איור משותף לכמה שאלות · Questions on a shared graph or figure · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במבחן, שרטוט גאומטרי אחד משרת בדרך כלל שתי שאלות: השטח וההיקף, או שטח הפנים והנפח. ביחידה הזו חמש צורות כאלה. בכל אחת — מה משתנה כשגוזרים, ומה לא משתנה.

מלבן שגזרו ממנו פינה

מלבן שאורכו x ס״מ ורוחבו 6 ס״מ, ומפינתו גזרו ריבוע שצלעו 3 ס״מ.

S = 6x - 9

שטח: שטח המלבן פחות שטח הריבוע שגזרו ( $3 \cdot 3 = 9$ ).

\begin{aligned}P &= 2(x + 6) \\ &= 2x + 12\end{aligned}

היקף: כמו של המלבן השלם. שתי הצלעות החדשות ( $3$ ו- $3$ ) מחליפות בדיוק את שני הקטעים שנגזרו.

בשרטוט הזה, אם $x = 10$ — מה השטח ומה ההיקף?

Show the answer and the solution

מציבים בביטויים: $6 \cdot 10 - 9 = 51$ סמ״ר, $2 \cdot 10 + 12 = 32$ ס״מ. שתי שאלות, שרטוט אחד, ביטוי אחד לכל שאלה.

חריץ באמצע הצלע

ריבוע שצלעו x ס״מ. באמצע הצלע העליונה גזרו חריץ: רוחבו 4 ס״מ ועומקו 2 ס״מ.

כאן הגזירה לא בפינה. השטח קטן ב- $4 \cdot 2 = 8$ . אבל ההיקף גדל: הקטע של $4$ שנגזר מהצלע העליונה חוזר כקרקעית החריץ, ושתי הדפנות של החריץ ( $2$ ו- $2$ ) הן תוספת.

\begin{aligned}S &= x^2 - 8 \qquad P \\ &= 4x + 2 \cdot 2 \\ &= 4x + 4\end{aligned}

אילו החריץ היה עמוק $3$ ס״מ (ולא $2$ ), בכמה היה ההיקף גדל לעומת הריבוע?

Show the answer and the solution

ב- $6$ ס״מ: שתי דפנות של $3$ . רוחב החריץ לא משנה את ההיקף — רק העומק שלו, פעמיים.

ריבוע וחצי עיגול

ריבוע שצלעו 4 ס״מ, ועל הצלע העליונה חצי עיגול שהקוטר שלו הוא צלע הריבוע.

במבחן נותנים $\pi = 3.14$ ואת הנוסחאות. השטח של חצי עיגול: $\frac{1}{2} \pi r^2$ . האורך של הקשת: $\frac{1}{2} \cdot 2 \pi r = \pi r$ .

השטח וההיקף של הצורה

הרדיוס הוא חצי מהצלע: $r = 2$ .

\begin{aligned}4 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 2 \cdot 2 &= 16 + 6.28 \\ &= 22.28\end{aligned}

שטח: ריבוע ועוד חצי עיגול

\begin{aligned}3 \cdot 4 + 3.14 \cdot 2 &= 12 + 6.28 \\ &= 18.28\end{aligned}

היקף: שלוש צלעות של הריבוע ועוד הקשת

למה בהיקף סופרים רק שלוש צלעות של הריבוע?

Show the answer and the solution

הצלע הרביעית נמצאת בתוך הצורה — חצי העיגול יושב עליה. היקף הוא רק מה שמקיף את הצורה מבחוץ.

תיבה שהוציאו ממנה קובייה

תיבה שמידותיה 5, 3 ו-4 ס״מ. מהפינה העליונה הוציאו קובייה שצלעה 1 ס״מ.

הנפח קטן בנפח הקובייה: $5 \cdot 3 \cdot 4 - 1 = 59$ סמ״ק. אבל שטח הפנים לא משתנה: שלוש פאות קטנות יצאו מהתיבה (מלמעלה, מלפנים ומהצד), ושלוש פאות קטנות חדשות נפתחו בתוך השקע — באותו גודל.

\begin{aligned}S &= 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 3 \cdot 4) \\ &= 94\end{aligned}

ואם היו מוציאים את הקובייה מאמצע הפאה העליונה (בור בעומק $1$ ), ולא מהפינה — מה היה קורה לשטח הפנים?

Show the answer and the solution

הוא היה גדל ב- $4$ סמ״ר. הפאה העליונה מאבדת ריבוע אחד, קרקעית הבור מחזירה אותו, וארבע דפנות הבור הן תוספת. בפינה אין תוספת כזו, כי שם הדפנות מחליפות פאות שיצאו.

שטח מקווקו

ריבוע שצלעו 4 ס״מ, ובתוכו עיגול שנוגע בארבע הצלעות. החלק האפור הוא השטח המקווקו.

השטח האפור

האפור הוא מה שנשאר מהריבוע אחרי שמוציאים את העיגול.

4 \cdot 4 = 16

הריבוע

3.14 \cdot 2 \cdot 2 = 12.56

העיגול: הרדיוס הוא חצי מהצלע

16 - 12.56 = 3.44

השטח האפור בסמ״ר

שלוש טעויות שחוזרות בשרטוט משותף.

P = 2x + 12 - 6

P = 2x + 12

גזירה מפינה לא מקטינה את ההיקף. רק השטח קטן.

94 - 3 = 91

94

קובייה שיצאה מפינה של תיבה לא משנה את שטח הפנים. היא משנה רק את הנפח.

S = 2\pi r

S = \pi r^2

השטח של עיגול הוא $\pi r^2$ , וההיקף הוא $2\pi r$ . כשהרדיוס $2$ יוצא אותו מספר ( $12.56$ ) — וזה בדיוק מה שמבלבל. תמיד כותבים את הנוסחה לפני שמציבים.

מלבן שגזרו ממנו פינה

חריץ באמצע הצלע

ריבוע וחצי עיגול

תיבה שהוציאו ממנה קובייה

שטח מקווקו

Keep practising on elev