היקף ושטח של מלבן וריבוע · Geometry: square, rectangle and triangle · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ו׳⁩ (pupils in ⁨ה׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני מספרים, שני דברים שונים: היקף — אורך המסגרת, ושטח — כמה משבצות בפנים. המבחן אוהב לשאול על שניהם באותה שאלה.

P = 2(a + b)

היקף מלבן

S = a \times b

שטח מלבן

P = 4a

היקף ריבוע

S = a \times a

שטח ריבוע

אותו היקף — שטחים שונים

ליעל 12 גפרורים, וכל גפרור הוא צלע של משבצת. איזה מלבן יכיל הכי הרבה משבצות?

מ-12 גפרורים בנו ריבוע, ומ-12 אחרים — מלבן שאינו ריבוע. מה נכון בוודאות?

Show the answer and the solution

שטח הריבוע גדול יותר. הריבוע: $3 \times 3 = 9$ . שאר המלבנים: 8 ו-5. (שאלה מהמבחן לדוגמה.)

אותו שטח — היקפים שונים

ריבוע ומלבן שאינו ריבוע, ולשניהם שטח 36 סמ״ר. למי היקף גדול יותר?

Show the answer and the solution

למלבן. לריבוע היקף 24 ס״מ. כל מלבן אחר צר וארוך יותר: $9 \times 4$ נותן 26, $12 \times 3$ נותן 30.

ככל שהמלבן קרוב לריבוע — השטח גדל (כשההיקף קבוע), וההיקף קטן (כשהשטח קבוע). מלבן ארוך וצר הוא בזבזני.

מגדילים צלעות — מה קורה לשטח?

צלע אחת פי 2 — השטח פי 2. שתי הצלעות פי 2 — השטח פי 4. נסו בעצמכם:

ומה קרה להיקף? האם הוא גדל תמיד?

Show the answer and the solution

לא בהכרח. מלבן $4 \times 6$ הופך ל- $2 \times 18$ , וההיקף עולה מ-20 ל-40. אבל מלבן $10 \times 1$ הופך ל- $5 \times 3$ , וההיקף יורד מ-22 ל-16. בלי המידות — אי אפשר לדעת.

מדרגות: ההיקף של המלבן העוטף

צורת מדרגות: רוחבה 9 ס״מ, גובהה 5 ס״מ, ואת המדרגות לא מדדו. מה ההיקף שלה?

Show the answer and the solution

28 ס״מ. $2 \times (9 + 5) = 28$ — בלי לדעת אף מדרגה. 45 הוא השטח של המלבן העוטף, ו-14 הוא רק חצי מהמסגרת.

שתי טעויות שהמבחן מחכה להן.

\begin{aligned}3 \times 2 &= 6 \ \rightarrow\ 6 \times 4 \\ &= 12\end{aligned}

6 \times 4 = 24

כשמכפילים את שתי הצלעות פי 2, השטח גדל פי 4.

28 - 4 = 24

28

פינה שנחתכת במדרגה מקטינה את השטח — לא את ההיקף.

מהשטח אל הצלע

מלבן שהיקפו 30 ס״מ, ואורכו כפול מרוחבו. מה שטחו?

Show the answer and the solution

50 סמ״ר. חצי מההיקף הוא 15: רוחב ועוד אורך, כלומר שלושה רוחבים. רוחב 5, אורך 10, שטח $5 \times 10 = 50$ .

Exercises

Exercise 1

הריבוע

המלבן

בעזרת 16 גפרורים זהים בנה עומר ריבוע, ובעזרת 16 גפרורים אחרים בנה מלבן שאינו ריבוע. כל גפרור הוא צלע של משבצת. סמנו את המשפט הנכון:

שטח הריבוע קטן משטח המלבן
שטח הריבוע גדול משטח המלבן
לא ניתן לדעת בוודאות למי שטח גדול יותר
שטח הריבוע שווה לשטח המלבן

Show the answer and the solution

Answer: B שטח הריבוע גדול משטח המלבן

Worked solution:

4 \times 4 = 16

הריבוע: צלע 4

\begin{aligned}7 \times 1 &= 7 \\ \ 6 \times 2 &= 12 \\ \ 5 \times 3 &= 15\end{aligned}

כל המלבנים האחרים שהיקפם 16

16 > 15

גם המלבן הכי «ריבועי» קטן מהריבוע

התשובה: שטח הריבוע גדול יותר. «לא ניתן לדעת» נראה זהיר, אבל כאן בדקנו את כל המלבנים האפשריים — וכולם קטנים.

Check the answer on elev

Exercise 2

הריבוע

המלבן

לריבוע ולמלבן אותו היקף: 24 ס״מ. רוחב המלבן 4 ס״מ. בכמה סמ״ר שטח הריבוע גדול משטח המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}24 : 4 &= 6 \\ \ 6 \times 6 &= 36\end{aligned}

הריבוע: צלע 6, שטח 36

\begin{aligned}24 : 2 &= 12 \\ \ 12 - 4 &= 8\end{aligned}

חצי היקף המלבן הוא 12, ולכן האורך 8

\begin{aligned}8 \times 4 &= 32 \\ \ 36 - 32 &= 4\end{aligned}

ההפרש

התשובה: 4 סמ״ר. מי שמחסר מ-24 את 4 בשביל האורך (ולא מ-12) מקבל אורך 20 — מלבן שהיקפו 48.

Check the answer on elev

Exercise 3

לפני

אחרי

אם מגדילים פי 3 גם את האורך וגם את הרוחב של מלבן, השטח שלו גדל פי 9.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2 \times 1 = 2

מלבן לדוגמה

\begin{aligned}6 \times 3 &= 18 \\ &= 2 \times 9\end{aligned}

אחרי ההגדלה

הטענה נכונה. כל צלע מכפילה את השטח פי 3, ושתיהן יחד — פי $3 \times 3 = 9$ . מי שעונה «פי 3» או «פי 6» חושב על ההיקף, לא על השטח.

Check the answer on elev

Exercise 4

מה היקף צורת המדרגות שבשרטוט? רוחבה 10 ס״מ וגובהה 7 ס״מ.

34 ס״מ
לא ניתן לדעת בלי מידות המדרגות
70 ס״מ
17 ס״מ

Show the answer and the solution

Answer: A 34 ס״מ

Worked solution:

10 + 7 = 17

כל הקטעים האופקיים יחד: 10. כל האנכיים יחד: 7

2 \times (10 + 7) = 34

היקף המלבן העוטף

התשובה: 34 ס״מ. 70 הוא שטח המלבן העוטף, 17 הוא חצי מהמסגרת, ו«לא ניתן לדעת» היא המלכודת.

Check the answer on elev

Exercise 5

מלבן 10 על 4 ס״מ, שחסרה לו פינה, כמו בשרטוט. את מידות הפינה החסרה לא מדדו. מה נכון?

השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף קטן מ-28 ס״מ
השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף שווה ל-28 ס״מ
לא ניתן לדעת דבר בלי מידות הפינה
השטח שווה ל-40 סמ״ר, וההיקף קטן מ-28 ס״מ

Show the answer and the solution

Answer: B השטח קטן מ-40 סמ״ר, וההיקף שווה ל-28 ס״מ

Worked solution:

2 \times (10 + 4) = 28

היקף המלבן השלם

28

בפינה החסרה שני קטעים רק זזו פנימה — האורך שלהם לא השתנה

S < 10 \times 4 = 40

חלק מהשטח נגזר

התשובה: השטח קטן מ-40, וההיקף שווה ל-28. «לא ניתן לדעת» היא המלכודת: את השטח המדויק אי אפשר לדעת, אבל את ההשוואה — כן.

Check the answer on elev

Exercise 6

שטח 36

המלבן

שטח הריבוע 36 סמ״ר. אורך המלבן כפול מצלע הריבוע, ורוחבו חצי מצלע הריבוע. מה היקף המלבן, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

6 \times 6 = 36

צלע הריבוע: 6 ס״מ

\begin{aligned}6 \times 2 &= 12 \\ \ \ 6 : 2 &= 3\end{aligned}

האורך והרוחב של המלבן

2 \times (12 + 3) = 30

30 ס״מ. לשתי הצורות אותו שטח, 36 — אבל המלבן ארוך וצר, ולכן ההיקף שלו גדול מ-24 של הריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו כל שינוי לפי מה שהוא עושה להיקף.

ההיקף לא משתנה
ההיקף משתנה

גוזרים חריץ מאמצע צלע של מלבן
גוזרים ריבוע קטן מפינה של מלבן
חותכים מלבן לשני מלבנים, ומחברים את שני ההיקפים
מדביקים ריבוע לאמצע צלע של מלבן
ממלאים את הפינה החסרה של צורת L, והיא נהיית מלבן

Show the answer and the solution

Answer: גוזרים ריבוע קטן מפינה של מלבן — ההיקף לא משתנה · גוזרים חריץ מאמצע צלע של מלבן — ההיקף משתנה · ממלאים את הפינה החסרה של צורת L, והיא נהיית מלבן — ההיקף לא משתנה · מדביקים ריבוע לאמצע צלע של מלבן — ההיקף משתנה · חותכים מלבן לשני מלבנים, ומחברים את שני ההיקפים — ההיקף משתנה

Worked solution:

P \rightarrow P

פינה שנגזרת או מתמלאת: שני קטעים רק זזים

P \rightarrow P + 2 \times \text{עומק}

חריץ באמצע צלע: שתי דפנות חדשות

פינה שנגזרת או מתמלאת: שני קטעים רק זזים, וההיקף לא משתנה. חריץ, ריבוע מודבק או חיתוך — מוסיפים קטעים חדשים, וההיקף גדל.

Check the answer on elev

Exercise 8

היקף 18

מלבנים שהיקפם 18 ס״מ, והצלעות שלהם מספרים שלמים. השלימו את הטבלה.

הרוחב (ס״מ)	האורך (ס״מ)	השטח (סמ״ר)
1	____	____
2	____	____
3	____	____
4	____	____

Show the answer and the solution

Answer: 1: 8, 8 · 2: 7, 14 · 3: 6, 18 · 4: 5, 20

Worked solution:

18 : 2 = 9

רוחב ועוד אורך: חצי מההיקף

4 \times 5 = 20

הכי קרוב לריבוע — השטח הגדול ביותר

ככל שהרוחב והאורך קרובים זה לזה, השטח גדל: 8, 14, 18, 20.

Check the answer on elev

Exercise 9

24 סמ״ר

לשני מלבנים אותו שטח. האורך הוא הצלע הארוכה של כל מלבן. מה נכון בהכרח?

למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף גדול יותר
לא ניתן לדעת דבר על ההיקפים בלי המידות
למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף קטן יותר
לשני המלבנים אותו היקף

Show the answer and the solution

Answer: A למלבן שאורכו גדול יותר יש היקף גדול יותר

Worked solution:

2 \times (6 + 4) = 20

מלבן אחד

2 \times (8 + 3) = 22

הארוך יותר: היקף גדול יותר

התשובה: לארוך יותר היקף גדול יותר. כשהשטח קבוע, ככל שהמלבן ארוך וצר יותר — המסגרת ארוכה יותר. הריבוע הוא הקצר מכולם.

Check the answer on elev

Exercise 10

המלבן

הריבוע

לחוט יש אורך של היקף מלבן 9 על 5 ס״מ. מכופפים אותו לריבוע. מה שטח הריבוע, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 49

Worked solution:

2 \times (9 + 5) = 28

אורך החוט

28 : 4 = 7

צלע הריבוע

7 \times 7 = 49

49 סמ״ר — יותר מ-45 של המלבן. אותו חוט, והריבוע מכיל הכי הרבה.

Check the answer on elev

אותו היקף — שטחים שונים

אותו שטח — היקפים שונים

מגדילים צלעות — מה קורה לשטח?

מדרגות: ההיקף של המלבן העוטף

מהשטח אל הצלע

Exercises

Keep practising on elev