Sums of sequences and repeated doubling · Sequences · Kita ה

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כמה זה $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$ ? אפשר לחבר אחד-אחד, וזה עובד. ואפשר להסתכל על הסדרה כמו על סדרה — ואז זה לוקח שלוש שניות.

הטריק של הזוגות

$1 + 2 + \ldots + 10$

מצרפים את הראשון לאחרון, את השני לזה שלפני האחרון, וכן הלאה.

1 + 10 = 11

הזוג הראשון

2 + 9 = 11

והשני — אותו סכום בדיוק

\begin{aligned}3 + 8 &= 11 \\ \ 4 + 7 &= 11 \\ \ 5 + 6 &= 11\end{aligned}

וכך כל הזוגות

5 \times 11 = 55

חמישה זוגות, כל אחד 11

למה כל הזוגות שווים? כי בכל צעד אחד המספר גדל באחד והשני קטן באחד — והסכום לא זז. זה לא טריק של מזל; זה מבנה של הסדרה.

כמה זה $1 + 2 + \ldots + 20$ ?

Show the answer and the solution

210. עשרה זוגות, כל אחד $1 + 20 = 21$ , ולכן $10 \times 21 = 210$ .

אם מספר האיברים אי-זוגי, נשאר איבר אחד באמצע בלי בן זוג. מחברים אותו בסוף בנפרד: $1 + 2 + \ldots + 9$ הוא ארבעה זוגות של 10 ועוד ה-5 שבאמצע, כלומר 45.

והמספרים האי-זוגיים — הפתעה

עכשיו נחבר רק מספרים אי-זוגיים, החל מ-1. התוצאות נראות מוכרות בצורה חשודה.

1 = 1

$1 \times 1$

1 + 3 = 4

$2 \times 2$

1 + 3 + 5 = 9

$3 \times 3$

1 + 3 + 5 + 7 = 16

$4 \times 4$

כל סכום כזה הוא מספר ריבועי — ובדיוק הריבוע של מספר האיברים שחיברנו. ארבעה אי-זוגיים נותנים 16, וחמישה יתנו 25.

כמה זה $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ ?

Show the answer and the solution

36. שישה מספרים אי-זוגיים, ולכן $6 \times 6$ .

הכפלה חוזרת — אגדת השחמט

מספרים את הסיפור על ממציא השחמט, שביקש מהמלך גרגר חיטה אחד על המשבצת הראשונה, שניים על השנייה, ארבעה על השלישית — וכל פעם כפול מהקודמת. המלך חשב שזו בקשה צנועה.

1, 2, 4, 8, 16

חמש המשבצות הראשונות — עדיין כלום

1024

המשבצת האחת-עשרה — כבר יותר מאלף

> 1{,}000{,}000

המשבצת העשרים ואחת — יותר ממיליון

הכפלה חוזרת נקראת חזקה. שתיים בחזקת עשר, כלומר עשר הכפלות, הן 1024 — קצת יותר מאלף. ולכן שתיים בחזקת שישים ושלוש הן מספר שאין בעולם מספיק חיטה בשבילו.

הלקח המספרי חשוב יותר מהסיפור: הכפלה חוזרת גדלה מהר הרבה יותר מחיבור חוזר. עשר הוספות של 2 נותנות 20; עשר הכפלות ב-2 נותנות 1024.

הטעות שהופכת חזקה לכפל.

2^{10} = 20

2^{10} = 1024

זה לא $2 \times 10$ . זה 2 כפול עצמו עשר פעמים — וההבדל הוא פי חמישים.

Exercises

להכיר

Exercise 1

כמה זה $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 55

Worked solution:

5 \times 11 = 55

חמישה זוגות של 11

55.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה זה $1 + 2 + \ldots + 20$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 210

Worked solution:

10 \times 21 = 210

עשרה זוגות של 21

210.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה זה $1 + 3 + 5 + 7$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

4 \times 4 = 16

ארבעה אי-זוגיים

16 — ריבוע של ארבע.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה זה $2 \times 2 \times 2 \times 2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

2, 4, 8, 16

מכפילים ארבע פעמים

16.

Check the answer on elev

להתאמן

Exercise 5

כמה זה $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

6 \times 6 = 36

שישה איברים

36.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה זה $1 + 2 + \ldots + 9$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

4 \times 10 = 40

ארבעה זוגות של 10

40 + 5 = 45

ועוד ה-5 שנשאר באמצע בלי בן זוג

45.

Check the answer on elev

Exercise 7

סכום של מספרים אי-זוגיים החל מ-1 יצא 49. כמה מספרים חיברנו?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

7 \times 7 = 49

הדרך חזרה

שבעה.

Check the answer on elev

Exercise 8

על המשבצת האחת-עשרה בסיפור השחמט — כמה גרגרים?

Show the answer and the solution

Answer: 1024

Worked solution:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

עשר הכפלות מהמשבצת הראשונה

1024 — כבר יותר מאלף, ועדיין לא הגענו לרבע מהלוח.

Check the answer on elev

לשחק ולבדוק

Exercise 9

עשר הכפלות ב-2 ועשר הוספות של 2 נותנות תוצאה דומה

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2 + 2 + \ldots = 20

הוספות

2 \times 2 \times \ldots = 1024

הכפלות

פי חמישים הבדל. הכפלה חוזרת גדלה בקצב אחר לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

1 + 3 + 5 = 9

1 + 2 + \ldots + 10 = 50

Show the answer and the solution

Answer: $1 + 2 + \ldots + 10 = 50$ → $1 + 2 + \ldots + 10 = 55$

Worked solution:

5 \times 11 = 55

חמישה זוגות של 11, לא של 10.

Check the answer on elev

Exercise 11

סדרו את הסדרה של ההכפלות

$1$
$16$
$2$
$32$
$4$
$8$

Show the answer and the solution

Answer: $1$ · $2$ · $4$ · $8$ · $16$ · $32$

Worked solution:

1, 2, 4, 8, 16, 32

כל איבר כפול הקודם

כל איבר כפול הקודם — וזה הקצב שהפיל את המלך בסיפור.

Check the answer on elev

הטריק של הזוגות

והמספרים האי-זוגיים — הפתעה

הכפלה חוזרת — אגדת השחמט

Exercises

להכיר

להתאמן

לשחק ולבדוק

Keep practising on elev