.

איברים נייטרליים: 0 ו-1

יש מספר אחד שאפשר לחבר בלי לשנות כלום, ומספר אחד שאפשר לכפול בלי לשנות כלום. קוראים להם איברים נייטרליים — «נייטרלי» פירושו שאינו מתערב.

a+0=0+a=a\begin{aligned}a + 0 &= 0 + a \\ &= a\end{aligned}

0 הוא הנייטרלי של החיבור. מוסיפים אותו — שום דבר לא זז.

a⋅1=1⋅a=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= 1 \cdot a \\ &= a\end{aligned}

1 הוא הנייטרלי של הכפל. כופלים בו — שום דבר לא זז.

ואל תחליפו ביניהם: כפל ב-0 מוחק הכול (a⋅0=0a \cdot 0 = 0), וחיבור של 1 משנה (a+1≠aa + 1 \neq a). לכל פעולה הנייטרלי שלה, ורק שלה.

זה נשמע מובן מאליו, אבל בלעדיו אי אפשר לעשות אלגברה: כשכותבים x=1xx = 1x, או כשמוסיפים 0 כדי «לא לשנות כלום», משתמשים בדיוק בשני הכללים האלה.

בביטוי x+5−5x + 5 - 5 — מה נשאר?

Voir la réponse et le corrigé

xx. 5−5=05 - 5 = 0, ו-x+0=xx + 0 = x. זה בדיוק המהלך שעושים כשמעבירים אבר במשוואה — מוסיפים לשני האגפים את הנגדי, כדי לקבל אפס.

מספרים הופכיים

לכל מספר יש נגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ובדיוק באותו אופן, לכל מספר שונה מאפס יש הופכי — מה שכופלים כדי לקבל 1.

ההופכי של מספר הוא המספר שכפול המקורי נותן 1

a⋅1a=1a \cdot \frac{1}{a} = 1
2 ⟷ 122 \ \longleftrightarrow \ \frac{1}{2}

כי 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1.

35 ⟷ 53\frac{3}{5} \ \longleftrightarrow \ \frac{5}{3}

בשבר פשוט הופכים את המונה והמכנה.

1 ⟷ 11 \ \longleftrightarrow \ 1

1 הוא ההופכי של עצמו — המקרה היחיד ביחד עם −1-1.

0 ⟷ —0 \ \longleftrightarrow \ \text{---}

לאפס אין הופכי. אין מספר שכפול 0 נותן 1 — וזו בדיוק אותה סיבה שאסור לחלק בו.

ועכשיו אפשר לסגור הבטחה מהיחידה על חוקי החילוף והקיבוץ. שם ראינו שבחיסור ובחילוק אין חוקי חילוף וקיבוץ — והבטחנו דרך לעקוף. הנה היא:

a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)

כל חיסור הוא חיבור של הנגדי.

a:b=a⋅1ba : b = a \cdot \frac{1}{b}

וכל חילוק הוא כפל בהופכי.

ברגע שהכול כתוב כחיבור וככפל — שני החוקים חוזרים לתוקף, ומותר שוב לסדר מחדש כרצוננו. זה לא טריק: זו הסיבה שהחיסור והחילוק בכלל קיימים.

החוק חוזר

חשבו 20−8−520 - 8 - 5 בשתי דרכים, אחרי שהופכים הכול לחיבור.

20+(−8)+(−5)20 + (-8) + (-5)

כותבים כל חיסור כחיבור של נגדי

20+(−13)=720 + (-13) = 7

ועכשיו מותר לקבץ את שני השליליים

(20−8)−5=12−5=7\begin{aligned}(20 - 8) - 5 &= 12 - 5 \\ &= 7\end{aligned}

אותה תשובה כמו בדרך הרגילה

מהו ההופכי של 27\frac{2}{7}?

Voir la réponse et le corrigé

72\frac{7}{2}. בודקים: 27⋅72=1414=1\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{14}{14} = 1. בשבר פשוט, «הופכי» הוא ממש היפוך המונה והמכנה — ומשם השם.

ארבע הטעויות של הפרק.

6:0=06 : 0 = 0
6:0=לא מוגדר6 : 0 = \text{לא מוגדר}

«לא מוגדר» אינו מספר. תשובה 0 כאן היא טעות, לא קירוב.

0:0=10 : 0 = 1
0:0=לא מוגדר0 : 0 = \text{לא מוגדר}

כאן יש יותר מדי מועמדים, ולכן אי אפשר לבחור אחד.

a⋅0=aa \cdot 0 = a
a⋅0=0a \cdot 0 = 0

בלבול בין שני הנייטרליים. 0 נייטרלי לחיבור, לא לכפל.

ההופכי של 5 הוא −5\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } -5
ההופכי של 5 הוא 15\text{ההופכי של } 5 \text{ הוא } \frac{1}{5}

−5-5 הוא הנגדי — מה שמחברים כדי לקבל 0. ההופכי הוא מה שכופלים כדי לקבל 1.

עכשיו נתרגל את שלושתם.

Exercices

Exercice 1

כמה זה 7:07 : 0?

  1. 7
  2. לא מוגדר
  3. 0
  4. אינסוף
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא מוגדר

Corrigé :

?⋅0=7? \cdot 0 = 7

אין מספר שעונה על כך

כל מספר כפול אפס נותן אפס, ולעולם לא 7. לכן אין תשובה כלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה זה 0:90 : 9?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

0⋅9=00 \cdot 9 = 0

התשובה קיימת ויחידה

כשהאפס הוא המחולק הכול תקין. רק אפס במחלק הורס את השאלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

0:00 : 0 שווה ל-1, כי כל מספר חלקי עצמו הוא 1.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

5⋅0=0  7⋅0=0\begin{aligned}5 \cdot 0 &= 0 \ \\ \ 7 \cdot 0 &= 0\end{aligned}

שני מועמדים — וגם כל השאר

כאן יש אינסוף תשובות אפשריות, ולכן אי אפשר לבחור אחת. גם 0:00 : 0 אינו מוגדר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

כמה זה 138⋅1138 \cdot 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 138

Corrigé :

a⋅1=aa \cdot 1 = a

1 הוא הנייטרלי של הכפל

אין כאן חישוב — יש כלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה זה 138⋅0138 \cdot 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

a⋅0=0a \cdot 0 = 0

כפל באפס מוחק הכול

שימו לב להבדל מהשאלה הקודמת: 1 אינו מתערב, 0 מוחק. שניהם מיוחדים — כל אחד אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

איזה מספר הוא הנייטרלי של החיבור?

  1. 0
  2. כל מספר
  3. 1
  4. אין כזה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 0

Corrigé :

a+0=aa + 0 = a

שום דבר לא זז

1 הוא הנייטרלי של הכפל. לכל פעולה יש נייטרלי משלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו ההופכי של 4? ענו בשבר עשרוני.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.25

Corrigé :

4⋅14=14 \cdot \frac{1}{4} = 1

ההופכי הוא 14\frac{1}{4}

14=0.25\frac{1}{4} = 0.25

ובעשרוני

הופכי — כופלים ומקבלים 1. נגדי — מחברים ומקבלים 0. שני דברים שונים לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נגדי או הופכי?

  • נגדי
  • הופכי
  • כופלים ומקבלים 1
  • מחברים ומקבלים 0
  • של 5 — הוא −5-5
  • של 5 — הוא 15\frac{1}{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מחברים ומקבלים 0 — נגדי · כופלים ומקבלים 1 — הופכי · של 5 — הוא −5-5 — נגדי · של 5 — הוא 15\frac{1}{5} — הופכי

Corrigé :

5+(−5)=05 + (-5) = 0

הנגדי — חיבור

5⋅15=15 \cdot \frac{1}{5} = 1

וההופכי — כפל

הבלבול בין השניים הוא הטעות המרכזית של הפרק. השאלה תמיד: איזו פעולה, ואיזו תוצאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לאפס אין מספר הופכי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

?⋅0=1? \cdot 0 = 1

אין מספר כזה

וזו בדיוק אותה סיבה שאי אפשר לחלק באפס — שתי אמירות של אותה עובדה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

השלימו את ההופכיים

ההופכי של 10 הוא אחד חלקי ____, וההופכי של השבר 1/8 הוא ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ההופכי של 10 הוא אחד חלקי 10, וההופכי של השבר 1/8 הוא 8

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

חשבו בעזרת הנייטרליים: (17−17)⋅45+1⋅6(17 - 17) \cdot 45 + 1 \cdot 6

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

17−17=017 - 17 = 0

הסוגריים מתאפסות

0⋅45=00 \cdot 45 = 0

וכפל באפס מוחק את כל האיבר

1⋅6=61 \cdot 6 = 6

וכפל ב-1 אינו משנה דבר

מי שזיהה את שני הכללים לא חישב כאן כלום. זו בדיוק התועלת שלהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

a⋅1=aa \cdot 1 = a
a+0=aa + 0 = a
a:0=0a : 0 = 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : a:0=0a : 0 = 0 → a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

Corrigé :

a⋅1=a  a+0=a\begin{aligned}a \cdot 1 &= a \ \\ \ a + 0 &= a\end{aligned}

שני הנייטרליים, נכונים

a:0=לא מוגדרa : 0 = \text{לא מוגדר}

והשלישית מנסה לתת ערך למה שאין לו

שתי השורות הראשונות הן הנייטרליים. השלישית מנסה לתת ערך למשהו שאין לו ערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

כתבו את 30−12−830 - 12 - 8 כחיבור של נגדיים וחשבו.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

30+(−12)+(−8)30 + (-12) + (-8)

כל חיסור הופך לחיבור של נגדי

−12+(−8)=−20-12 + (-8) = -20

ועכשיו מותר לקבץ

30−20=1030 - 20 = 10

מחברים

אחרי ההפיכה לחיבור חוקי החילוף והקיבוץ חוזרים לתוקף — זו כל התועלת במהלך.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe