Parabola and line

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

נתחיל ישר מדוגמה, ולא מאותיות. נתונות שתי הפונקציות:

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3
y=5x+1y = 5x + 1

קודם כול — מי מהן הפרבולה

לפני כל חישוב, מזהים מי היא מי. מחפשים את החזקה: איפה יש x2x^2?

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3

יש כאן x2x^2 — זו הפרבולה.

y=5x+1y = 5x + 1

אין כאן חזקה — זה הישר.

ומה לגבי y=7x−4y = 7x - 4 ו-y=−x2+6y = -x^2 + 6? מי הפרבולה?

Show the answer and the solution

y=−x2+6y = -x^2 + 6 היא הפרבולה, כי יש בה xx בחזקת 2. גם מינוס לפני ה-x2x^2 אינו משנה — היא עדיין פרבולה, רק פתוחה כלפי מטה.

עכשיו משווים ביניהן

נקודת חיתוך נמצאת על שני הגרפים יחד. לכן ה-yy שלה זהה בשניהם.

ופותרים עד הסוף

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 ושל y=5x+1y = 5x + 1.

x2+2x+3=5x+1x^2 + 2x + 3 = 5x + 1

משווים בין שתי הפונקציות

x2+2x+3−5x−1=0x^2 + 2x + 3 - 5x - 1 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0

ומכנסים איברים דומים

(x−1)(x−2)=0(x - 1)(x - 2) = 0

טרינום: מכפלה 2, סכום 3−

x=1  x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני ערכי xx

y=5⋅1+1=6\begin{aligned}y &= 5 \cdot 1 + 1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=5⋅2+1=11\begin{aligned}y &= 5 \cdot 2 + 1 \\ &= 11\end{aligned}

והשני

(1, 6) , (2, 11)(1,\, 6) \ , \ (2,\, 11)

שתי נקודות החיתוך

בדיקה: מציבים x=1x = 1 גם בפרבולה: 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6. אותו yy בדיוק — הנקודה על שני הגרפים.

ורק עכשיו — הכתיב הכללי

עכשיו אותו דבר, עם אותיות. זו אותה שיטה בדיוק:

ax2+bx+c=mx+nax^2 + bx + c = mx + n

מעבירים הכול לאגף אחד ומקבלים משוואה ריבועית רגילה, שכבר יודעים לפתור — בנוסחת השורשים או בטרינום.

דוגמה שנייה, עם מספרים שליליים

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x.

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים בין שתי הפונקציות

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0

טרינום: מכפלה 3−, סכום 2−

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

שני ערכי xx

y=2⋅3=6\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=2⋅(−1)=−2\begin{aligned}y &= 2 \cdot (-1) \\ &= -2\end{aligned}

והשני

(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

שתי נקודות החיתוך

להצבה בסוף בוחרים את הישר: חשבון קצר יותר, ופחות מקום לטעות.

כמה נקודות חיתוך יש

פותרים את המשוואה בנוסחת השורשים. כל פתרון הוא נקודת חיתוך.

ולכן מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך:

x1,2=−b±92ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{9}}{2a}

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

x1,2=−b±02ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}

מתחת לשורש אפס — פתרון אחד: לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד.

x1,2=−b±−42ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{-4}}{2a}

מתחת לשורש מספר שלילי — אין פתרון: הישר עובר מעל הפרבולה או מתחתיה.

כל הנקודות החשובות על גרף אחד

בשאלת בגרות יש כמה נקודות על אותו ציור, וקל להתבלבל ביניהן. הנה כולן, על פרבולה אחת וישר אחד.

לנקודה אחת יכולים להיות כמה תפקידים: (−1, 0)(-1,\, 0) היא שורש, חיתוך הישר עם ציר ה-xx, וגם נקודת חיתוך בין השניים. שאלה מבקשת «נקודת חיתוך»? קראו בין מי למי.

שטח המשולש שנוצר

שאלה קלאסית: הישר והפרבולה נחתכים בשתי נקודות. איתן ועם נקודה שלישית — לרוב הראשית או הקודקוד — נוצר משולש.

בוחרים כבסיס קטע שמונח על ציר, או מקביל לו: אורכו הוא הפרש קואורדינטות. הגובה — המרחק מהקודקוד השלישי אל אותו קו.

שטח מנקודות

משולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6). מהו שטחו?

a=4−0=4\begin{aligned}a &= 4 - 0 \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — מונח על ציר ה-xx

h=6−0=6\begin{aligned}h &= 6 - 0 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

ונוסחת המשולש הרגילה

הטעות של נקודות חיתוך.

x=3  x=−1 — זו התשובה\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1 \ \text{— זו התשובה}\end{aligned}
(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

נקודת חיתוך היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

x2−3=2x ⇒ x2=2x+3 ⇒ x=2+3\begin{aligned}x^2 - 3 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 + 3\end{aligned}
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

אי אפשר «לצמצם» xx ממשוואה ריבועית. מעבירים הכול לאגף אחד ופותרים כמשוואה ריבועית.

מה קובע המקדם של x2x^2 לגבי הפרבולה?

Show the answer and the solution

חיובי — «מחייכת» (מינימום); שלילי — «עצובה» (מקסימום). והגודל קובע כמה היא צרה.

Exercises

Exercise 1

מהן נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x?

  1. (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)
  2. (6, 3)(6,\, 3) ו-(−2, −1)(-2,\, -1)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 0)(3,\, 0) ו-(−1, 0)(-1,\, 0)
Show the answer and the solution

Answer: A (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)

Worked solution:

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

לאגף אחד

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

טרינום

y=6  y=−2\begin{aligned}y &= 6 \ \\ \ y &= -2\end{aligned}

מציבים בישר

נקודת חיתוך היא זוג — חייבים גם את ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=−4y = -4?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2=−4x^2 = -4

משווים

x2≥0 תמידx^2 \geq 0 \ \text{תמיד}

ריבוע לעולם אינו שלילי

הישר עובר מתחת לפרבולה כולה — אין מפגש.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=0y = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x2=0x^2 = 0

משווים

x=0x = 0

פתרון יחיד

לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד — הקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו שטח המשולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6)?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

a=4a = 4

הבסיס על ציר ה-xx

h=6h = 6

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת המשולש

בוחרים בסיס שמונח על ציר — אז אורכו הוא פשוט הפרש קואורדינטות.

Check the answer on elev

Exercise 5

למשוואת החיתוך של ישר ופרבולה יש פתרון אחד. כמה נקודות חיתוך יש להם?

  1. אין נקודות חיתוך
  2. שתי נקודות
  3. נקודה אחת
  4. אינסוף נקודות
Show the answer and the solution

Answer: C נקודה אחת

Worked solution:

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

מתחת לשורש אפס: פלוס ומינוס נותנים אותו מספר

כל פתרון של משוואת החיתוך הוא נקודת חיתוך. פתרון אחד — נקודה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את ערך ה-xx החיובי בנקודת החיתוך של y=x2y = x^2 ושל y=5xy = 5x.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x2=5xx^2 = 5x

משווים

x2−5x=0x^2 - 5x = 0

לאגף אחד

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף

x=0  x=5\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

שני פתרונות

לא לחלק ב-xx — זה היה מוחק את הפתרון x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

y=−2x2+3y = -2x^2 + 3 — לפרבולה יש…

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. שניהם
  4. אף אחד
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום

Worked solution:

−2<0-2 < 0

עצובה — פסגה

Check the answer on elev

Exercise 8

y=x2−9y = x^2 - 9: היכן חותכת את ציר ה-x? כתבו את החיובי.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2=9  x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \\ \ x &= \pm 3\end{aligned}

על ציר ה-xx מתקיים y=0y = 0. שורש של מספר נותן שני פתרונות — חיובי ושלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

y=x2+4y = x^2 + 4: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-x?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2=−4x^2 = -4

אין פתרון — הפרבולה מרחפת מעל

Check the answer on elev

Exercise 10

ציר הסימטריה של y=(x−5)2y = (x-5)^2 הוא…

  1. x=0x = 0
  2. y=0y = 0
  3. x=5x = 5
  4. y=5y = 5
Show the answer and the solution

Answer: C x=5x = 5

Worked solution:

x=5x = 5

אנכי דרך הקודקוד

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. א. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? (כתבו את ערך ה-xx)

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4

הצורה הקודקודית

x=4x = 4

ציר הסימטריה עובר בקודקוד

בצורה הקודקודית ציר הסימטריה נקרא ישירות מהסוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ב. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

a(6−4)2−4=0a(6-4)^2 - 4 = 0

מציבים את נקודת האפס

4a=44a = 4
a=1a = 1
Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ג. האם הקודקוד הוא נקודת מינימום או מקסימום, ומהי?

  1. מקסימום, בנקודה (6,0)(6,0)
  2. מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  3. מקסימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  4. מינימום, בנקודה (4,4)(4,4)
Show the answer and the solution

Answer: B מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)

Worked solution:

a=1>0a = 1 > 0

הפרבולה «מחייכת»

(4,−4)(4,-4)

הקודקוד מהצורה הקודקודית

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ד. מצאו את נקודת האפס השנייה (כתבו את ה-xx).

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

(x−4)2−4=0(x-4)^2 - 4 = 0
(x−4)2=4(x-4)^2 = 4
x=4±2x = 4 \pm 2

הסימטריה נותנת אותה מיד: 6 רחוק 2 מציר 4, אז השני הוא 2.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ה. האם הישר y=−4y = -4 חותך את הגרף? בכמה נקודות?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

(x−4)2−4=−4(x-4)^2 - 4 = -4
(x−4)2=0(x-4)^2 = 0
x=4x = 4

פתרון יחיד

נקודה אחת בלבד: הישר נוגע בפרבולה בדיוק בקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 16

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ז. מהם תחומי העלייה והירידה?

  1. יורדת תמיד
  2. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  3. עולה ב-x<4x<4, יורדת ב-x>4x>4
  4. עולה תמיד
Show the answer and the solution

Answer: B יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4

Worked solution:

פרבולה מחייכת\text{פרבולה מחייכת}

הקודקוד ב-4 הוא נקודת ההיפוך

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ח. מהם תחומי החיוביות והשליליות?

  1. חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6
  2. שלילית תמיד
  3. חיובית תמיד
  4. חיובית בין 2 ל-6
Show the answer and the solution

Answer: A חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6

Worked solution:

אפסים ב-2 ו-6\text{אפסים ב-2 ו-6}

מחייכת: שלילית בין השורשים

Check the answer on elev

Exercise 18

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ט. חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

בסיס=6−2=4\begin{aligned}\text{בסיס} &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

בין שתי נקודות האפס

גובה=4\text{גובה} = 4

מהציר עד הקודקוד

4⋅42=8\frac{4 \cdot 4}{2} = 8
Check the answer on elev

Exercise 19

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. י. בשרטוט, גרף נוסף מתקבל מהזזת הגרף כך שקודקודו (4,4)(4,4) והוא «עצוב». איזו משוואה מתאימה לו?

  1. y=(x+4)2+1y = (x+4)^2 + 1
  2. y=−(x−4)2+5y = -(x-4)^2 + 5
  3. y=x2+1y = x^2 + 1
  4. y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4
Show the answer and the solution

Answer: D y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4

Worked solution:

קודקוד(4,4)\text{קודקוד} (4,4)

נותן (x−4)2(x-4)^2 ועוד 4

a<0a < 0

«עצובה» — מינוס לפני הסוגריים

הצורה הקודקודית נקראת ישירות מהקודקוד ומכיוון הפתיחה.

Check the answer on elev

Exercise 20

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא… התאימו לתשובה.

  • 25\sqrt{25}
  • 0\sqrt{0}
  • −9\sqrt{-9}
  • אין פתרון — אין נקודות חיתוך.
  • פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת.
  • שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך.
Show the answer and the solution

Answer: 25\sqrt{25} — שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך. · 0\sqrt{0} — פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת. · −9\sqrt{-9} — אין פתרון — אין נקודות חיתוך.

Worked solution:

מספר חיובי נותן שני פתרונות, אפס נותן אחד, ולמספר שלילי אין שורש.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade