À quelle vitesse une puissance grandit · Puissances · Kita ז

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חזקה אינה רק כתיב מקוצר. היא מתארת מהירות — קצב שבו מספר גדל כשכופלים אותו בעצמו שוב ושוב. וזו מהירות שהאינטואיציה שלנו כמעט תמיד מחמיצה.

לספור את הקפיצות

ניקח את המספר 2 ונכפיל אותו בעצמו שוב ושוב. נראה בהתחלה משעמם — ואז זה מתפוצץ.

2^2 = 4

שתי הכפלות.

2^5 = 32

חמש — עדיין קטן.

2^{10} = 1024

עשר — וכבר עברנו אלף.

2^{20} = 1048576

עשרים — יותר ממיליון.

שימו לב לשתי השורות האחרונות: את המעריך הכפלנו רק פי 2 — מ-10 ל-20.

והתוצאה גדלה פי אלף. זה לא כפל, וזה גם לא חיבור — זה משהו אחר לגמרי.

סיפור אחד שמסביר הכול

בבוקר הראשון ילד אחד מספר סוד לשני חברים. למחרת כל אחד מהשניים מספר לשני חברים חדשים, וכך הלאה — כל יום, כל מי ששמע אתמול מספר לשניים.

כמה חדשים שומעים בכל יום?

סופרים רק את החדשים של כל יום.

2^1 = 2

יום ראשון — שניים

2^3 = 8

יום שלישי — שמונה

2^{10} = 1024

יום עשירי — אלף עשרים וארבעה

2^{20} = 1048576

ואחרי עשרים יום — יותר ממיליון

וזה בדיוק המבנה של כל התפשטות: חיידקים שמתחלקים, שמועה שרצה ברשת, מספר הקיפולים של דף נייר. בכל אחד מהם הכמות מוכפלת בכל שלב, ולכן היא חזקה — ולכן היא מדהימה אותנו בכל פעם מחדש.

דף נייר שמקפלים לשניים 10 פעמים — כמה שכבות מתקבלות?

Voir la réponse et le corrigé

1024. כל קיפול מכפיל את מספר השכבות, ולכן אחרי 10 קיפולים יש $2^{10} = 1024$ שכבות. בדף רגיל זה כבר עבה כמו ספר — וזו הסיבה שאי אפשר להמשיך לקפל.

וכשהבסיס הוא שבר

אותו דבר בדיוק קורה בכיוון ההפוך כשהבסיס קטן מ-1. כפל בשבר מקטין, ולכן הכפלה חוזרת בשבר מקטינה מהר מאוד.

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

חצי מחצי.

\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

וכבר בערך שלושה אחוזים מהשלם.

\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}

עשר פעמים — אלפית.

והשוו את המכנים לרשימה שלמעלה: $4$ , $32$ , $1024$ — בדיוק אותם מספרים. זה לא צירוף מקרים: כשכופלים חצי בעצמו $n$ פעמים, המכנה הוא $2^n$ .

\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{2^{n}}

וזה נכון לכל שבר: מעלים בחזקה את המונה ואת המכנה בנפרד. $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ , ולא $\frac{2}{9}$ .

מהו $\left(\frac{1}{3}\right)^3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{1}{27}$ . המונה: $1^3 = 1$ . המכנה: $3^3 = 27$ . השבר נעשה קטן מאוד, מהר מאוד — בדיוק כמו שהמספר השלם נעשה גדול מאוד.

שלוש הטעויות של היחידה.

2^{20} = 2 \cdot 20

2^{20} = 1048576

המעריך סופר כמה פעמים הבסיס מופיע בכפל. הוא אינו גורם בכפל.

\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}

\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}

החזקה חלה על שני חלקי השבר, לא רק על המכנה.

\left(\frac{1}{2}\right)^{5} > \frac{1}{2}

\left(\frac{1}{2}\right)^{5} < \frac{1}{2}

כשהבסיס קטן מ-1, חזקה מקטינה. «חזקה מגדילה» נכון רק לבסיס גדול מ-1.

עכשיו נתרגל — ובעיקר נרגיש כמה מהר זה רץ.

Exercices

Exercice 1

חשבו: $2^{10}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1024

Corrigé :

2^5 = 32

חצי הדרך

32 \cdot 32 = 1024

ועוד חמש הכפלות

$2^{10} = 1024$ הוא מספר ששווה לזכור — הוא חוזר בכל מקום, מקיפולי נייר ועד זיכרון מחשב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חיידק אחד מתחלק לשניים כל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

2^6

שש הכפלות

= 64

On calcule

כל שעה מכפילה את הכמות — ולכן מספר השעות הוא המעריך, לא הגורם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה גדול יותר: $2^{10}$ או $10^2$ ?

הם שווים
אי אפשר להשוות
$2^{10}$ , והרבה
$10^2$ , והרבה

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2^{10}$ , והרבה

Corrigé :

2^{10} = 1024

הראשון

10^2 = 100

והשני

אותם שני מספרים, שני תפקידים — והתוצאה שונה פי עשר. המעריך חזק הרבה יותר מהבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

דף נייר מקופל 8 פעמים לשניים. כמה שכבות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 256

Corrigé :

2^8

כל קיפול מכפיל

= 256

On calcule

שמונה קיפולים בלבד — ו-256 שכבות. זו הסיבה שמעבר ל-7 או 8 כבר אי אפשר לקפל דף רגיל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}$ ?

$\frac{5}{2}$
$\frac{1}{10}$
$\frac{1}{25}$
$\frac{1}{32}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{1}{32}$

Corrigé :

1^5 = 1

המונה

2^5 = 32

והמכנה

המכנה הוא בדיוק $2^5$ — אותם מספרים שראינו בחזקות של 2, רק הפוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו $\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$ ?

$\frac{2}{9}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{2}{6}$
$\frac{4}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{4}{9}$

Corrigé :

2^2 = 4

המונה בריבוע

3^2 = 9

והמכנה בריבוע

החזקה חלה על שני חלקי השבר. מי שהעלה רק את המכנה קיבל $\frac{2}{9}$ — הטעות הנפוצה כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כשהבסיס קטן מ-1, חזקה גבוהה יותר נותנת תוצאה קטנה יותר.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

כבר קטן מחצי

\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

ועוד הרבה יותר קטן

«חזקה מגדילה» נכון רק כשהבסיס גדול מ-1. כפל בשבר מקטין, ולכן הכפלה חוזרת מקטינה מהר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו המכנה של $\left(\frac{1}{3}\right)^{4}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 81

Corrigé :

3^4 = 81

המכנה עולה בחזקה

המונה נשאר 1, כי $1$ בכל חזקה הוא 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Rangez (סדרו) du plus petit au plus grand

$2^{10}$
$2^{2}$
$2^{4}$
$2^{6}$
$2^{8}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $2^{2}$ · $2^{4}$ · $2^{6}$ · $2^{8}$ · $2^{10}$

Corrigé :

4 \ , \ 16 \ , \ 64 \ , \ 256 \ , \ 1024

הערכים

כל קפיצה של 2 במעריך מכפילה את התוצאה פי 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שמועה מתפשטת: כל מי ששמע אתמול מספר היום לשני אנשים חדשים. ביום הראשון שמעו 2. כמה חדשים ישמעו ביום השביעי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 128

Corrigé :

2^7

שבעה ימים, בכל יום הכפלה

= 128

On calcule

השאלה מבקשת את החדשים של אותו יום בלבד — לא את הסכום מכל הימים. זו הקריאה שהכי מפספסים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מגדיל או מקטין?

מגדיל
מקטין

$\left(\frac{1}{4}\right)^{3}$ לעומת $\frac{1}{4}$
$\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$ לעומת $\frac{2}{5}$
$10^{5}$ לעומת 10
$3^{4}$ לעומת 3

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $3^{4}$ לעומת 3 — מגדיל · $\left(\frac{1}{4}\right)^{3}$ לעומת $\frac{1}{4}$ — מקטין · $10^{5}$ לעומת 10 — מגדיל · $\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$ לעומת $\frac{2}{5}$ — מקטין

Corrigé :

3^4 = 81 > 3

בסיס גדול מ-1 — מגדיל

\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} < \frac{1}{4}

ובסיס בין 0 ל-1 — מקטין

הכלל היחיד: בסיס גדול מ-1 — החזקה מגדילה. בסיס בין 0 ל-1 — החזקה מקטינה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

2^{10} = 1024

\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}

\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3}{16}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{3}{16}$ → $\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}$

Corrigé :

\begin{aligned}3^2 &= 9 \ \\ \ 4^2 &= 16\end{aligned}

המונה והמכנה, שניהם בחזקה

\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}

ולא $\frac{3}{16}$

המונה גם הוא עולה בחזקה: $3^2 = 9$ . שכחת המונה היא הטעות מספר אחת בחזקות של שברים.

Vérifier la réponse sur elev

לספור את הקפיצות

סיפור אחד שמסביר הכול

וכשהבסיס הוא שבר

Exercices

La suite se pratique sur elev