Finding the line’s equation

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל פונקציה קווית נראית כך: y=mx+by = mx + b. כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני מספרים: השיפוע mm והקבוע bb. בלי אחד מהם — אין משוואה.

y=mx+by = mx + b

המצב הראשון: נתונים שיפוע ונקודה

את mm כבר יש לנו. חסר רק bb. הנקודה נמצאת על הישר, ולכן היא מקיימת את המשוואה. מציבים אותה ופותרים משוואה פשוטה.

דוגמה

ישר בעל שיפוע m=3m = 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מצאו את משוואתו.

y=3x+by = 3x + b

כותבים את הצורה הכללית עם השיפוע הידוע

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה: x=2, y=11

11=6+b11 = 6 + b

מחשבים

b=5b = 5

ומבודדים

y=3x+5y = 3x + 5

זו המשוואה

המצב השני: נתונות שתי נקודות

כאן חסרים גם mm וגם bb. לכן עובדים בשני שלבים:

שלב 1: מוצאים את mm בנוסחה של שתי נקודות.

שלב 2: ממשיכים בדיוק כמו במצב הראשון.

דוגמה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1,5)A(1, 5) ו-B(3,11)B(3, 11).

m=11−53−1=62=3\begin{aligned}m &= \frac{11 - 5}{3 - 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅1+b5 = 3 \cdot 1 + b

שלב 2 — מציבים אחת מהנקודות

b=2b = 2

ומבודדים

y=3x+2y = 3x + 2

זו המשוואה

בדיקה של עשר שניות: הציבו את הנקודה השנייה במשוואה שקיבלתם. השוויון לא מתקיים? יש טעות באחד השלבים.

קיצור דרך שנראה הגיוני ואינו נכון.

y=3xy = 3x
y=3x+2y = 3x + 2

שיפוע לבדו אינו מגדיר ישר — הוא מגדיר כיוון. יש אינסוף ישרים בשיפוע 3, אחד מעל השני. bb הוא מה שבוחר ביניהם.

התרגיל המלא — משתי נקודות ועד המשוואה

מקרים מיוחדים — בלי חישוב ארוך

יש תרגילים שנפתרים בשורה אחת, אם מזהים את המקרה. ישר מקביל לישר נתון? יש לו אותו mm, ונשאר רק למצוא את bb. ויש גם שני מקרים קיצוניים:

y=5xy = 5x

שיפוע 5 דרך ראשית הצירים — b=0b = 0 מיידית

y=3y = 3

מקביל לציר ה-xx דרך (−1,3)(-1, 3) — שיפוע אפס, גובה קבוע

x=−7x = -7

מקביל לציר ה-yy דרך (−7,−13)(-7, -13) — זו אינה פונקציה כלל, כותבים x=x = קבוע

ישר בשיפוע 2 עובר דרך (1,7)(1, 7). מהו bb?

Show the answer and the solution

מציבים: 7=2⋅1+b7 = 2 \cdot 1 + b, ולכן b=5b = 5. המשוואה: y=2x+5y = 2x + 5.

Exercises

Exercise 1

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(1, 5)B(3, 11)A(1,\, 5) \quad B(3,\, 11)
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

m=62=3\begin{aligned}m &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅(1)+b5 = 3 \cdot (1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=2b = 2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=3x+2y = 3x + 2.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(0, −2)B(4, 6)A(0,\, -2) \quad B(4,\, 6)
Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

−2=2⋅(0)+b-2 = 2 \cdot (0) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−2b = -2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−2y = 2x - 2.

Check the answer on elev

Exercise 3

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−1, 3)B(2, −3)A(-1,\, 3) \quad B(2,\, -3)
Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

m=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

3=−2⋅(−1)+b3 = -2 \cdot (-1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=1b = 1

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=−2x+1y = -2x + 1.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(2, 1)B(5, 7)A(2,\, 1) \quad B(5,\, 7)
Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

m=63=2\begin{aligned}m &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

1=2⋅(2)+b1 = 2 \cdot (2) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−3b = -3

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−3y = 2x - 3.

Check the answer on elev

Exercise 5

ישר בעל שיפוע 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מהו הקבוע bb?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=5b = 5

ומבודדים

המשוואה המלאה: y=3x+5y = 3x + 5.

Check the answer on elev

Exercise 6

ישר בעל שיפוע −2-2 עובר דרך הנקודה (3,1)(3, 1). מהו הקבוע bb?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

1=−2⋅3+b1 = -2 \cdot 3 + b

מציבים

1=−6+b1 = -6 + b

מחשבים

b=7b = 7

ומבודדים

שיפוע שלילי אינו אומר ש-b שלילי. אלה שני מספרים בלתי תלויים.

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה נתונים דרושים כדי לכתוב משוואה של ישר?

  1. אחד — השיפוע
  2. אחד — נקודה כלשהי עליו
  3. שניים — שיפוע וקבוע
  4. שלושה
Show the answer and the solution

Answer: C שניים — שיפוע וקבוע

Worked solution:

y=mx+by = mx + b

שני מספרים בלתי ידועים

שיפוע לבדו מגדיר כיוון, ונקודה לבדה מגדירה מיקום. צריך את שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 8

איך בודקים במהירות שמשוואת הישר שמצאנו נכונה?

  1. אין דרך לבדוק
  2. מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת
  3. בודקים שהשיפוע חיובי
  4. בודקים ש-bb שלם
Show the answer and the solution

Answer: B מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת

Worked solution:

y2=?mx2+by_2 \stackrel{?}{=} m x_2 + b

הנקודה חייבת לשבת על הישר

הבדיקה תופסת גם טעות בשיפוע וגם טעות ב-b, בעשר שניות.

Check the answer on elev

Exercise 9

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 5 והעובר דרך ראשית הצירים.

  1. y=x+5y = x + 5
  2. y=5x+5y = 5x + 5
  3. y=5xy = 5x
  4. y=5y = 5
Show the answer and the solution

Answer: C y=5xy = 5x

Worked solution:

m=5    (0,0)⇒b=0\begin{aligned}m &= 5 \\ \;\; (0, 0) \Rightarrow b &= 0\end{aligned}

דרך הראשית פירושו b=0b = 0

ראשית הצירים היא הנקודה (0,0)(0,0) — ומציבים: 0=5⋅0+b0 = 5 \cdot 0 + b, כלומר b=0b = 0.

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 0 והעובר דרך הנקודה (−7,−2)(-7, -2).

  1. x=−7x = -7
  2. y=−2y = -2
  3. y=−7y = -7
  4. y=−2xy = -2x
Show the answer and the solution

Answer: B y=−2y = -2

Worked solution:

m=0⇒y=b\begin{aligned}m &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

ישר אופקי

y=−2y = -2

הגובה של הנקודה — ה-yy שלה

שיפוע אפס = הישר לא עולה ולא יורד. ה-xx של הנקודה לא משנה כלום.

Check the answer on elev

Exercise 11

הישר עובר דרך (2,7)(2, 7) ומקביל לישר y=3x+2y = 3x + 2. מצאו את bb במשוואתו y=3x+by = 3x + b.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

m=3m = 3

מקבילים — אותו שיפוע

7=3⋅2+b7 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=1b = 1

ולכן y=3x+1y = 3x + 1

המילה «מקביל» נותנת את mm בחינם. כל העבודה היא שורת הצבה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 12

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (2,4)(2, 4) והמקביל לישר y=−5x+7y = -5x + 7.

  1. y=−5x−6y = -5x - 6
  2. y=−5x+14y = -5x + 14
  3. y=−5x+7y = -5x + 7
  4. y=5x−6y = 5x - 6
Show the answer and the solution

Answer: B y=−5x+14y = -5x + 14

Worked solution:

m=−5m = -5

מקבילים

4=−5⋅2+b⇒b=14\begin{aligned}4 &= -5 \cdot 2 + b \Rightarrow b \\ &= 14\end{aligned}

הצבה

מי שבחר y=−5x+7y = -5x + 7 העתיק את הישר הנתון — אבל הוא לא עובר דרך (2,4)(2,4): −10+7=−3≠4-10+7=-3 \neq 4.

Check the answer on elev

Exercise 13

מצאו את משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים והמקביל לישר y=−2x+5y = -2x + 5.

  1. y=−2y = -2
  2. y=5xy = 5x
  3. y=−2xy = -2x
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
Show the answer and the solution

Answer: C y=−2xy = -2x

Worked solution:

m=−2    b=0\begin{aligned}m &= -2 \\ \;\; b &= 0\end{aligned}

מקביל + דרך הראשית

שני הנתונים מתרגמים ישירות: מקביל = אותו mm, ראשית = b=0b = 0.

Check the answer on elev

Exercise 14

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−1,3)(-1, 3) והמקביל לציר ה-xx.

  1. x=−1x = -1
  2. y=−x+3y = -x + 3
  3. y=3y = 3
  4. y=3xy = 3x
Show the answer and the solution

Answer: C y=3y = 3

Worked solution:

y=3y = 3

ישר אופקי — כל הנקודות בגובה 3

מקביל לציר ה-xx = שיפוע אפס = yy קבוע. לוקחים את ה-yy של הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 15

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−7,−13)(-7, -13) והמקביל לציר ה-yy.

  1. x=−13x = -13
  2. x=−7x = -7
  3. y=−13y = -13
  4. y=−7y = -7
Show the answer and the solution

Answer: B x=−7x = -7

Worked solution:

x=−7x = -7

ישר אנכי — כל הנקודות עם אותו xx

ישר אנכי אינו פונקציה — אין לו mm ואין לו bb. כותבים פשוט x=x = הערך הקבוע.

Check the answer on elev

Exercise 16

הישר עובר דרך A(1,8)A(1, 8) ו-B(2,10)B(2, 10). מצאו את bb במשוואתו y=mx+by = mx + b.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

m=10−82−1=2\begin{aligned}m &= \dfrac{10 - 8}{2 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע משתי הנקודות

8=2⋅1+b⇒b=6\begin{aligned}8 &= 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b \\ &= 6\end{aligned}

הצבת AA

y=2x+6y = 2x + 6

המשוואה המלאה

והאם (2,2)(2, 2) על הישר? מציבים: 2⋅2+6=10≠22 \cdot 2 + 6 = 10 \neq 2 — לא.

Check the answer on elev

Exercise 17

לישר y=2x+6y = 2x + 6 — מהן נקודות החיתוך עם הצירים?

  1. (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx
  2. (0,2)(0, 2) ו-(−6,0)(-6, 0)
  3. (0,6)(0, 6) ו-(3,0)(3, 0)
  4. (6,0)(6, 0) עם ציר yy · (0,−3)(0, -3) עם ציר xx
Show the answer and the solution

Answer: A (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx

Worked solution:

x=0⇒y=6\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy — מציבים אפס

y=0⇒2x+6=0⇒x=−3\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 2x + 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx — משווים לאפס

ציר yy: מציבים x=0x=0 (מקבלים את bb!). ציר xx: פותרים y=0y=0.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade