Perimeter and area

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ראינו שההיקף נכפל ב- $k$ כמו כל צלע.

עם השטח קורה משהו אחר. זו הנקודה הכי מפתיעה בפרק.

\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2

השטח נכפל ב- $k$ בריבוע. הגדלנו פי 3? ההיקף פי 3, והשטח פי 9.

יחס הדמיון 1:3. מהו יחס השטחים?

Show the answer and the solution

1:9 — יחס הדמיון בריבוע. השטח גדל בשני ממדים בבת אחת.

למה דווקא בריבוע

שטח משולש הוא בסיס כפול גובה, חלקי 2. בהגדלה פי $k$ גם הבסיס וגם הגובה נמתחים פי $k$ — שניהם.

שטח נמדד בשני כיוונים, וכל כיוון נמתח פי $k$ — לכן $k \times k = k^2$ ואין כאן כלל לשנן.

מגדילים משולש פי 4. פי כמה גדל השטח שלו?

Show the answer and the solution

פי 16, כי הבסיס פי 4 וגם הגובה פי 4: $4^2 = 16$

ובכיוון ההפוך

לפעמים נותנים את יחס השטחים, ומבקשים את יחס הצלעות.

אז עושים את הפעולה ההפוכה לריבוע: מוציאים שורש.

הטעות שנופלים בה כמעט תמיד בפעם הראשונה.

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 9}

\text{יחס שטחים 9} \quad \rightarrow\quad \text{צלע גדולה פי 3}

יחס השטחים הוא כבר בריבוע. כדי לחזור לצלעות מוציאים שורש, ולא משתמשים בו כמו שהוא.

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 25. פי כמה גדולה הצלע?

Show the answer and the solution

פי 5: $\sqrt{25} = 5$ — לא פי 25.

שלושת היחסים ביחד

Exercises

Exercise 1

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 3 = 4

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 2 = 5

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 3

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 16. צלע במשולש הגדול היא 12 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 16 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 4\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

12 : 4 = 3

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-16 במקום ב-4. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 4

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. צלע במשולש הגדול היא 10 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

10 : 5 = 2

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-25 במקום ב-5. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 5

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 9. צלע במשולש הגדול היא 18 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 9 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 3\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

18 : 3 = 6

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-9 במקום ב-3. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 6

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 4. צלע במשולש הגדול היא 14 ס״מ. מה אורך הצלע המתאימה במשולש הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 4 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 2\end{aligned}

משטח לצלע — מוציאים שורש

14 : 2 = 7

ומחלקים ביחס כדי לרדת למשולש הקטן

הטעות הנפוצה כאן היא לחלק ב-4 במקום ב-2. יחס השטחים כבר בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 7

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4. שטח הקטן הוא 5 סמ״ר. מה שטח הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

השטח נכפל ביחס בריבוע

5 \times 16 = 80

ולא פי 4

ההיקף היה נכפל פי 4 בלבד. השטח נכפל פי 16, כי הוא נמתח בשני כיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

משולש הוגדל פי 3. מה קרה להיקף ולשטח?

ההיקף פי 9, השטח פי 3
שניהם פי 9
ההיקף פי 3, השטח פי 9
שניהם פי 3

Show the answer and the solution

Answer: C ההיקף פי 3, השטח פי 9

Worked solution:

P \times 3

היקף הוא סכום אורכים

S \times 3^2 = S \times 9

שטח הוא מכפלת שני אורכים

זה ההבדל היחיד שצריך לזכור בפרק, והוא נובע ישירות מכך ששטח נמדד בשני כיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 9

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 25. מהו יחס הדמיון?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 25 \quad \longrightarrow\quad k \\ &= 5\end{aligned}

משטח לצלע — שורש

משטח לצלע מוציאים שורש; מצלע לשטח מעלים בריבוע. שני כיוונים של אותו קשר.

Check the answer on elev

Exercise 10

יחס דמיון 2:5 — מהו יחס השטחים? (כתבו את הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}2^2 &= 4 \\ \quad 5^2 &= 25\end{aligned}

כל צד של היחס — בריבוע

יחס השטחים הוא $4:25$ — והגדול הוא 25.

Check the answer on elev

Exercise 11

יחס שטחים 9:16 — מהו יחס הדמיון? (כתבו את הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\sqrt{16} = 4

מול 3

מהשטחים אל הצלעות — שורש.

Check the answer on elev

Exercise 12

שטח המשולש הקטן 5 סמ״ר ויחס הדמיון 3. מהו שטח הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\begin{aligned}k^2 &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

השטח פי $k$ בריבוע

5 \times 9 = 45

פי תשע — לא פי שלוש

מי שכופל ב-3 מקבל 15: זה מה שקורה להיקף, לא לשטח.

Check the answer on elev

Exercise 13

יחס ההיקפים של דומים 2:7. מהו יחס הדמיון? (הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

2:7

ההיקף גדל בדיוק כמו הצלעות

היקף — כמו יחס הדמיון; שטח — בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 14

מגדילים משולש פי 2 — פי כמה גדל שטחו?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2^2 = 4

הבסיס פי 2, וגם הגובה פי 2

ההיקף גדל פי היחס, אבל השטח גדל פי היחס בריבוע — כי הוא נמדד בשני ממדים.

Check the answer on elev

Exercise 15

שטחי דומים 12 ו-48. צלע בקטן 5 — המתאימה בגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\frac{48}{12} = 4

יחס השטחים

\sqrt{4} = 2

יחס הדמיון — שורש

5 \times 2 = 10

הצלע בגדול

המלכודת: לכפול את 5 ב-4. יחס השטחים הוא כבר בריבוע, ולצלע חוזרים דרך השורש.

Check the answer on elev

Exercise 16

אותה צורה, וכל צלע פי

k

מלבן צלעותיו $a$ ו- $b$ ומלבן שני הדומה לו ביחס $k$ — צלעותיו $ka$ ו- $kb$ — הוכיחו שיחס השטחים הוא $k^2$

מלבן ראשון: צלעות $a, b$
מלבן שני: צלעות $ka, kb$

$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$

Show the answer and the solution

$S_1 = a \cdot b$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = ka \cdot kb$ — שטח מלבן — אורך כפול רוחב
$S_2 = k^2 \cdot ab$ — סידור הגורמים: $k \cdot k = k^2$
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{k^2 \cdot ab}{ab}$ — חלוקה ב- $S_1$
$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2$ — צמצום $ab$ — כל צלע גדלה פי $k$ והשטח פי $k$ פעמיים

Worked solution:

\begin{aligned}S_1 &= ab \quad \\ \quad S_2 &= ka \cdot kb \\ &= k^2 ab\end{aligned}

שטח מלבן בשני המלבנים

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{k^2 ab}{ab} \\ &= k^2\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים

כל צלע גדלה פי $k$ והשטח הוא מכפלה של שתי צלעות — לכן הוא גדל פי $k$ פעמיים, כלומר פי $k^2$

Check the answer on elev

Exercise 17

יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3, ושטח הקטן 8 סמ״ר. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

k = 3

\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 3 \\ &= 24\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $S_2 = 8 \times 3 = 24$ → $S_2 = 8 \times 9 = 72$

Worked solution:

\begin{aligned}S_2 &= 8 \times 9 \\ &= 72\end{aligned}

השטח פי $k^2$

השורה השנייה אמרה פי 9, והשלישית כפלה רק פי 3. 24 הוא מה שהיה יוצא להיקף, לא לשטח.

Check the answer on elev

Exercise 18

אם מגדילים משולש פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2^2 = 4

השטח פי 4

הבסיס פי 2 והגובה פי 2 — לכן השטח פי $2 \times 2 = 4$

Check the answer on elev

Exercise 19

משולש הוגדל פי $k$ — התאימו כל $k$ לשינוי בשטח.

$k = 2$
$k = 3$
$k = 5$
$k = 10$

שטח פי 100
שטח פי 25
שטח פי 4
שטח פי 9

Show the answer and the solution

Answer: $k = 2$ — שטח פי 4 · $k = 3$ — שטח פי 9 · $k = 5$ — שטח פי 25 · $k = 10$ — שטח פי 100

Worked solution:

k \to k^2

כל $k$ — בריבוע

שטח גדל פי $k^2$ כי הבסיס פי $k$ וגם הגובה פי $k$

Check the answer on elev

Exercise 20

בסיס של משולש 6 ס״מ, והגובה אליו 4 ס״מ. מגדילים את המשולש פי 3. מהו שטח המשולש המוגדל, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

השטח המקורי

k^2 = 9

השטח גדל פי 9

12 \times 9 = 108

או ישירות: $\frac{18 \cdot 12}{2} = 108$

שתי הדרכים נותנות 108: לחשב את השטח החדש מבסיס 18 וגובה 12, או לכפול את 12 ב- $k^2 = 9$

Check the answer on elev

Words in this lesson

היקף: hekef perimeter
צלע: tsela side
שטח: shetaḥ area
נקודה: nekuda point
פי: pi times (as many)
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
ממד: meimad dimension
משולש: meshulash triangle
בסיס: basis base
כפול: kaful times
גובה: gova height
חלקי: ḥalkei divided by
יחס: yaḥas ratio
פעולה הפוכה: pe’ula hafukha inverse operation
ריבוע: ribua square
שורש: shoresh square root
משולשים דומים: meshulashim domim similar triangles
סמ״ר (סנטימטר רבוע): sentimeter ravua square centimeter (cm²)
חשבו: ḥishvu calculate
סכום: skhum sum
מכפלה: makhpela product
נובע: nove’a follows
כתבו: kitvu write
מצאו: mits’u find
מלכודת: malkodet trap
מלבן: malben rectangle
הוכיחו: hokhiḥu prove
נוסחה: nusḥa formula
גורם: gorem factor
צמצום: tsimtsum reducing
שגוי: shagui wrong, incorrect
בדקו: bidku check
התאימו: hat’imu match
ס״מ (סנטימטר): sentimeter centimeter (cm)

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade