The full question: parabola and line

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלת הפרבולה במבחן בנויה תמיד באותו סדר. כל סעיף נשען על הסעיף שלפניו.

השרטוט הטיפוסי — פרבולה, ישר, וארבע נקודות
הישר עובר דרך שתיים מנקודות הפרבולה — BB ו-DD. זו לא מקריות: ככה בונים שאלה יפה.

מי ששומר על הסדר הזה — לא הולך לאיבוד:

11

נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים.

22

חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x=0: זה תמיד האיבר החופשי.

33

קודקוד — ה-xx שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס.

44

חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.

55

שטח — מזהים בסיס על ציר, והגובה הוא השיעור הנגדי.

למה ה-xx של הקודקוד הוא אמצע נקודות האפס?

Show the answer and the solution

בגלל הסימטריה: הפרבולה זהה משני צדי הקודקוד, ולכן שתי נקודות שבהן היא באותו גובה — ובפרט שני האפסים — יושבות במרחקים שווים ממנו.

הישר חותך את הפרבולה ב-x=0x=0 וב-x=3x=3. באילו ערכים הפרבולה מתחת לישר?

Show the answer and the solution

בדיוק בין נקודות החיתוך: 0<x<30 < x < 3. מחוץ לקטע — הפרבולה מעל, כי המקדם של x2x^2 חיובי והזרועות עולות.

שתי הטעויות של שאלת הפרבולה.

x=3 x=−1 ⇒ K(2,…)\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -1 \ \Rightarrow \ K(2, \ldots)\end{aligned}
K(1,…)K(1, \ldots)

אמצע של −1-1 ו-33 הוא 11, לא 22 — ממוצע, לא הפרש.

S=4×3=12\begin{aligned}S &= 4 \times 3 \\ &= 12\end{aligned}
S=4×32=6\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

החצי של שטח המשולש נשכח דווקא בסוף, כשכבר עייפים.

Exercises

Exercise 1

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). א. מצאו את נקודות האפס של הפרבולה — כתבו את ה-xx הגדול (הנקודה DD).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

פירוק טרינום

x=3 או x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

שתי נקודות האפס: C(−1,0)C(-1,0) ו-D(3,0)D(3,0).

Check the answer on elev

Exercise 2

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ב. ומהו ה-xx של נקודת האפס השנייה (הנקודה CC)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x=−1x = -1

נקודות האפס הן פתרונות f(x)=0f(x) = 0. מפרקים לגורמים ובוחרים את המבוקש.

Check the answer on elev

Exercise 3

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ג. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-yy (הנקודה BB).

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f(0)=−3f(0) = -3

מציבים x=0x=0 — האיבר החופשי

בפרבולה x2+bx+cx^2+bx+c, החיתוך עם ציר ה-yy הוא תמיד cc.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ד. מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה — כתבו את ה-xx החיובי.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−2x−3=x−3x^2 - 2x - 3 = x - 3

משווים

x2−3x=0x^2 - 3x = 0
x(x−3)=0x(x-3) = 0
x=0 או x=3\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

הישר פוגש את הפרבולה בדיוק ב-B(0,−3)B(0,-3) וב-D(3,0)D(3,0) — שתי נקודות שכבר הכרנו.

Check the answer on elev

Exercise 5

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ה. מהו שיעור ה-xx של קודקוד הפרבולה (הנקודה KK)?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x=−1+32=1\begin{aligned}x &= \frac{-1 + 3}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע שתי נקודות האפס — הסימטריה עושה את העבודה

ו-f(1)=−4f(1) = -4: הקודקוד הוא K(1,−4)K(1,-4).

Check the answer on elev

Exercise 6

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ו. חשבו את שטח המשולש BCDBCD.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

CD=3−(−1)=4\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — על ציר ה-xx

h=∣−3∣=3\begin{aligned}h &= |-3| \\ &= 3\end{aligned}

הגובה — המרחק של BB מהציר

S=4×32=6\begin{aligned}S &= \frac{4 \times 3}{2} \\ &= 6\end{aligned}

בסיס על ציר — הגובה הוא פשוט השיעור השני של הקודקוד הנגדי. בדיוק כמו בכיתה ח.

Check the answer on elev

Exercise 7

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ז. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה-xx העובר דרך קודקוד הפרבולה? (כתבו את ערך ה-yy)

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

y=−4y = -4

מקביל לציר ה-xx = גובה קבוע

הישר הזה עובר בקודקוד ונוגע בפרבולה בנקודה אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ח. לאילו ערכי xx הפרבולה נמצאת מתחת לישר y=x−3y = x - 3? כתבו את קצה התחום הגדול.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−2x−3<x−3x^2 - 2x - 3 < x - 3
x(x−3)<0x(x-3) < 0
0<x<30 < x < 3

בין שתי נקודות החיתוך

בין BB ל-DD הפרבולה צוללת מתחת לישר — מחוץ לקטע היא מעליו.

Check the answer on elev

Exercise 9

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). ט. מהו שטח המשולש CDKCDK — המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד של הפרבולה?

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

CD=3−(−1)=4\begin{aligned}CD &= 3 - (-1) \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — המרחק בין שתי נקודות האפס

h=∣−4∣=4\begin{aligned}h &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

הגובה — עומק הקודקוד מתחת לציר

S=4⋅42=8\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס שוכב על ציר ה-x, ולכן הגובה הוא פשוט הערך המוחלט של שיעור ה-y של הקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 10

בשרטוט נתונים גרף הפונקציה שבמסגרת והישר החותך אותו (שרטוט 1). י. מהו תחום העלייה של הפרבולה? כתבו את הערך שממנו היא עולה.

f(x)=x2−2x−3y=x−3\begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ y &= x - 3 \end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

xקודקוד=−b2a=1\begin{aligned}x_{\text{קודקוד}} &= \frac{-b}{2a} \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד מפריד בין הירידה לעלייה

x>1x > 1

מימין לקודקוד — עולה

בפרבולה «מחייכת» הקודקוד הוא המינימום: משמאלו הפונקציה יורדת, מימינו היא עולה. אותה נקודה משמשת גבול לשני התחומים.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 11
  • 22
  • 33
  • 44
  • חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.
  • חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x=0: זה תמיד האיבר החופשי.
  • נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים.
  • קודקוד — ה-xx שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס.
Show the answer and the solution

Answer: 11 — נקודות אפס — משווים לאפס ומפרקים לגורמים. · 22 — חיתוך עם ציר yy — מציבים x=0x=0: זה תמיד האיבר החופשי. · 33 — קודקוד — ה-xx שלו הוא בדיוק אמצע שתי נקודות האפס. · 44 — חיתוך עם ישר — משווים את שני הביטויים ופותרים ריבועית.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 12

סדרו את שלבי שאלת הפרבולה, מהראשון לאחרון

  • החיתוך עם הישר
  • החיתוך עם ציר yy
  • הקודקוד
  • השטח
  • נקודות האפס
Show the answer and the solution

Answer: נקודות האפס · החיתוך עם ציר yy · הקודקוד · החיתוך עם הישר · השטח

Worked solution:

xקודקוד=x1+x22x_{\text{קודקוד}} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}

הקודקוד נשען על נקודות האפס — ולכן הן קודם

כל סעיף נשען על הקודם: את הקודקוד מוצאים מאמצע נקודות האפס, ואת השטח — מהנקודות שכבר מצאנו.

Check the answer on elev

Exercise 13

הנקודה B(0, −3)B(0,\, -3) נמצאת גם על הפרבולה f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 וגם על הישר y=x−3y = x - 3.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(0)=−3f(0) = -3

בפרבולה

0−3=−30 - 3 = -3

ובישר

אותו yy בשניהם, ולכן B(0, −3)B(0,\, -3) היא גם נקודת חיתוך של הישר עם הפרבולה — לנקודה אחת יש כמה תפקידים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade