כבר ראינו צורות שאפשר לסובב פחות מסיבוב שלם — והן נראות בדיוק כמו קודם.
אבל סביב איזו נקודה מסובבים? נסו בעצמכם.
הנקודה האדומה שסביבה זה עובד נקראת מרכז הסימטרייה של הצורה.
מסובבים סביבה את הצורה פחות מסיבוב שלם — והיא נופלת בדיוק על המקום שבו הייתה.
איפה נמצא מרכז הסימטרייה של מלבן?
Show the answer and the solution
בנקודה שבה נפגשים שני האלכסונים — בדיוק באמצע המלבן. סביב כל נקודה אחרת, חצי סיבוב מזיז את המלבן למקום אחר.
למה סיבוב סביב קודקוד לא עובד?
Show the answer and the solution
כי הקודקוד לא באמצע. כשמסובבים סביבו, כל שאר הצורה זזה הצידה — והיא חוזרת למקומה רק אחרי סיבוב שלם.
בריבוע, במלבן, במעוין ובמקבילית — מרכז הסימטרייה הוא נקודת המפגש של האלכסונים.
קווים, דרגה ומרכז — מי יש לו מה
לכל צורה שלוש שאלות: כמה קווי סימטרייה יש לה? מהי הדרגה שלה? והאם יש לה מרכז?
יש מרכז בדיוק כשחצי סיבוב — 180 מעלות — מחזיר את הצורה על עצמה.
ריבוע — 4 קווי סימטרייה, דרגה 4, יש מרכז.
מלבן ומעוין — 2 קווים, דרגה 2, יש מרכז. במלבן הקווים עוברים באמצע הצלעות, ובמעוין — על האלכסונים.
מקבילית — אף קו, אבל דרגה 2 ויש מרכז.
דלתון וטרפז שווה שוקיים — קו אחד, ואין סימטרייה סיבובית ואין מרכז.
משולש שווה צלעות — 3 קווים, דרגה 3, ואין מרכז: חצי סיבוב לא מחזיר אותו על עצמו.
משולש שווה שוקיים — קו אחד, אין מרכז.
משולש שונה צלעות — שום סימטרייה.
איך קוראים את הטבלה: המספר הראשון הוא מספר קווי הסימטרייה, והשני הוא הדרגה. דרגה 1 פירושה: רק הסיבוב השלם מחזיר את הצורה — כלומר אין סימטרייה סיבובית.
לאיזה מרובע יש מרכז סימטרייה, אבל אין לו אף קו סימטרייה?
Show the answer and the solution
למקבילית. קיפול לא מכסה אותה בשום קו — אבל חצי סיבוב סביב מפגש האלכסונים מחזיר אותה בדיוק.
ולדלתון יש מרכז סימטרייה?
Show the answer and the solution
לא. יש לו קו סימטרייה אחד (האלכסון הארוך), אבל אם מסובבים אותו חצי סיבוב — הקצה החד עובר למעלה, והוא לא מתלכד.
שתי הטעויות של מרכז הסימטרייה.
קו סימטרייה ומרכז סימטרייה הם שתי תכונות נפרדות.
סביב קודקוד או סביב נקודה על צלע, הצורה זזה ממקומה.
Exercises
סדרה א — קל
Exercise 1
מהו מרכז הסימטרייה של צורה?
Show the answer and the solution
Answer: A נקודה שאם מסובבים סביבה את הצורה פחות מסיבוב שלם, הצורה מתלכדת עם עצמה
Worked solution:
קו מקפלים — סביב נקודה מסובבים. ולא כל נקודה מתאימה: רק אחת, באמצע.
Exercise 2
איפה נמצא מרכז הסימטרייה של המלבן שבציור?
Show the answer and the solution
Answer: A בנקודה שבה נפגשים האלכסונים
Worked solution:
סביב נקודת המפגש של האלכסונים, חצי סיבוב מחזיר את המלבן בדיוק.
Exercise 3
מהי דרגת הסימטרייה הסיבובית של מקבילית?
Show the answer and the solution
Answer: 2
Worked solution:
מתלכדת בחצי סיבוב ובסיבוב השלם
שתי התלכדויות בסיבוב שלם — דרגה 2.
Exercise 4
כמה קווי סימטרייה יש למקבילית (שאינה מלבן ואינה מעוין)?
Show the answer and the solution
Answer: 0
Worked solution:
אף קיפול לא מכסה אותה
גם האלכסון לא עובד: הקיפול משאיר פינות בולטות. זו ההפתעה של המקבילית.
Exercise 5
לריבוע יש מרכז סימטרייה.
Show the answer and the solution
Answer: True
Worked solution:
רבע סיבוב מספיק
המרכז הוא נקודת המפגש של האלכסונים.
Exercise 6
לדלתון יש מרכז סימטרייה.
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
רק הסיבוב השלם מחזיר אותו
לדלתון יש קו סימטרייה אחד, אבל אין לו סימטרייה סיבובית — ולכן אין מרכז.
Exercise 7
כמה קווי סימטרייה יש למעוין שאינו ריבוע?
Show the answer and the solution
Answer: 2
Worked solution:
שני האלכסונים
במעוין הקיפול עובד דווקא על האלכסונים — הפוך מהמלבן.
Exercise 8
מסובבים מקבילית סביב מרכז הסימטרייה שלה. אחרי כמה מעלות, לכל הפחות, היא מתלכדת עם עצמה?
Show the answer and the solution
Answer: 180
Worked solution:
דרגה 2
חצי סיבוב. ברבע סיבוב היא עדיין עקומה.
Exercise 9
התאימו כל צורה למספר קווי הסימטרייה שלה
Show the answer and the solution
Answer: ריבוע — 4 · מלבן — 2 · דלתון — 1 · מקבילית — 0
Worked solution:
המקבילית היא היחידה בלי אף קו.
Exercise 10
יש לצורה מרכז סימטרייה, או אין?
Show the answer and the solution
Answer: ריבוע — יש מרכז · מלבן — יש מרכז · מעוין — יש מרכז · מקבילית — יש מרכז · דלתון — אין מרכז · טרפז שווה שוקיים — אין מרכז
Worked solution:
לארבעת המרובעים הראשונים יש מרכז. לדלתון ולטרפז שווה השוקיים — רק קו סימטרייה.
Exercise 11
כמה קווי סימטרייה יש לטרפז שווה שוקיים?
Show the answer and the solution
Answer: 1
Worked solution:
הקו האנכי שעובר באמצע שני הבסיסים
רק קו אחד — וגם אין לו מרכז סימטרייה.
סדרה ב — בינוני
Exercise 12
מהי דרגת הסימטרייה הסיבובית של מעוין שאינו ריבוע?
Show the answer and the solution
Answer: 2
Worked solution:
חצי סיבוב מחזיר אותו
ברבע סיבוב המעוין «נשכב» — הוא לא ריבוע.
Exercise 13
לאיזה מרובע יש מרכז סימטרייה, אבל אין לו אף קו סימטרייה?
Show the answer and the solution
Answer: B מקבילית
Worked solution:
מקבילית
למלבן ולריבוע יש גם קווים, ולדלתון אין מרכז.
Exercise 14
לאיזה מרובע יש קו סימטרייה, אבל אין לו סימטרייה סיבובית?
Show the answer and the solution
Answer: C דלתון
Worked solution:
דלתון
למעוין ולמלבן יש גם סיבוב, ולמקבילית אין קו.
Exercise 15
מסובבים ריבוע סביב המרכז שלו, בצעדים של 30 מעלות, עד סיבוב שלם. כמה פעמים הוא מתלכד עם עצמו? (כולל הסיבוב השלם)
Show the answer and the solution
Answer: 4
Worked solution:
ארבע התלכדויות — וזו בדיוק הדרגה של הריבוע.
Exercise 16
אם מסובבים מלבן חצי סיבוב סביב אחד הקודקודים שלו, הוא חוזר בדיוק למקומו.
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
סביב קודקוד המלבן עובר לצד השני. רק סביב המרכז חצי סיבוב מחזיר אותו.
Exercise 17
השלימו
למשולש שווה צלעות יש ____ קווי סימטרייה, ודרגת הסימטרייה הסיבובית שלו היא ____
Show the answer and the solution
Answer: למשולש שווה צלעות יש 3 קווי סימטרייה, ודרגת הסימטרייה הסיבובית שלו היא 3
Worked solution:
קו אחד מכל קודקוד, והוא מתלכד בכל שליש סיבוב.
Exercise 18
בכמה מעלות, לכל הפחות, צריך לסובב משולש שווה צלעות סביב המרכז שלו כדי שיתלכד עם עצמו?
Show the answer and the solution
Answer: 120
Worked solution:
שליש סיבוב. חצי סיבוב (180) הופך אותו עם הקודקוד למטה — זה לא עובד.
Exercise 19
מה משותף למעוין ולמלבן (שאינם ריבוע)?
Show the answer and the solution
Answer: A לשניהם 2 קווי סימטרייה ודרגה 2
Worked solution:
המספרים זהים, אבל הקווים במקומות אחרים: במלבן — באמצע הצלעות, במעוין — על האלכסונים.
Exercise 20
סדרו מהמעט אל הרבה קווי סימטרייה
Show the answer and the solution
Answer: מקבילית · דלתון · מלבן · משולש שווה צלעות · ריבוע
Worked solution:
מהמקבילית (אפס) ועד הריבוע (ארבעה).
Exercise 21
לכל צורה שיש לה מרכז סימטרייה, יש גם קו סימטרייה.
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
המקבילית
המקבילית היא הדוגמה הנגדית: מרכז — כן, קו — לא.
Exercise 22
כמה קווי סימטרייה יש למעוין ולדלתון ביחד? (המעוין אינו ריבוע)
Show the answer and the solution
Answer: 3
Worked solution:
במעוין שני האלכסונים, ובדלתון רק האלכסון הארוך.
סדרה ג — מאתגר
Exercise 23
מה הסכום של דרגות הסימטרייה הסיבובית של ריבוע, מלבן ומקבילית?
Show the answer and the solution
Answer: 8
Worked solution:
המקבילית מקבלת 2 — אף שאין לה אף קו סימטרייה.
Exercise 24
מסובבים מקבילית רבע סיבוב (90 מעלות) סביב המרכז שלה. מה קורה?
Show the answer and the solution
Answer: B היא לא מתלכדת עם עצמה — צריך חצי סיבוב
Worked solution:
סיבוב לא משנה את הצורה ולא מזיז את המרכז — רק השאלה אם היא מכסה את הצל.
Exercise 25
למשושה שכל הצלעות שלו וכל הזוויות שלו שוות יש דרגת סימטרייה 6. בכמה מעלות, לכל הפחות, צריך לסובב אותו כדי שיתלכד עם עצמו?
Show the answer and the solution
Answer: 60
Worked solution:
מחלקים את הסיבוב השלם בדרגה.
Exercise 26
לגלגל אופניים יש 12 חישורים זהים, במרחקים שווים. בכמה מעלות, לכל הפחות, צריך לסובב את הגלגל כדי שייראה בדיוק כמו קודם?
Show the answer and the solution
Answer: 30
Worked solution:
12 חישורים — דרגה 12. מרכז הסימטרייה הוא הציר של הגלגל.
Exercise 27
למשולש שווה שוקיים (שאינו שווה צלעות) יש מרכז סימטרייה.
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
יש לו קו סימטרייה אחד, אבל שום סיבוב קטן מסיבוב שלם לא מחזיר אותו.
Exercise 28
רוצים לבדוק אם נקודה מסוימת היא מרכז סימטרייה של צורה. מה עושים?
Show the answer and the solution
Answer: B מסובבים את הצורה סביב הנקודה פחות מסיבוב שלם, ובודקים אם היא מתלכדת עם עצמה
Worked solution:
מרכז בודקים בסיבוב. קיפול בודק קו סימטרייה.
Exercise 29
האם דרגת הסימטרייה הסיבובית היא 2 בדיוק?
Show the answer and the solution
Answer: מלבן — דרגה 2 · מעוין — דרגה 2 · מקבילית — דרגה 2 · ריבוע — דרגה אחרת · משולש שווה צלעות — דרגה אחרת · דלתון — דרגה אחרת
Worked solution:
מלבן, מעוין, מקבילית
ריבוע, משולש שווה צלעות, דלתון
לריבוע דרגה 4 — לא 2, אף שגם הוא מתלכד בחצי סיבוב.
Exercise 30
במלבן שבציור הצלעות הן 6 ס״מ ו-4 ס״מ. מה המרחק ממרכז הסימטרייה אל הצלע הארוכה? (בס״מ)
Show the answer and the solution
Answer: 2
Worked solution:
המרכז באמצע הרוחב
המרכז באמצע המלבן: חצי מהרוחב מתחתיו וחצי מעליו.
Exercise 31
התאימו כל צורה לסימטרייה שלה
Show the answer and the solution
Answer: ריבוע — 4 קווים, דרגה 4 · מקבילית — 0 קווים, דרגה 2 · דלתון — קו אחד, אין סיבוב · משולש שווה צלעות — 3 קווים, דרגה 3
Worked solution:
זו כל הטבלה — כדאי לדעת אותה בעל פה.
Exercise 32
לצורה שיש לה בדיוק 2 קווי סימטרייה (כמו מלבן או מעוין), יש גם מרכז סימטרייה.
Show the answer and the solution
Answer: True
Worked solution:
שני הקווים נחתכים בזווית ישרה. קיפול על קו אחד ואחריו על השני שווה לחצי סיבוב סביב נקודת החיתוך — והיא המרכז.
סדרה ב — בינוני
Exercise 33
השלימו את הטבלה: יש לצורה מרכז סימטרייה?
| הצורה | דרגה | יש מרכז? |
|---|---|---|
| ריבוע | ____ | ____ |
| דלתון | ____ | ____ |
| מעוין | ____ | ____ |
| משולש שווה צלעות | ____ | ____ |
| מקבילית | ____ | ____ |
Show the answer and the solution
Answer: ריבוע: 4, כן · דלתון: 1, לא · מעוין: 2, כן · משולש שווה צלעות: 3, לא · מקבילית: 2, כן
Worked solution:
הדרגות
למשולש שווה צלעות דרגה 3, ובכל זאת אין מרכז: חצי סיבוב הופך אותו.
סדרה ג — מאתגר
Exercise 34
שורה אחת שגויה — מצאו אותה
Show the answer and the solution
Answer: →
Worked solution:
חצי סיבוב מוריד את הקודקוד למטה
מרכז סימטרייה דורש שחצי סיבוב יחזיר את הצורה — לא רק סיבוב כלשהו.