The vertex of the parabola

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לכל פרבולה יש נקודה אחת שבה היא מפסיקה לרדת ומתחילה לעלות — או להפך.

הנקודה הזו נקראת קודקוד הפרבולה. היא הנקודה החשובה ביותר בגרף.

מינימום או מקסימום — לפי a

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — צורת חיוך. הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר, כלומר מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה — צורת עצב. הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר, כלומר מקסימום.

ציר הסימטריה

לכל פרבולה יש ציר סימטריה: קו אנכי שעובר דרך הקודקוד. מקפלים לאורכו — ושני החצאים נופלים זה על זה.

לכן, אם הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות, הקודקוד נמצא בדיוק באמצע ביניהן.

האמצע שבין השורשים

הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=5x = 5.

1+52=3\frac{1 + 5}{2} = 3

האמצע בין שני השורשים

xקודקוד=3x_{\text{קודקוד}} = 3

וזה ה-xx של הקודקוד

קיצור דרך: הממוצע של שני השורשים הוא ה-xx של הקודקוד. ואם יש שורש אחד בלבד — הוא עצמו הקודקוד.

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

Show the answer and the solution

x=5x = 5. האמצע בין 2 ל-8: 2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5. אין צורך לדעת את המקדמים בכלל.

ובלי שורשים — הנוסחה

אבל לא לכל פרבולה יש שורשים. איפה הקודקוד אז?

הסימטריה עובדת בכל גובה, לא רק על ציר ה-xx. הזיזו את הקו וראו.

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

ויש עוד דרך לראות את זה: ממוצע שני השורשים מנוסחת השורשים. החלק עם השורש מתבטל, ונשאר בדיוק −b2a\dfrac{-b}{2a}.

שימו לב למינוס שבמונה: הוא חלק מהנוסחה. אם b=−6b = -6 אז −b=6-b = 6 — והתוצאה חיובית.

ואת ה-yy של הקודקוד לא מחשבים בנוסחה. מציבים את ה-xx שמצאנו בחזרה בפונקציה.

קודקוד ראשון

מצאו את קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5.

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

קודם מזהים את המקדמים

x=−(−6)2⋅1=62=3\begin{aligned}x &= \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb — כלומר מינוס של מינוס שש

y=32−6⋅3+5=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בחזרה בפונקציה

(3 , −4)(3 \, , \, -4)

הקודקוד. וכיוון ש-a>0a > 0 — זו נקודת מינימום

כשהמקדם אינו 1

מצאו את קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3.

a=2  b=8\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 8\end{aligned}

המקדמים

x=−82⋅2=−84=−2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

המכנה הוא 2a2a, ולא 2

y=2⋅4+8⋅(−2)+3=8−16+3=−5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 3 \\ &= 8 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

הצבה

(−2 , −5)(-2 \, , \, -5)

מינימום, כי a=2>0a = 2 > 0

פרבולה הפוכה

מצאו את קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1.

a=−1  b=4\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 4\end{aligned}

המקדמים

x=−42⋅(−1)=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{2 \cdot (-1)} \\ &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס לחלק למינוס — חיובי

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

הצבה

(2 , 3)(2 \, , \, 3)

הפעם מקסימום, כי a<0a < 0

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

Show the answer and the solution

x=2x = 2. כאן a=3a = 3 ו-b=−12b = -12, ולכן x=126=2x = \frac{12}{6} = 2.

שלוש הטעויות של הקודקוד.

x=−b2x = \frac{-b}{2}
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

b=−6⇒x=−62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{-6}{2a}\end{aligned}
b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}

בנוסחה כתוב מינוס bb. מינוס של מינוס שש הוא שש.

הקודקוד הוא (3 , 3)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, 3)
הקודקוד הוא (3 , −4)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, -4)

ה-xx אינו ה-yy. אחרי שמצאתם את ה-xx — מציבים אותו בפונקציה כדי לקבל את ה-yy.

הצורה הקודקודית

בהזזת ישר ראינו: ימינה — מחסרים בתוך ה-xx; למעלה — מוסיפים בחוץ.

אותו כלל בדיוק עובד גם על הפרבולה:

y=(x−h)2+ky = (x - h)^2 + k
(x−h)2(x - h)^2

הזזה ימינה ב-hh — מחסרים בתוך הסוגריים. שימו לב לסימן ההפוך.

+ k+\, k

הזזה למעלה ב-kk — מוסיפים בחוץ.

(h, k)(h,\, k)

הקודקוד — רואים אותו בנוסחה בלי לחשב כלום.

לפרבולה y=(x−3)2+2y = (x-3)^2 + 2 — מהו הקודקוד?

Show the answer and the solution

(3,2)(3, 2) — הצורה הקודקודית מסגירה אותו מיד: הזזה 3 ימינה ו-2 למעלה.

הטעות של הצורה הקודקודית.

y=(x+4)2 ⇒ h=4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}
y=(x+4)2=(x−(−4))2 ⇒ h=−4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \\ &= (x - (-4))^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= -4\end{aligned}

פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה, לא ימינה. הקודקוד של (x+4)2(x + 4)^2 הוא ב-x=−4x = -4.

מהו הקודקוד של y=(x+1)2−5y = (x + 1)^2 - 5?

Show the answer and the solution

(−1,−5)(-1, -5) — הזזה 1 שמאלה ו-5 למטה.

Exercises

Exercise 1

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

המקדמים

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb לחלק ל-2a2a

ומכיוון ש-a>0a > 0, זו נקודת מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x=3x = 3

מהסעיף הקודם

y=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בפונקציה

את ה-yy תמיד מקבלים בהצבה, אף פעם לא בנוסחה נפרדת.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

x=−84x = \frac{-8}{4}

המכנה הוא 2a=42a = 4

=−2= -2

כשהמקדם אינו 1, ה-aa שבמכנה קובע.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x=126=2\begin{aligned}x &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס של מינוס 12, לחלק ל-6

המקדם c=7c = 7 אינו משפיע על ה-xx של הקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 5

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5

האמצע בין שני השורשים

הפרבולה סימטרית, ולכן הקודקוד תמיד באמצע שבין השורשים.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

קודם ה-xx

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

ואז הצבה

כאן a<0a < 0, ולכן 3 הוא הערך המקסימלי של הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 7

בפרבולה y=−2x2+5x+1y = -2x^2 + 5x + 1 — הקודקוד הוא מינימום או מקסימום?

  1. מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה
  2. תלוי בערך של bb
  3. מינימום, כי a<0a < 0
  4. מקסימום, כי c>0c > 0
Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה

Worked solution:

a=−2<0a = -2 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה. bb ו-cc מזיזים, ולא הופכים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מה קורה לקודקוד כשמגדילים את cc בלבד?

  1. הוא זז ימינה
  2. הוא זז שמאלה
  3. הוא אינו משתנה כלל
  4. הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה
Show the answer and the solution

Answer: D הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה

Worked solution:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

cc אינו מופיע בנוסחה

הגדלת cc מרימה את כל הפרבולה, ולכן ה-yy של הקודקוד גדל וה-xx נשמר.

Check the answer on elev

Exercise 9

y=(x+4)2−3y = (x+4)^2 - 3: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x=−4x = -4

ההזזה הפוכה מהסימן שבסוגריים

Check the answer on elev

Exercise 10

y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס b חלקי 2a

Check the answer on elev

Exercise 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}
x=−b2x = \frac{-b}{2}
Show the answer and the solution

Answer: x=−b2x = \frac{-b}{2} → x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

Worked solution:

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 12

הפרבולה y=x2−8x+3y = x^2 - 8x + 3 עוברת בנקודות (0, 3)(0,\, 3) ו-(8, 3)(8,\, 3). מהו ה-xx של הקודקוד?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

0+82=4\dfrac{0 + 8}{2} = 4

שתי הנקודות באותו גובה — הקודקוד באמצע

−(−8)2⋅1=4\dfrac{-(-8)}{2 \cdot 1} = 4

והנוסחה נותנת אותו דבר

לא צריך שורשים: כל שתי נקודות באותו גובה יושבות סימטרית סביב הקודקוד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade