Tiling with congruent regular polygons

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הסתכלו על רצפה של מרפסת, על מדרכה, או על קיר של אמבטיה. הן מכוסות בלי חורים ובלי חפיפות — זה נקרא ריצוף. השאלה של השיעור פשוטה: איזו צורה מתאימה לזה, ואיזו לא?

שתי מילים שצריך להכיר קודם

11

צורות חופפות — אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק. לא דומה, לא מעט יותר גדולה: בדיוק.

22

מצולע משוכלל — כל הצלעות שלו שוות זו לזו, וגם כל הזוויות שוות זו לזו.

שני התנאים של «משוכלל» נחוצים יחד. למעוין יש ארבע צלעות שוות והוא אינו משוכלל, כי הזוויות שלו אינן שוות. הריבוע הוא המרובע המשוכלל היחיד.

האם כל שני ריבועים הם חופפים?

Show the answer and the solution

לא. ריבוע שצלעו 2 ס״מ וריבוע שצלעו 5 ס״מ הם שניהם ריבועים, אבל אחד לא יכסה את השני. חפיפה דורשת גם אותה צורה וגם אותו גודל.

הסוד נמצא סביב נקודה אחת

כשמרצפים, נפגשות כמה אריחים סביב אותה נקודה. אם הזוויות שלהם משאירות חור — הרצפה לא שלמה. אם הן עוברות את הסיבוב — האריחים עולים זה על זה. לכן צריך בדיוק סיבוב שלם:

סכום הזוויות סביב הנקודה = 360 מעלות, לא פחות ולא יותר

עכשיו אפשר לנסח את הכלל בלי לנסות בכלל: צורה מרצפת אם 360 מתחלק בזווית שלה בלי שארית.

למה המחומש לא מרצף

הזווית של מחומש משוכלל היא 108 מעלות. נבדוק כמה מהן נכנסות בסיבוב.

108×3=324108 \times 3 = 324

שלושה מחומשים — ועדיין לא הגענו

360−324=36360 - 324 = 36

נשאר חור של 36 מעלות

108>36108 > 36

ומחומש רביעי גדול מדי בשביל החור. אין דרך לסגור — המחומש אינו מרצף

60×6=36060 \times 6 = 360

משולש שווה צלעות — שישה סביב נקודה

90×4=36090 \times 4 = 360

ריבוע — ארבעה, כמו רצפה של בית

120×3=360120 \times 3 = 360

משושה משוכלל — שלושה, כמו חלת דבש

אלה השלושה היחידים. אין מצולע משוכלל רביעי שמרצף לבדו — לא מחומש, לא משובע, ולא מתומן. ככל שהמצולע גדול יותר, הזווית שלו גדולה יותר, ו-360 מפסיק להתחלק בה.

שתי הטעויות של הפרק.

מצולע משוכלל→מרצף\text{מצולע משוכלל} \rightarrow \text{מרצף}
רק אם 360:זווית שלם\text{רק אם } 360 : \text{זווית} \ \text{שלם}

«משוכלל» לא מבטיח כלום. המחומש משוכלל לגמרי, ובכל זאת נשאר לו חור.

חופפות=דומות\text{חופפות} = \text{דומות}
חופפות=אותה צורה ואותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה ואותו גודל}

שתי צורות דומות הן אותה צורה בגודל אחר. חופפות הן אותה צורה ואותו גודל — ורק הן מכסות זו את זו.

ומה שכן אפשר בכל זאת

הכלל הקפדני הזה חל על צורה אחת בלבד, משוכללת. ברגע שמרשים יותר, נפתחות אפשרויות: אפשר לרצף בשתי צורות יחד — ריבועים ומשולשים שווי צלעות, למשל, כי 90+90+60+60+60=36090 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360.

ועוד דבר מפתיע: כל משולש מרצף, וגם כל מרובע — גם העקומים ביותר, שאינם משוכללים בכלל. מסובבים עותק חופף חצי סיבוב, מצמידים, וממשיכים.

כמה משושים משוכללים נפגשים סביב נקודה בחלת דבש?

Show the answer and the solution

שלושה. 120×3=360120 \times 3 = 360. זו הסיבה שחלת דבש נראית כמו שהיא נראית — ולא מקרה.

Exercises

להכיר

Exercise 1

כמה ריבועים נפגשים סביב נקודה בריצוף?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

360:90=4360 : 90 = 4

הסיבוב חלקי הזווית

ארבעה.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה משולשים שווי צלעות נפגשים סביב נקודה?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

360:60=6360 : 60 = 6

זווית של 60 מעלות

שישה.

Check the answer on elev

Exercise 3

מה הפירוש של «שתי צורות חופפות»?

  1. יש להן אותו שטח
  2. אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק
  3. יש להן אותה צורה בגודל אחר
  4. יש להן אותו מספר צלעות
Show the answer and the solution

Answer: B אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק

Worked solution:

חופפות=אותה צורה+אותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה} + \text{אותו גודל}

שני תנאים יחד

אותה צורה ואותו גודל. שטח שווה לבדו אינו מספיק.

Check the answer on elev

Exercise 4

הזווית של משושה משוכלל היא 120 מעלות. כמה משושים נכנסים בסיבוב שלם?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

360:120=3360 : 120 = 3

שלוש פעמים בדיוק

שלושה — חלת דבש.

Check the answer on elev

להתאמן

Exercise 5

שלושה מחומשים משוכללים סביב נקודה. כמה מעלות נשארות עד סיבוב שלם?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

108×3=324108 \times 3 = 324

שלוש זוויות של מחומש

360−324=36360 - 324 = 36

והחור שנשאר

36 מעלות — ואין מחומש שמתאים להן.

Check the answer on elev

Exercise 6

כל מצולע משוכלל מרצף את המישור

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

המחומש משוכלל — ואינו מרצף

המחומש המשוכלל הוא הנגד-דוגמה: 360 אינו מתחלק ב-108.

Check the answer on elev

Exercise 7

כל משולש — גם שאינו שווה צלעות — מרצף את המישור

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

180∘180^\circ

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב

מקבילית\text{מקבילית}

שני המשולשים יוצרים מקבילית, והיא מרצפת תמיד

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב ומצמידים: שני המשולשים יוצרים מקבילית, ובמקביליות אפשר לרצף תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 8

מיינו: מי מרצף לבדו ומי לא?

  • מרצף
  • אינו מרצף
  • מחומש משוכלל
  • משולש שווה צלעות
  • משושה משוכלל
  • מתומן משוכלל
  • ריבוע
Show the answer and the solution

Answer: ריבוע — מרצף · מחומש משוכלל — אינו מרצף · משושה משוכלל — מרצף · מתומן משוכלל — אינו מרצף · משולש שווה צלעות — מרצף

Worked solution:

60×6=90×4=120×3=360\begin{aligned}60 \times 6 &= 90 \times 4 \\ &= 120 \times 3 \\ &= 360\end{aligned}

שלושת המרצפים

108, 135108, \ 135

ואלה שאינם מחלקים את 360

שלושה בדיוק מרצפים לבדם: משולש שווה צלעות, ריבוע ומשושה.

Check the answer on elev

Exercise 9

הזווית של מתומן משוכלל היא 135 מעלות. כמה מעלות נשארות אחרי שני מתומנים?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

135×2=270135 \times 2 = 270

שתי זוויות

360−270=90360 - 270 = 90

והחור

חור בגודל זווית ישרה שלמה — ובדיוק לשם מכניסים ריבוע, וכך נראה ריצוף מפורסם של מדרכות.

Check the answer on elev

לשחק ולבדוק

Exercise 10

ריצוף מעורב של ריבועים ומשולשים שווי צלעות סביב נקודה

שני ריבועים נותנים ____ מעלות, ונשארות ____ מעלות — בדיוק שלושה משולשים

Show the answer and the solution

Answer: שני ריבועים נותנים 180 מעלות, ונשארות 180 מעלות — בדיוק שלושה משולשים

Worked solution:

90×2=18090 \times 2 = 180

שני ריבועים

360−180=180360 - 180 = 180

והשאר

60×3=18060 \times 3 = 180

שלושה משולשים ממלאים אותו בדיוק

ריצוף בשתי צורות — מותר, ויפה.

Check the answer on elev

Exercise 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

360:120=3360 : 120 = 3
360:108=3360 : 108 = 3
Show the answer and the solution

Answer: 360:108=3360 : 108 = 3 → 360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

Worked solution:

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

והשארית היא החור

108 אינו מחלק את 360. השארית היא בדיוק החור שרואים בציור.

Check the answer on elev

Exercise 12

מצולע משוכלל שזוויתו 150 מעלות — האם הוא מרצף?

  1. לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150
  2. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה צלעות יש לו
  3. כן, ארבעה סביב נקודה
  4. כן, שלושה סביב נקודה
Show the answer and the solution

Answer: A לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150

Worked solution:

150×2=300150 \times 2 = 300

שניים משאירים 60

150>60150 > 60

והשלישי גדול מדי

לא מרצף. הכלל עונה בלי לספור צלעות ובלי לצייר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade