משולש · Plane geometry · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המשולש הוא הצורה שהמבחן אוהב יותר מכול. יש לו שלוש צלעות, שלושה קודקודים ושלוש זוויות — ושלושה כללים שכדאי לדעת בעל פה: סכום הזוויות, הזווית החיצונית ואי-שוויון המשולש.

סכום הזוויות במשולש

שלוש זוויות, שלושה ביטויים. יחד הן תמיד

180°

\angle A + \angle B + \angle C = 180°

בכל משולש, בלי יוצא מן הכלל

זווית חיצונית

ממשיכים את הצלע

BC

מעבר ל-

C

(הקו המקווקו). הזווית שבחוץ היא הזווית החיצונית.

ממשיכים צלע אחת של המשולש מעבר לקודקוד. הזווית שנוצרת בחוץ היא זווית חיצונית. היא צמודה לזווית הפנימית שלידה, ולכן שתיהן יחד $180°$ . ויש קיצור: הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

Interactive activity

הזווית החיצונית ליד $C$

במשולש $ABC$ : $\angle A = 50°$ ו- $\angle B = 65°$ . מהי הזווית החיצונית ליד $C$ ?

$65°$

$115°$

$130°$

$245°$

מה הדרך הקצרה?

מחברים את שתי הזוויות הרחוקות: $50 + 65$

Show the answer and the solution

הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

מחשבים $180 - 50 - 65$

Show the answer and the solution

זו הזווית הפנימית ליד $C$ , לא החיצונית.

50 + 65 = 115

הזווית החיצונית: $115°$ .

איך בודקים בדרך השנייה?

$\angle C = 180 - 115 = 65$ , ואז $180 - 65$

Show the answer and the solution

קודם הזווית הפנימית, ואז הצמודה לה.

$\angle C + 115 = 360$

Show the answer and the solution

זווית פנימית וחיצונית ליד אותו קודקוד הן צמודות: הסכום $180$ , לא $360$ .

\begin{aligned}\angle C &= 65° \\ \quad 180 - 65 &= 115\end{aligned}

אותה תשובה בשתי הדרכים ✓.

Show the answer and the solution

$115°$ . המסיח $65°$ הוא הזווית הפנימית — מי שחישב $180 - 50 - 65$ ענה על שאלה אחרת.

Do the activity on elev

זווית חיצונית של משולש היא $130°$ , ואחת משתי הזוויות הפנימיות הרחוקות ממנה היא $70°$ . מהי השנייה?

Show the answer and the solution

$60°$ . $130 - 70 = 60$ , כי שתי הרחוקות יחד שוות לזווית החיצונית.

סוגי משולשים

a = c

שווה-שוקיים: שתי צלעות שוות, ושתי זוויות הבסיס שוות

60°, \ 60°, \ 60°

שווה-צלעות: שלוש צלעות שוות וכל זווית $60°$

90° + \alpha + \beta = 180°

ישר-זווית: שתי הזוויות החדות משלימות ל- $90°$

שווה-שוקיים

שווה-צלעות

ישר-זווית

אי-שוויון המשולש

לא כל שלושה מספרים הם צלעות של משולש. כל צלע חייבת להיות קטנה מסכום שתי האחרות. בפועל מספיק לבדוק את הצלע הארוכה: אם היא קטנה מסכום שתי הקצרות — יש משולש.

האם יש משולש שצלעותיו $3$ , $4$ ו- $8$ ס״מ?

Show the answer and the solution

לא. $3 + 4 = 7$ , ו- $7$ קטן מ- $8$ . שתי הצלעות הקצרות לא מגיעות להיפגש.

שטח וגובה

הגובה

h

יוצא מהקודקוד

C

ומאונך לצלע

a

שמולו.

גובה במשולש הוא קטע שיוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו. השטח הוא הצלע כפול הגובה אליה, חלקי 2 — כי המשולש הוא חצי ממלבן.

S = \frac{a \times h}{2}

$a$ צלע, $h$ הגובה אליה

שטח משולש הוא $36$ סמ״ר, ואחת מצלעותיו $12$ ס״מ. מהו הגובה לצלע זו?

הופכים את הנוסחה.

\frac{12 \times h}{2} = 36

\begin{aligned}6h &= 36 \Rightarrow h \\ &= 6\end{aligned}

הגובה $6$ ס״מ

שתי הטעויות הנפוצות בשאלות משולש.

\begin{aligned}S &= 12 \times 6 \\ &= 72\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{12 \times 6}{2} \\ &= 36\end{aligned}

שכחו לחלק ב- $2$ . $72$ הוא שטח המלבן, והוא תמיד מופיע בין התשובות.

180 - 50 - 65 = 65

50 + 65 = 115

$65°$ היא הזווית הפנימית ליד $C$ . השאלה שאלה על הזווית החיצונית.

בשאלות אי-שוויון המשולש, המבחן בוחר כמעט תמיד מקרה גבולי כמו $2$ , $3$ , $5$ : שם $2 + 3 = 5$ , שווה ולא גדול — ואין משולש. ובשאלה עם $x$ בזוויות: פתרו, ואז בדקו שכל זווית חיובית ושהסכום $180°$ .

Exercises

Exercise 1

שתי זוויות של משולש הן $47°$ ו- $68°$ . מהי הזווית השלישית (במעלות)?

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

47 + 68 = 115

180 - 115 = 65

התשובה היא $65°$ . סכום הזוויות במשולש $180°$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

אילו שלושה אורכים (בס״מ) יכולים להיות צלעות של משולש?

$5, \ 6, \ 10$
$4, \ 5, \ 9$
$1, \ 2, \ 3$
$2, \ 3, \ 6$

Show the answer and the solution

Answer: A $5, \ 6, \ 10$

Worked solution:

5 + 6 = 11 > 10

הצלע הארוכה קטנה מסכום הקצרות

\begin{aligned}4 + 5 &= 9 \\ \quad 1 + 2 &= 3\end{aligned}

שוויון — אין משולש

התשובה היא $5, 6, 10$ . בשאר האפשרויות שתי הצלעות הקצרות קצרות מדי, או שוות בדיוק לארוכה.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש ישר-זווית, סכום שתי הזוויות החדות הוא $90°$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

180 - 90 = 90

הטענה נכונה. הזווית הישרה לוקחת $90°$ מתוך $180°$ , ושתי האחרות חולקות את השאר.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש צלע שאורכה $10$ ס״מ, והגובה אליה $7$ ס״מ. מהו שטח המשולש בסמ״ר?

$34$
$35$
$17$
$70$

Show the answer and the solution

Answer: B $35$

Worked solution:

\frac{10 \times 7}{2} = 35

התשובה היא 35. $70$ הוא המכפלה בלי החלוקה ב- $2$ .

Check the answer on elev

סכום הזוויות במשולש

זווית חיצונית

סוגי משולשים

אי-שוויון המשולש

שטח וגובה

Exercises

Keep practising on elev