Unknown in the denominator

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הפרק האחרון, והמסקרן ביותר: ה-xx עבר לגור במכנה. וזה משנה הכול — כי יש מספר אחד שהוא אסור לו להיות, ואם לא נשים לב, נגיש תשובה שאין לה שום משמעות. לכן יש צעד אחד שעושים עוד לפני שמתחילים לפתור.

12x=4\frac{12}{x} = 4

תחום ההגדרה — קודם כול

אסור לחלק באפס. לכן המכנה לא יכול להיות אפס לעולם, וזה מוציא מראש ערכים מסוימים של xx. אוסף הערכים שכן מותרים נקרא תחום ההגדרה.

12x=4⟶x≠0\frac{12}{x} = 4 \quad \longrightarrow\quad x \neq 0

את תחום ההגדרה כותבים בהתחלה, לפני הפתרון — לא בסוף. הוא חלק מהתשובה, וברוב המבחנים יש עליו ניקוד בפני עצמו.

וכשהמכנה מורכב יותר, מאפסים אותו כדי למצוא מה אסור:

5x−3=1⟶x−3≠0⟶x≠3\frac{5}{x - 3} = 1 \quad \longrightarrow\quad x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מה תחום ההגדרה של המשוואה 7x+5=1\frac{7}{x + 5} = 1?

Show the answer and the solution

x≠−5x \ne -5: מאפסים את המכנה, x+5=0x + 5 = 0, ומקבלים x=−5x = -5. זה הערך היחיד שאסור.

ואיך פותרים

פתרו: 12x=4\frac{12}{x} = 4

אותה שיטה כמו בפרק הקודם — כופלים במכנה.

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-xx

x=3x = 3

ופותרים כרגיל

3≠0✓3 \neq 0 \quad \checkmark

ובודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה

המקרה שבו אין פתרון

ולפעמים קורה דבר מוזר: הפתרון שמתקבל הוא בדיוק הערך האסור. במקרה כזה הוא נפסל, ולמשוואה אין פתרון.

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

הפתרון שמתקבל נופל בדיוק על הערך האסור.

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל

אין פתרון\text{אין פתרון}

אבל 2 אסור — ולכן הוא נפסל

זו בדיוק הסיבה שכותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 כתשובה — תשובה שמכניסה אפס למכנה, כלומר חסרת משמעות.

הטעות שעולה נקודות גם כשהחישוב נכון.

5x−3=1→x=8\begin{aligned}\frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8\end{aligned}
x≠35x−3=1→x=8✓\begin{aligned}x \neq 3 \quad \quad \quad \frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8 \quad \checkmark\end{aligned}

החישוב זהה, אבל בלי תחום ההגדרה התשובה אינה שלמה. הוא נדרש גם כשהפתרון בסוף מתקבל.

רמה מתקדמת — שתי שברים משני הצדדים

עד עכשיו היה שבר אחד. כשיש שבר מול שבר, הדרך המהירה היא כפל בהצלבה: מונה של זה כפול מכנה של זה.

שבר מול שבר

פתרו: 20x−1=25x\frac{20}{x-1} = \frac{25}{x}.

x≠1 , x≠0x \neq 1 \ , \ x \neq 0

תחום הגדרה — שני מכנים, שני תנאים

20x=25(x−1)20x = 25(x - 1)

כפל בהצלבה

20x=25x−2520x = 25x - 25

פותחים סוגריים

x=5x = 5

ובודקים: בתחום ✓

שני מכנים בינומיים

פתרו: 2x+45x−3=56\frac{2x+4}{5x-3} = \frac{5}{6}.

5x−3≠0 ⇒ x≠355x - 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq \tfrac{3}{5}

תחום הגדרה — גם שבר!

6(2x+4)=5(5x−3)6(2x + 4) = 5(5x - 3)

כפל בהצלבה

12x+24=25x−1512x + 24 = 25x - 15

פותחים

39=13x ⇒ x=3\begin{aligned}39 &= 13x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

רמה מתקדמת — כמה איברים עם xx במכנה

כשה-xx יושב בכמה מכנים, לא מצליבים — כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, בדיוק כמו בפרק של המכנה המספרי. המכנה המשותף של 6x6x ו-2x2x הוא 6x6x.

מכנה משותף עם נעלם

פתרו: 17x+36x−x+92x=1\frac{17x+3}{6x} - \frac{x+9}{2x} = 1.

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפלנו ב-6x6x: השבר השני הוכפל פי 3

17x+3−3x−27=6x17x + 3 - 3x - 27 = 6x

סוגריים — לב הזהירות: המינוס נכנס לשניהם

14x−24=6x14x - 24 = 6x

מכנסים

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

ברמה הזאת רוב הטעויות אינן בשברים אלא במינוס שלפני השבר השני: הוא כופל את כל המונה, ולכן חייבים סוגריים — −3(x+9)-3(x+9), לא −3x+9-3x+9.

עכשיו נתרגל — מהקל אל הקשה. אחרי התרגילים נסכם את ארבעת השלבים יחד.

במשוואה עם xx במכנה — מה חובה לבדוק בסוף?

Show the answer and the solution

שהפתרון אינו מאפס את המכנה. אם כן — הוא פסול, והמשוואה אולי בלי פתרון.

Exercises

Exercise 1

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל במשוואה הבאה?

12x=4\frac{12}{x} = 4
Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x≠0x \neq 0

המכנה לא יכול להתאפס

אסור לחלק באפס. זה כל תחום ההגדרה כאן.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו ומצאו את xx:

12x=4\frac{12}{x} = 4
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-x

x=3x = 3

ובודקים ש-3 שונה מאפס

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה, ולכן הוא מתקבל.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x−3≠0⟶x≠3x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מאפסים את המכנה כדי לדעת מה אסור

כשהמכנה מורכב, משווים אותו לאפס ופותרים — התוצאה היא הערך האסור.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו ומצאו את xx:

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x≠3x \neq 3

תחום ההגדרה

5=x−35 = x - 3

כופלים ב-(x-3)

x=8✓x = 8 \quad \checkmark

ו-8 מותר

גם כשהפתרון מתקבל, תחום ההגדרה נכתב. הוא חלק מהתשובה, לא בדיקה בדיעבד.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x−2≠0⟶x≠2x - 2 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 2

שני המכנים זהים

שימו לב לתשובה הזאת — היא תחזור בשאלה הבאה.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו הפתרון של המשוואה הבאה?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
  1. x=0x = 0
  2. x=2x = 2
  3. אין פתרון
  4. כל מספר הוא פתרון
Show the answer and the solution

Answer: C אין פתרון

Worked solution:

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל מהחישוב

נפסל\text{נפסל}

אבל הוא בדיוק הערך האסור

זה המקרה שבשבילו כותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 — תשובה שמכניסה אפס למכנה.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו ומצאו את xx:

20x=5\frac{20}{x} = 5
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום ההגדרה

20=5x⟶x=4\begin{aligned}20 &= 5x \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ופותרים

בדיקה: 20:4=520 : 4 = 5. תמיד להציב חזרה.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו ומצאו את xx:

6x+1=2\frac{6}{x + 1} = 2
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x≠−1x \neq -1

תחום ההגדרה — מאפסים את המכנה

6=2(x+1)6 = 2(x + 1)

כופלים ב-(x+1)

6=2x+2⟶x=2\begin{aligned}6 &= 2x + 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 2\end{aligned}

פותחים סוגריים ופותרים

שימו לב שהופיעו כאן שני שלבים מהפרקים הקודמים: מכנה וסוגריים. כל פרק נשען על הקודמים.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו ומצאו את xx:

x+8x=3\frac{x + 8}{x} = 3
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

x+8=3xx + 8 = 3x

כופלים ב-xx

8=2x ⇒ x=4\begin{aligned}8 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 124=3\frac{12}{4} = 3 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו ומצאו את xx:

xx−4=3\frac{x}{x - 4} = 3
Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=3(x−4)x = 3(x - 4)

כופלים במכנה

x=3x−12 ⇒ x=6\begin{aligned}x &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 62=3\frac{6}{2} = 3 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 11

פתרו ומצאו את xx:

x−5x−3−12=0\frac{x - 5}{x - 3} - \frac{1}{2} = 0
Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x−5x−3=12\frac{x - 5}{x - 3} = \frac{1}{2}

מעבירים אגף — שבר מול שבר

2(x−5)=x−32(x - 5) = x - 3

כפל בהצלבה

2x−10=x−3 ⇒ x=7\begin{aligned}2x - 10 &= x - 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} ✓.

Check the answer on elev

Exercise 12

פתרו ומצאו את xx:

3x−2=1x\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x}
Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x≠2 , x≠0x \neq 2 \ , \ x \neq 0

שני מכנים — שני תנאים

3x=x−23x = x - 2

כפל בהצלבה

2x=−2 ⇒ x=−1\begin{aligned}2x &= -2 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

בתחום ✓

פתרון שלילי הוא פתרון גמור — בודקים: 3−3=1−1\frac{3}{-3} = \frac{1}{-1} ✓.

Check the answer on elev

Exercise 13

פתרו ומצאו את xx:

52x−1−134x+1=0\frac{5}{2x - 1} - \frac{13}{4x + 1} = 0
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x≠12 , x≠−14x \neq \tfrac{1}{2} \ , \ x \neq -\tfrac{1}{4}

תחום הגדרה — גם שברים

52x−1=134x+1\frac{5}{2x-1} = \frac{13}{4x+1}

מעבירים אגף

5(4x+1)=13(2x−1)5(4x + 1) = 13(2x - 1)

הצלבה

20x+5=26x−13 ⇒ x=3\begin{aligned}20x + 5 &= 26x - 13 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 55=1313\frac{5}{5} = \frac{13}{13} ✓ — שניהם 1.

Check the answer on elev

Exercise 14

פתרו ומצאו את xx:

2x+12=58−14\frac{2}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{1}{4}
Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

58−14−12=−18\frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}

קודם מסדרים את המספרים

2x=−18\frac{2}{x} = -\frac{1}{8}

נשאר שבר מול שבר

16=−x ⇒ x=−16\begin{aligned}16 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= -16\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

מסדרים את צד המספרים לפני שנוגעים ב-xx — ככה המשוואה מתקצרת לשורה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 15

פתרו ומצאו את xx:

−14x+12=−12x−12-\frac{14}{x} + \frac{1}{2} = -\frac{12}{x} - \frac{1}{2}
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

−14x+12x=−1-\frac{14}{x} + \frac{12}{x} = -1

שברי ה-xx שמאלה, המספרים ימינה

−2x=−1-\frac{2}{x} = -1

מכנסים — אותו מכנה

x=2x = 2

בתחום ✓

שברים בעלי אותו מכנה מתכנסים כמו איברים דומים: −14+12=−2-14+12=-2 על אותו xx.

Check the answer on elev

Exercise 16

פתרו ומצאו את xx:

17x+36x−x+92x=1\frac{17x + 3}{6x} - \frac{x + 9}{2x} = 1
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפל ב-6x6x — המכנה המשותף

14x−24=6x14x - 24 = 6x

המינוס נכנס לסוגריים!

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

הטעות הקלאסית כאן: −3x+27-3x + 27 במקום −3x−27-3x - 27. המינוס כופל את כל המונה.

Check the answer on elev

Exercise 17

פתרו ומצאו את xx:

x−8x+4+25=x−2x+4\frac{x - 8}{x + 4} + \frac{2}{5} = \frac{x - 2}{x + 4}
Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

x≠−4x \neq -4

תחום הגדרה

x−8x+4−x−2x+4=−25\frac{x - 8}{x + 4} - \frac{x - 2}{x + 4} = -\frac{2}{5}

שברי המכנה הזהה — לאותו אגף

−6x+4=−25\frac{-6}{x + 4} = -\frac{2}{5}

מכנסים: (x−8)−(x−2)=−6(x-8)-(x-2) = -6

−30=−2(x+4) ⇒ x=11\begin{aligned}-30 &= -2(x + 4) \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

הרגע היפה: xx נעלם מהמונה — (x−8)−(x−2)(x-8)-(x-2) הוא פשוט −6-6 — והמשוואה מתקפלת.

Check the answer on elev

Exercise 18

מתי כותבים את תחום ההגדרה?

  1. רק אם הפתרון יוצא מוזר
  2. לא חייבים לכתוב אותו
  3. בהתחלה, לפני שפותרים
  4. בסוף, אחרי שמוצאים את הפתרון
Show the answer and the solution

Answer: C בהתחלה, לפני שפותרים

Worked solution:

תחום הגדרה→פתרון→בדיקה\text{תחום הגדרה} \rightarrow \text{פתרון} \rightarrow \text{בדיקה}

הסדר הנכון

הוא נכתב בהתחלה ומקבל ניקוד בפני עצמו. וכשהפתרון נופל עליו — הוא מה שמאפשר לפסול אותו.

Check the answer on elev

אתגר — מתוך עבודת הקיץ של סוף כיתה ח׳

Exercise 19

רשמו תחום הצבה ופתרו: xx−2=4\frac{x}{x - 2} = 4. מה הפתרון?

  1. אין פתרון
  2. x=8x = 8
  3. x=83x = \frac{8}{3}
  4. x=2x = 2
Show the answer and the solution

Answer: C x=83x = \frac{8}{3}

Worked solution:

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

x=4(x−2)x = 4(x - 2)

כופלים ב-(x−2)(x - 2)

x=4x−8  ⇒  3x=8\begin{aligned}x &= 4x - 8 \;\Rightarrow\; 3x \\ &= 8\end{aligned}

פותחים סוגריים

x=83x = \frac{8}{3}

והוא בתחום — 83≠2\frac{8}{3} \neq 2

התשובה לא חייבת להיות מספר שלם.

Check the answer on elev

Exercise 20

רשמו תחום הצבה ופתרו:

x−9x=56\frac{x - 9}{x} = \frac{5}{6}
Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום ההצבה

6(x−9)=5x6(x - 9) = 5x

כופלים ב-6x6x (כפל בהצלבה)

6x−54=5x6x - 54 = 5x

פותחים סוגריים

x=54x = 54

והוא בתחום ✓

בדיקה: 4554=56\frac{45}{54} = \frac{5}{6} ✓

Check the answer on elev

Exercise 21

רשמו תחום הצבה ופתרו (אפשר לענות במספר עשרוני):

2−x2x−5=13\frac{2 - x}{2x - 5} = \frac{1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: 2.2

Worked solution:

2x−5≠0  ⇒  x≠2.52x - 5 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2.5

תחום ההצבה

3(2−x)=2x−53(2 - x) = 2x - 5

כפל בהצלבה

6−3x=2x−56 - 3x = 2x - 5

פותחים סוגריים

11=5x  ⇒  x=2.2\begin{aligned}11 &= 5x \;\Rightarrow\; x \\ &= 2.2\end{aligned}

ו-2.2≠2.52.2 \neq 2.5 ✓

Check the answer on elev

Exercise 22

מה הפתרון של 6x=6x−3\frac{6}{x} = \frac{6}{x - 3}?

  1. x=3x = 3
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-0 ו-3
  4. x=0x = 0
Show the answer and the solution

Answer: B אין פתרון

Worked solution:

x≠0,  x≠3x \neq 0, \; x \neq 3

תחום ההצבה

6(x−3)=6x6(x - 3) = 6x

כפל בהצלבה

6x−18=6x  ⇒  −18=0\begin{aligned}6x - 18 &= 6x \;\Rightarrow\; -18 \\ &= 0\end{aligned}

ה-xx נעלם — שוויון שקרי

שני שברים עם אותו מונה ומכנים שונים לעולם אינם שווים.

Check the answer on elev

Exercise 23

מה הפתרון של 4x+16x+4=4\frac{4x + 16}{x + 4} = 4?

  1. כל מספר
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)
  4. x=4x = 4
Show the answer and the solution

Answer: C כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)

Worked solution:

x≠−4x \neq -4

תחום ההצבה

4x+16=4(x+4)4x + 16 = 4(x + 4)

כופלים ב-(x+4)(x + 4)

4x+16=4x+164x + 16 = 4x + 16

שוויון שנכון תמיד

כל מספר מקיים את המשוואה — חוץ מ-(−4)(-4), שמאפס את המכנה. בלי תחום ההצבה הייתם עונים «כל מספר», וזו טעות.

Check the answer on elev

Exercise 24

רשמו תחום הצבה ופתרו: 6x−2=12x\frac{6}{x - 2} = \frac{1}{2x}

  1. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=211x = \frac{2}{11}
  2. x≠2x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  3. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  4. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; אין פתרון
Show the answer and the solution

Answer: C x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}

Worked solution:

x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2

שני מכנים — שני ערכים אסורים

12x=x−212x = x - 2

כפל בהצלבה

11x=−2  ⇒  x=−211\begin{aligned}11x &= -2 \;\Rightarrow\; x \\ &= -\frac{2}{11}\end{aligned}

והוא בתחום ✓

תחום ההצבה כולל את כל המכנים — גם את 2x2x.

Check the answer on elev

Exercise 25

x=3x = 3 יכול להיות פתרון של המשוואה 5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}x - 3 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

הערך שמאפס את המכנה — הוא מחוץ לתחום

ב-x=3x = 3 המכנה מתאפס, ולכן x=3x = 3 מחוץ לתחום ההצבה — הוא לעולם לא פתרון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade