Diagonals, symmetry and building quadrilaterals

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו ראינו מרובע ואמרנו את שמו. עכשיו נעשה את הדרך ההפוכה: נקבל תנאי ונבנה מרובע שמקיים אותו. זו הדרך שבה באמת לומדים תכונות — מי שבנה מלבן בעצמו כבר לא שוכח מה מייחד אותו.

האלכסון — הקו שחוצה את המרובע

אלכסון הוא קטע שמחבר שני קדקודים שאינם שכנים. לכל מרובע יש בדיוק שניים, והם נפגשים בתוכו. מה שמעניין הוא לא הקיום שלהם אלא ההתנהגות: האם הם שווים באורכם? האם הם מאונכים? האם כל אחד חוצה את השני לשני חלקים שווים?

11

במלבן האלכסונים שווים באורכם

22

במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה

33

בריבוע — גם וגם, כי ריבוע הוא מלבן ומעוין בבת אחת

מרובע שאלכסוניו שווים וגם מאונכים — מה שמו?

Show the answer and the solution

ריבוע. התכונה של המלבן ועוד התכונה של המעוין, יחד — וזו בדיוק ההגדרה של הריבוע.

לבנות לפי תנאי

קחו דף משבצות ועיפרון — השאלות האלה נפתרות ביד, לא בראש. לכל אחת מהן יש הרבה תשובות נכונות, וזה מה שהופך אותן למעניינות.

11

בנו מרובע שיש לו שתי זוויות ישרות. האם הוא חייב להיות מלבן?

22

בנו מרובע שיש לו שלוש זוויות קהות. האם זה בכלל אפשרי?

33

נתון קטע. השלימו אותו למקבילית — בכמה דרכים שונות אפשר?

שלוש זוויות קהות — אפשרי או לא

לא מנסים לצייר באקראי. בודקים בחשבון, כי סכום הזוויות במרובע הוא תמיד 360 מעלות.

100+100+100=300100 + 100 + 100 = 300

שלוש זוויות קהות, נניח 100 מעלות כל אחת

360−300=60360 - 300 = 60

ולרביעית נשארות 60 מעלות

60<9060 < 90

זווית חדה — ולכן המרובע קיים. שלוש קהות אפשריות, וארבע כבר לא

ארבע זוויות קהות היו נותנות יותר מ-360 מעלות, וזה בלתי אפשרי במרובע. החשבון עונה על שאלת בנייה לפני שמרימים עיפרון.

סימטריה — מה קורה כשמקפלים

קו סימטריה הוא קו שאם מקפלים לאורכו, שני החצאים מתכסים בדיוק. זה אותו רעיון של חפיפה, רק בתוך צורה אחת.

44

ריבוע — שני קווים דרך אמצעי הצלעות ושני אלכסונים

22

מלבן — רק השניים שדרך אמצעי הצלעות

11

דלתון — האלכסון הראשי בלבד

00

מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין — אף אחד

האלכסון של המלבן — הטעות הכי יפה בפרק.

אלכסון מלבן=קו סימטריה\text{אלכסון מלבן} = \text{קו סימטריה}
מלבן→2 קווים בלבד\text{מלבן} \rightarrow 2 \ \text{קווים בלבד}

מקפלים מלבן לאורך אלכסונו והחצאים לא מתכסים — הם משולשים חופפים, אבל מסובבים זה ביחס לזה. במעוין ובריבוע הקיפול הזה כן מצליח, כי כל הצלעות שוות.

למקבילית שאינה מלבן אין אף קו סימטריה. איך זה מסתדר עם זה שהיא נראית «מסודרת»?

Show the answer and the solution

היא מסודרת בסיבוב, לא בקיפול: אם מסובבים אותה חצי סיבוב סביב נקודת המפגש של האלכסונים, היא מתלבשת על עצמה. סימטריה של קיפול וסימטריה של סיבוב הן שתי תכונות שונות.

Exercises

להכיר

Exercise 1

כמה אלכסונים יש למרובע?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

22

כל קדקוד מחובר לקדקוד אחד שאינו שכנו

שניים בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה קווי סימטריה יש לריבוע?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2+2=42 + 2 = 4

שניים דרך אמצעי הצלעות ושני אלכסונים

ארבעה.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה קווי סימטריה יש למלבן שאינו ריבוע?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

22

רק דרך אמצעי הצלעות

שניים — האלכסונים אינם קווי סימטריה.

Check the answer on elev

Exercise 4

באיזה מרובע האלכסונים מאונכים זה לזה?

  1. מלבן
  2. טרפז
  3. מקבילית כלשהי
  4. מעוין
Show the answer and the solution

Answer: D מעוין

Worked solution:

מעוין→אלכסונים מאונכים\text{מעוין} \rightarrow \text{אלכסונים מאונכים}

וגם הריבוע, שהוא מעוין מיוחד

במעוין — וגם בריבוע, שהוא מעוין מיוחד.

Check the answer on elev

להתאמן

Exercise 5

במרובע שלוש זוויות של 100 מעלות. מהי הרביעית?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

100×3=300100 \times 3 = 300

שלוש הזוויות

360−300=60360 - 300 = 60

והשלמה ל-360

60 מעלות — זווית חדה, והמרובע קיים.

Check the answer on elev

Exercise 6

אפשר לבנות מרובע שכל ארבע זוויותיו קהות

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

4×91=364>3604 \times 91 = 364 > 360

כבר בקהות הקטנות ביותר עוברים את הסכום

סכום הזוויות במרובע הוא 360 בדיוק — ארבע קהות לא נכנסות.

Check the answer on elev

Exercise 7

למקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין אין אף קו סימטריה

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

00

אין אף קו קיפול

180∘180^\circ

אבל יש סימטריה של חצי סיבוב

נכון. יש לה סימטריה של סיבוב בחצי סיבוב, אבל לא של קיפול.

Check the answer on elev

Exercise 8

התאימו כל מרובע למספר קווי הסימטריה שלו

  • ריבוע
  • מלבן
  • דלתון
  • מקבילית
  • 2 קווים
  • 4 קווים
  • אף קו
  • קו אחד
Show the answer and the solution

Answer: ריבוע — 4 קווים · מלבן — 2 קווים · דלתון — קו אחד · מקבילית — אף קו

Worked solution:

4, 2, 1, 04, \ 2, \ 1, \ 0

ריבוע, מלבן, דלתון, מקבילית

ככל שהצורה «מיוחדת» יותר, כך יש לה יותר קווי סימטריה.

Check the answer on elev

לשחק ולבדוק

Exercise 9

אלכסוני מרובע שווים באורכם, מאונכים, וחוצים זה את זה. איזה מרובע זה?

  1. מעוין
  2. דלתון
  3. מלבן
  4. ריבוע
Show the answer and the solution

Answer: D ריבוע

Worked solution:

שווים→מלבן\text{שווים} \rightarrow \text{מלבן}

התכונה הראשונה

מאונכים→מעוין\text{מאונכים} \rightarrow \text{מעוין}

והשנייה

שתיהן יחד — ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 10

מקפלים מלבן לאורך אלכסונו ושני החצאים מתכסים בדיוק

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

חופפים≠מתקפלים\text{חופפים} \ne \text{מתקפלים}

צריך גם סיבוב — ולכן אין סימטריה

שני המשולשים חופפים, אבל הקיפול לא מלביש אותם זה על זה — צריך גם לסובב. לכן האלכסון אינו קו סימטריה במלבן.

Check the answer on elev

Exercise 11

מיינו לפי האלכסונים

  • האלכסונים שווים
  • האלכסונים אינם שווים
  • דלתון
  • מלבן
  • מעוין שאינו ריבוע
  • ריבוע
Show the answer and the solution

Answer: מלבן — האלכסונים שווים · ריבוע — האלכסונים שווים · מעוין שאינו ריבוע — האלכסונים אינם שווים · דלתון — האלכסונים אינם שווים

Worked solution:

מלבן, ריבוע\text{מלבן}, \ \text{ריבוע}

אלכסונים שווים

מעוין, דלתון\text{מעוין}, \ \text{דלתון}

ואלה שאינם

אלכסונים שווים הם סימן ההיכר של משפחת המלבן.

Check the answer on elev

Exercise 12

במרובע שתי זוויות ישרות ואחת של 130 מעלות. מהי הרביעית?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

90+90+130=31090 + 90 + 130 = 310

שלוש הזוויות הידועות

360−310=50360 - 310 = 50

והשלמה

50 מעלות — מרובע עם שתי זוויות ישרות שאינו מלבן בכלל.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade