The quadratic formula

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

את x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 פותרים בטרינום: מכפלה 66, סכום −5-5 — המספרים −2-2 ו-−3-3.

אבל לא תמיד מוצאים מספרים כאלה. לכן יש דרך שנייה, שעובדת תמיד: נוסחת השורשים.

מתי עוברים לנוסחה

לפני כל משוואה ריבועית שואלים שלוש שאלות, ותמיד באותו סדר:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? מחפשים שני מספרים — טרינום.

22

יש גורם משותף לכל האיברים? מוציאים אותו, ועושים טרינום על מה שנשאר.

33

לא מוצאים מספרים, ואין גורם משותף? עוברים לנוסחת השורשים.

אפשר לפתור בטרינום את x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0?

Show the answer and the solution

לא. אין שני מספרים שלמים שמכפלתם 11 וסכומם −4-4. זה בדיוק המקרה של הנוסחה.

הנוסחה

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, ומציבים בה ישר את שלושת המקדמים. לכל חלק בה תפקיד:

−b-b

המספר הנגדי ל-bb. אם b=3b = 3 כותבים −3-3. אם b=−4b = -4 כותבים 44.

±\pm

פעם פלוס, פעם מינוס. מכאן שני הפתרונות, x1x_1 ו-x2x_2.

b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac}

השורש. מחשבים את מה שמתחת לשורש, ואז מוציאים ממנו שורש.

2a2a

המכנה. קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b, לא רק מתחת לשורש.

בספרים מחו״ל מחשבים קודם Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, עם b2−4acb^2 - 4ac בתוך השורש. אותו חישוב בדיוק — אבל «דלתא» במבחן תחפש שלב שלא לימדו כאן.

פותרים, צעד אחר צעד

הנוסחה מגיעה ריקה. ממלאים אותה בארבעה צעדים, תמיד באותו סדר.

לפני שמשתמשים בנוסחה, כדאי תמיד לבדוק אם אפשר פירוק לגורמים — בדוגמה שלמעלה, x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3), וזה מהיר בהרבה.

כמה פתרונות יש

את התשובה נותנת הנוסחה עצמה, ברגע שמחשבים את מה שמתחת לשורש.

לפני שפותרים: מה יקרה אם מתחת לשורש ייצא מספר שלילי?

Show the answer and the solution

אין פתרון. למספר שלילי אין שורש, ולכן אי אפשר להמשיך.

מבחינה גרפית, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c היא פרבולה. הפתרונות הם הנקודות שבהן היא חותכת את ציר ה-x.

ולכן כשאין פתרון, הפרבולה לא נוגעת בציר בכלל.

שלוש הטעויות של נוסחת השורשים.

−42=−16-4^2 = -16
(−4)2=16(-4)^2 = 16

כש-bb שלילי, מעלים אותו בריבוע עם הסוגריים. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = -b \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר עובר מתחת לכל המונה, גם מתחת ל-−b-b.

2x2+3x−2=0 ⇒ c=2\begin{aligned}2x^2 + 3x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}
c=−2c = -2

כל מקדם לוקח איתו את הסימן שלפניו.

מתי עדיף טרינום, ומתי הנוסחה?

Show the answer and the solution

אם מוצאים מהר שני מספרים — טרינום, הוא קצר יותר. אם לא — הנוסחה. היא עובדת תמיד, גם כשהטרינום עובד.

Exercises

Exercise 1

באיזו דרך פותרים את 3x2+5x−1=03x^2 + 5x - 1 = 0?

  1. אין לה פתרון
  2. נוסחת השורשים
  3. מוציאים גורם משותף, ואז טרינום
  4. טרינום
Show the answer and the solution

Answer: B נוסחת השורשים

Worked solution:

a=3  b=5  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 5 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדם של x2x^2 אינו 1

3, 5, −13,\ 5,\ -1

אין גורם משותף לשלושת המקדמים

הטרינום לא זמין, ולכן נוסחת השורשים.

Check the answer on elev

Exercise 2

מציבים בנוסחת השורשים את x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0. מה כותבים במקום −b-b?

  1. −7-7
  2. −10-10
  3. 77
  4. 1010
Show the answer and the solution

Answer: C 77

Worked solution:

b=−7b = -7

המקדם של xx, עם הסימן

−b=−(−7)=7\begin{aligned}-b &= -(-7) \\ &= 7\end{aligned}

המספר הנגדי

מינוס של מינוס שבע הוא שבע.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=5±25−164=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=84=2x2=24=12\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

הפתרון הגדול הוא 2.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו בנוסחת השורשים: 3x2+2x−1=03x^2 + 2x - 1 = 0. מהו הפתרון השלילי?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

a=3  b=2  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−2±22−4⋅3⋅(−1)2⋅3x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

מציבים בנוסחה

x1,2=−2±4+126=−2±46\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=26=13x2=−66=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3} \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף למה שמתחת לשורש.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה פתרונות יש למשוואה x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
Show the answer and the solution

Answer: C אין פתרון

Worked solution:

x1,2=−1±12−4⋅1⋅32x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±−112x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2}

מתחת לשורש מספר שלילי

למספר שלילי אין שורש, ולכן אין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו בנוסחת השורשים: x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0. מהו הפתרון הגדול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.73

Worked solution:

x1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅12x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=4±122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

12≈3.46\sqrt{12} \approx 3.46

השורש, בקירוב

x1≈4+3.462=3.73x_1 \approx \dfrac{4 + 3.46}{2} = 3.73

עם הפלוס

אין כאן מספרים שלמים — בדיוק המקרה שבו הטרינום לא עוזר.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2+x−6=02x^2 + x - 6 = 0. מהו הפתרון החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

a=2  b=1  c=−6\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 1 \ \\ \ c &= -6\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±1+484=−1±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\ &= \dfrac{-1 \pm 7}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש 49

x1=64=1.5x2=−84=−2\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{6}{4} \\ &= 1.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac הוא פלוס 48. מי ששוכח את הסימן מקבל −47\sqrt{-47} וחושב שאין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 8

כמה פתרונות יש למשוואה x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
Show the answer and the solution

Answer: B פתרון אחד

Worked solution:

(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0\begin{aligned}(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 &= 36 - 36 \\ &= 0\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x1,2=6±02=3\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{6 \pm 0}{2} \\ &= 3\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס נותנים אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 0, שני הפתרונות מתלכדים לאחד: הפרבולה רק נוגעת בציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשוואה 3x2−4x−4=03x^2 - 4x - 4 = 0 — כמה יוצא מתחת לשורש בנוסחה?

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

a=3  b=−4  c=−4\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= -4\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−4)2−4⋅3⋅(−4)=16+48=64\begin{aligned}(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) &= 16 + 48 \\ &= 64\end{aligned}

ריבוע של שלילי הוא חיובי, ומינוס כפול מינוס הוא פלוס

64 הוא ריבוע שלם, ולכן הפתרונות יוצאים יפים: 22 ו-−23-\frac{2}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2−4x+3=0 : a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= 0 \ : \ a \\ &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28\begin{aligned}b^2 - 4ac &= -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \\ &= -28\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28b^2 - 4ac = -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -28 → b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=4b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4

Worked solution:

(−4)2=16(-4)^2 = 16

מעלים בריבוע עם הסוגריים

16−12=416 - 12 = 4

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: 1 ו-3

בלי סוגריים, −42-4^2 הוא −16-16, והמשוואה נראית בלי פתרון — אבל יש לה שניים.

Check the answer on elev

Exercise 11

בכמה נקודות הפרבולה y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 חותכת את ציר ה-xx?

  1. בנקודה אחת
  2. בשלוש נקודות
  3. בשתי נקודות
  4. באף נקודה
Show the answer and the solution

Answer: D באף נקודה

Worked solution:

22−4⋅1⋅5=4−20=−16\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

−16\sqrt{-16}

למספר שלילי אין שורש

אין פתרון למשוואה, ולכן הפרבולה לא נוגעת בציר — היא כולה מעליו.

Check the answer on elev

Exercise 12

פתרו בנוסחת השורשים: −x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a=−1  b=2  c=3\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}

גם aa שלילי

x1,2=−2±22−4⋅(−1)⋅32⋅(−1)=−2±4−2\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{-2}\end{aligned}

מציבים בנוסחה — והמכנה שלילי

x1=2−2=−1x2=−6−2=3\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{-2} \\ &= -1 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

כשהמכנה שלילי, הפלוס נותן דווקא את הפתרון הקטן. לא מנחשים — מחשבים את שניהם ומשווים.

Check the answer on elev

Exercise 13

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0. מה יוצא מתחת לשורש?

Show the answer and the solution

Answer: 49

Worked solution:

a=2  b=−3  c=−5\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -3 \ \\ \ c &= -5\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−3)2−4⋅2⋅(−5)(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)

מציבים: b2−4acb^2 - 4ac

=9+40=49= 9 + 40 = 49

מינוס כפול מינוס — פלוס

הסימן של cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף: 40, ולא מוריד.

Check the answer on elev

Exercise 14

ומהו הפתרון השלילי של 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x1,2=3±494=3±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{3 \pm 7}{4}\end{aligned}

מינוס bb הוא 3, והמכנה 2a=42a = 4

x1=104=2.5x2=−44=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{10}{4} \\ &= 2.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

המכנה הוא 2a=42a = 4, ולא 2. עם 2 היו יוצאים 55 ו-−2-2 — שניהם שגויים.

Check the answer on elev

Exercise 15

פותרים x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2=−42=−16\begin{aligned}b^2 &= -4^2 \\ &= -16\end{aligned}
x1,2=4±16−122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}
Show the answer and the solution

Answer: b2=−42=−16b^2 = -4^2 = -16 → b2=(−4)2=16b^2 = (-4)^2 = 16

Worked solution:

(−4)2=16(-4)^2 = 16

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

מעלים את bb בריבוע עם הסוגריים. בלי סוגריים יוצא −16-16, ומתחת לשורש היה יוצא מספר שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 16

למשוואה x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0 יש שני פתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

42−4⋅1⋅4=16−16=0\begin{aligned}4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 &= 16 - 16 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת לשורש: אפס

x=−4±02=−2\begin{aligned}x &= \dfrac{-4 \pm 0}{2} \\ &= -2\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 00, יש פתרון אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 17

התאימו כל משוואה למספר הפתרונות שלה

  • x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
  • x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
  • x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0
  • אין פתרון
  • פתרון אחד
  • שני פתרונות
Show the answer and the solution

Answer: x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0 — שני פתרונות · x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0 — פתרון אחד · x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0 — אין פתרון

Worked solution:

4+12=164 + 12 = 16

הראשונה: חיובי

4−4=04 - 4 = 0

השנייה: אפס

4−20=−164 - 20 = -16

השלישית: שלילי

רק cc משתנה בין שלוש המשוואות — והוא לבדו מחליט מה ייצא מתחת לשורש.

Check the answer on elev

Exercise 18

בנוסחת השורשים, קו השבר עובר רק מתחת לשורש.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר ארוך

קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade