הפרבולה — הפונקציה הריבועית · The quadratic function — the parabola · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מהישר לפרבולה

עד עכשיו כל הגרפים היו ישרים. נשנה דבר אחד: במקום $x$ נכתוב $x^2$ .

למה הגרף של $y = x^2$ לא יכול להיות ישר?

Show the answer and the solution

כי הקפיצות גדלות: $+1$ , $+3$ , $+5$ . בישר הקפיצה תמיד אותה קפיצה — זה השיפוע.

$y = x^2$ היא הפרבולה הפשוטה ביותר.

כל פרבולה אחרת נכתבת בעזרת שלושה מספרים: $a$ , $b$ ו- $c$ .

במשוואה ריבועית הנעלם מופיע בחזקה שנייה. זו הצורה הכללית שלה:

ax^2 + bx + c = 0

$a$ , $b$ ו- $c$ הם המקדמים של המשוואה. ותמיד $a \neq 0$ .

מה התפקיד של $a$ ?

ל- $a$ יש תפקיד מיוחד: הוא קובע את צורת הפרבולה, עוד לפני כל חישוב.

a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — יש לה ערך מינימלי

a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה — יש לה ערך מקסימלי

a = 0

אין $x^2$ — זו כבר משוואה לינארית, ולכן דורשים $a \neq 0$

$y = -3x^2 + x$ — לאן פתוחה הפרבולה?

Show the answer and the solution

כלפי מטה, כי $a = -3 < 0$ . ולכן יש לה ערך מקסימלי.

ועוד דבר תלוי ב- $a$ : הרוחב. ככל ש- $|a|$ גדול יותר, הפרבולה צרה יותר.

וכמה פתרונות יש למשוואה? את זה נראה בנוסחת השורשים.

בפרבולה $y = x^2$ — מהו $y$ כאשר $x = -4$ ?

Show the answer and the solution

16. המינוס נעלם בריבוע — ולכן הפרבולה סימטרית: $f(-4) = f(4)$ .

מדוע לפרבולה $y = x^2$ אין ערכים שליליים?

Show the answer and the solution

כי ריבוע של כל מספר — חיובי או אפס. הגרף כולו מעל ציר ה-x, ונוגע בו רק בראשית.

Exercises

Exercise 1

כמה פתרונות יש למשוואה $x^2 - 6x + 9 = 0$ ?

אין פתרון
שני פתרונות
פתרון אחד
אינסוף פתרונות

Show the answer and the solution

Answer: C פתרון אחד

Worked solution:

x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2}

מציבים ישר בנוסחה

\sqrt{36 - 36} = 0

מה שמתחת לשורש מתאפס

\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

כשמה שמתחת לשורש הוא 0, שני הפתרונות מתלכדים לאחד

מתחת לשורש יצא אפס, ופלוס אפס ומינוס אפס נותנים אותו מספר: למשוואה פתרון אחד בלבד. הפרבולה נוגעת בציר ה-x בנקודה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את הפתרון החיובי של המשוואה $x^2 - x - 6 = 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2}

מציבים ישר בנוסחה

\begin{aligned}\sqrt{1 + 24} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

מחשבים מה שמתחת לשורש

x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2}

מציבים בנוסחת השורשים

\begin{aligned}x_1 &= 3 \\ \quad x_2 &= -2\end{aligned}

הפתרון החיובי הוא 3

שימו לב לסימן של $c$ : הוא שלילי, ולכן $-4ac$ מוסיף למה שמתחת לשורש במקום להחסיר.

Check the answer on elev

Exercise 3

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

$a > 0$
$a < 0$
$a = 0$

אין $x^2$ — זו כבר משוואה לינארית, ולכן דורשים $a \neq 0$
הפרבולה פתוחה כלפי מטה — יש לה ערך מקסימלי
הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — יש לה ערך מינימלי

Show the answer and the solution

Answer: $a > 0$ — הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — יש לה ערך מינימלי · $a < 0$ — הפרבולה פתוחה כלפי מטה — יש לה ערך מקסימלי · $a = 0$ — אין $x^2$ — זו כבר משוואה לינארית, ולכן דורשים $a \neq 0$

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 4

$y = x^2$ : מהו $y$ כאשר $x = 7$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 49

Worked solution:

7^2 = 49

מציבים ומעלים בריבוע. הפרבולה $y = x^2$ עולה מהר — זה מה שמסביר את הקפיצה.

Check the answer on elev

Exercise 5

$y = x^2$ : אילו שני ערכי $x$ נותנים $y = 25$ ? כתבו את החיובי.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x = \pm 5

שניים — הסימטריה

Check the answer on elev

Exercise 6

$y = 2x^2$ : מהו $y$ כאשר $x = 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

2 \times 9 = 18

המקדם 2 מותח את הפרבולה לגובה: כל ערך מוכפל בשתיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

$y = x^2 + 1$ : מהו הערך הקטן ביותר של $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 0 \rightarrow y \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד עלה ב-1

Check the answer on elev

Exercise 8

במה שונה $y = 3x^2$ מ- $y = x^2$ ?

זהה
רחבה יותר
הפוכה
צרה יותר

Show the answer and the solution

Answer: D צרה יותר

Worked solution:

3 > 1

כל y מוכפל — הגרף נמתח למעלה

Check the answer on elev

Exercise 9

$y = -x^2$ : מהו $y$ כאשר $x = 4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

-(16) = -16

הפרבולה העצובה

Check the answer on elev

Exercise 10

הקודקוד של $y = x^2$ נמצא ב…

$(0,0)$
$(1,1)$
אין קודקוד
$(0,1)$

Show the answer and the solution

Answer: A $(0,0)$

Worked solution:

(0,0)

הקודקוד של $y = x^2$ יושב בראשית, והוא נקודת המינימום שלה.

Check the answer on elev

Exercise 11

$y = x^2$ : מהו ההפרש $f(5) - f(4)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

25 - 16 = 9

ההפרשים גדלים והולכים — 1, 3, 5, 7, 9 — לכן הגרף מתעקל.

Check the answer on elev

מהישר לפרבולה

מה התפקיד של aaa ?

Exercises

Keep practising on elev

מה התפקיד של $a$ ?