Reading a general graph

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלות האלה אין נוסחה — יש רק ציור.

וזה בכוונה: בודקים אם מבינים מה כל שאלה אומרת בשפת הגרף.

מילון הגרף

↗ ↘\nearrow \ \searrow

עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין.

+ −+ \ -

חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו.

f(x)=0f(x) = 0

פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx.

f(x)>0f(x) > 0

פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.

f(x)=g(x)f(x) = g(x)

חיתוך שני גרפים — ערכי ה-xx של נקודות המפגש.

הכלל שפותר את רוב הטעויות: התשובה נכתבת תמיד בערכי xx — גם כשהשאלה מדברת על yy.

«איפה הפונקציה חיובית?» — מה תכתבו בתשובה: ערכי xx או ערכי yy?

Show the answer and the solution

ערכי xx. «חיובית» הוא התנאי על yy (מעל הציר). התשובה היא תחום של xx שבו התנאי מתקיים.

משוואה מתוך גרף

לפתור f(x)=4f(x) = 4 פירושו: להעביר קו אופקי בגובה 4.

רואים איפה הקו פוגש את הגרף, וקוראים את ערכי ה-xx של נקודות המפגש.

קו אופקי פוגש את הגרף בשלוש נקודות. כמה פתרונות יש למשוואה?

Show the answer and the solution

שלושה. כל נקודת מפגש היא פתרון אחד — ה-xx שלה.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש. אפס מפגשים — אין פתרון.

אי-שוויון מתוך גרף

לפתור f(x)>g(x)f(x) > g(x) פירושו: איפה הגרף של ff נמצא מעל הגרף של gg.

קודם מוצאים את נקודות החיתוך. הן מחלקות את הציר לתחומים. בכל תחום בודקים מי למעלה.

ובנקודת החיתוך עצמה — האם f(x)>g(x)f(x) > g(x)?

Show the answer and the solution

לא. שם שני הגרפים שווים. לכן נקודת החיתוך היא גבול התחום, ולא חלק מהתשובה.

פונקציה זוגית ואי-זוגית

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

זוגית — הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy, כמו השתקפות במראה. דוגמה: y=x2y = x^2.

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

אי-זוגית — הגרף סימטרי ביחס לראשית, כלומר סיבוב של חצי סיבוב. דוגמה: y=x3y = x^3.

רוב הפונקציות לא זוגיות ולא אי-זוגיות.

זה המקרה השכיח, לא היוצא דופן. אין חובה שפונקציה תהיה אחת מהשתיים.

בדיקה אלגברית

האם f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 זוגית?

f(−x)=(−x)2+1f(-x) = (-x)^2 + 1

מציבים −x-x במקום xx

=x2+1= x^2 + 1

כי מינוס בריבוע נותן פלוס

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

יצא אותו דבר — הפונקציה זוגית

שתי הטעויות של קריאת גרף.

f(x)>0 כאשר y>0f(x) > 0 \ \text{כאשר} \ y > 0
f(x)>0 כאשר x>2f(x) > 0 \ \text{כאשר} \ x > 2

התשובה נכתבת בערכי xx. ה-yy הוא התנאי, לא התשובה.

פתרון f(x)=4 הוא y=4\begin{aligned}\text{פתרון } f(x) &= 4 \ \text{הוא } y \\ &= 4\end{aligned}
פתרון f(x)=4 הוא ערכי x של המפגש\text{פתרון } f(x) = 4 \ \text{הוא ערכי } x \ \text{של המפגש}

ה-4 כבר נתון — מחפשים איפה הוא מתקבל, כלומר את ה-xx.

מה מספר גרף שעולה, מתיישר ואז יורד?

Show the answer and the solution

עלייה, עצירה בפסגה (מקסימום), ואז ירידה. את הסיפור קוראים משמאל לימין — כמו טקסט באנגלית.

Exercises

Exercise 1

בגרף, כדי לפתור f(x)=4f(x) = 4 — מה עושים?

  1. מעבירים קו אופקי בגובה 4 וקוראים את ערכי ה-xx
  2. מחשבים את שיפוע הגרף
  3. מעבירים קו אנכי ב-x=4x = 4
  4. מחפשים איפה הגרף חותך את ציר ה-yy
Show the answer and the solution

Answer: A מעבירים קו אופקי בגובה 4 וקוראים את ערכי ה-xx

Worked solution:

y=4y = 4

קו אופקי

קוראים את x\text{קוראים את } x

בנקודות המפגש

ה-4 כבר נתון — מחפשים איפה הוא מתקבל.

Check the answer on elev

Exercise 2

הפונקציה f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 — האם היא זוגית?

  1. אי-זוגית
  2. כן, כי f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
  3. לא, כי יש מספר חופשי
  4. לא זוגית ולא אי-זוגית
Show the answer and the solution

Answer: B כן, כי f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

Worked solution:

f(−x)=(−x)2+1f(-x) = (-x)^2 + 1

מציבים

=x2+1=f(x)= x^2 + 1 = f(x)

מינוס בריבוע נותן פלוס

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה f(x)=x3f(x) = x^3 — מה נכון?

  1. לא זוגית ולא אי-זוגית
  2. אי-זוגית
  3. זוגית
  4. זוגית וגם אי-זוגית
Show the answer and the solution

Answer: B אי-זוגית

Worked solution:

f(−x)=(−x)3=−x3\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^3 \\ &= -x^3\end{aligned}

חזקה אי-זוגית שומרת את המינוס

=−f(x)= -f(x)

זו ההגדרה של אי-זוגית

הגרף סימטרי ביחס לראשית — סיבוב של חצי סיבוב.

Check the answer on elev

Exercise 4

לפתור f(x)>g(x)f(x) > g(x) מתוך גרף פירושו:

  1. למצוא את נקודות החיתוך בלבד
  2. למצוא איפה גרף ff נמצא מעל גרף gg
  3. למצוא איפה ff עולה
  4. למצוא איפה שניהם מעל ציר ה-xx
Show the answer and the solution

Answer: B למצוא איפה גרף ff נמצא מעל גרף gg

Worked solution:

f מעל gf \ \text{מעל} \ g

זו המשמעות הגרפית

התשובה בערכי x\text{התשובה בערכי } x

תחום, לא נקודה

נקודות החיתוך הן רק הגבולות של התחום, לא התשובה עצמה.

Check the answer on elev

Exercise 5

פונקציה יורדת בתחום מסוים ונמצאת שם מעל ציר ה-xx. מה נכון?

  1. לא ייתכן
  2. יורדת ולכן שלילית
  3. יורדת וגם חיובית
  4. חיובית ולכן עולה
Show the answer and the solution

Answer: C יורדת וגם חיובית

Worked solution:

↘\searrow

כיוון

++

מיקום

שתי שאלות נפרדות לגמרי — אין ביניהן קשר הכרחי.

Check the answer on elev

Exercise 6

גרף שטוח בגובה 5 בין x=2x=2 ל-x=6x=6 — מה זה אומר?

  1. עלייה מהירה
  2. אין הגדרה
  3. הערך קבוע 5 בקטע הזה
  4. הפונקציה אפס
Show the answer and the solution

Answer: C הערך קבוע 5 בקטע הזה

Worked solution:

y=5y = 5

קבוע

Check the answer on elev

Exercise 7

לגרף מקסימום ב-(3,8)(3, 8). מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

88

ה-y של הפסגה

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף חותך את ציר ה-x בשלוש נקודות. כמה אפסים לפונקציה?

  1. אחד
  2. שלושה
  3. אף אחד
  4. שניים
Show the answer and the solution

Answer: B שלושה

Worked solution:

33

כל חיתוך — אפס

Check the answer on elev

Exercise 9

גרף עולה עד x=2x=2, יורד עד x=5x=5, ואז עולה. כמה נקודות קיצון?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

22

מקסימום ב-2 ומינימום ב-5

Check the answer on elev

Exercise 10

מאיזה כיוון קוראים גרף?

  1. מימין לשמאל
  2. לא משנה
  3. משמאל לימין תמיד
  4. מהאמצע
Show the answer and the solution

Answer: C משמאל לימין תמיד

Worked solution:

→\rightarrow

גם בעברית — ציר ה-x גדל ימינה

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • ↗ ↘\nearrow \ \searrow
  • + −+ \ -
  • f(x)=0f(x) = 0
  • f(x)>0f(x) > 0
  • חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו.
  • עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין.
  • פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.
  • פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx.
Show the answer and the solution

Answer: ↗ ↘\nearrow \ \searrow — עלייה וירידה — לאן הגרף הולך משמאל לימין. · + −+ \ - — חיוביות ושליליות — מעל ציר ה-xx או מתחתיו. · f(x)=0f(x) = 0 — פתרון משוואה — איפה הגרף חותך את ציר ה-xx. · f(x)>0f(x) > 0 — פתרון אי-שוויון — כל התחום שבו הגרף מעל הציר.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו: התשובה לכל שאלה נכתבת בערכי xx או בערכי yy?

  • ערכי xx
  • ערכי yy
  • האפסים של הפונקציה
  • הערך הגדול ביותר של הפונקציה
  • הערך של f(3)f(3)
  • הפתרונות של המשוואה f(x)=4f(x) = 4
  • התחום שבו f(x)>0f(x) > 0
  • התחום שבו הגרף של ff מעל הגרף של gg
Show the answer and the solution

Answer: הפתרונות של המשוואה f(x)=4f(x) = 4 — ערכי xx · התחום שבו f(x)>0f(x) > 0 — ערכי xx · האפסים של הפונקציה — ערכי xx · התחום שבו הגרף של ff מעל הגרף של gg — ערכי xx · הערך הגדול ביותר של הפונקציה — ערכי yy · הערך של f(3)f(3) — ערכי yy

Worked solution:

f(x)=4⇒x=?\begin{aligned}f(x) &= 4 \Rightarrow x \\ &= ?\end{aligned}

ה-4 נתון — מחפשים את ה-xx

f(3)=?f(3) = ?

ה-3 נתון — מחפשים את ה-yy

משוואה, אי-שוויון ואפסים שואלים איפה משהו קורה — והתשובה היא ערכי xx. ערך מקסימלי ו-f(3)f(3) שואלים כמה — והתשובה היא גובה, כלומר ערך של yy.

Check the answer on elev

Exercise 13

ff פונקציה זוגית ו-gg פונקציה אי-זוגית. ידוע ש-f(3)=7f(3) = 7 ו-g(2)=5g(2) = 5. השלימו.

f(−3)=f(-3) = ____, ו-g(−2)=g(-2) = ____

Show the answer and the solution

Answer: f(−3)=f(-3) = 7, ו-g(−2)=g(-2) = -5

Worked solution:

f(−3)=f(3)=7\begin{aligned}f(-3) &= f(3) \\ &= 7\end{aligned}

זוגית — סימטרית ביחס לציר ה-yy

g(−2)=−g(2)=−5\begin{aligned}g(-2) &= -g(2) \\ &= -5\end{aligned}

אי-זוגית — סימטרית ביחס לראשית

בפונקציה זוגית הנקודה (3,7)(3, 7) משתקפת ל-(−3,7)(-3, 7). בפונקציה אי-זוגית הנקודה (2,5)(2, 5) מסתובבת חצי סיבוב סביב הראשית ל-(−2,−5)(-2, -5).

Check the answer on elev

Exercise 14

תלמיד בדק אם הפונקציה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x זוגית או אי-זוגית. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

f(−x)=(−x)3+(−x)f(-x) = (-x)^3 + (-x)
=x3−x= x^3 - x
=−(x3+x)=−f(x)= -(x^3 + x) = -f(x)
לכן f אי-זוגית\text{לכן } f \text{ אי-זוגית}
Show the answer and the solution

Answer: =x3−x= x^3 - x → =−x3−x= -x^3 - x

Worked solution:

(−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3

חזקה אי-זוגית שומרת את המינוס

−x3−x=−(x3+x)-x^3 - x = -(x^3 + x)

מוציאים מינוס משותף

בשורה השנייה המינוס נעלם מ-(−x)3(-x)^3, כאילו זו הייתה חזקה זוגית. עם התיקון המסקנה נכונה: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), והפונקציה אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 15

−2−11234−4−3−2−112345xyf-13

לפניכם הגרף של f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. מתי f(x)<0f(x) < 0?

  1. −1<x<3-1 < x < 3
  2. x=−1x = -1 או x=3x = 3
  3. x<−1x < -1 או x>3x > 3
  4. −4<y<0-4 < y < 0
Show the answer and the solution

Answer: A −1<x<3-1 < x < 3

Worked solution:

f(−1)=f(3)=0\begin{aligned}f(-1) &= f(3) \\ &= 0\end{aligned}

שתי נקודות החיתוך עם ציר ה-xx

−1<x<3-1 < x < 3

ביניהן הגרף מתחת לציר

התשובה היא תחום של xx. «−4<y<0-4 < y < 0» הוא התנאי על yy, לא התשובה; ו-x=−1x = -1, x=3x = 3 הם רק הגבולות, שבהם f(x)=0f(x) = 0.

Check the answer on elev

Exercise 16

−2−112−3−2−1123xyf(-1, 2)(1, -2)

לפניכם הגרף של ff. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1f(x) = 1?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

y=1y = 1

קו אופקי בגובה 1

−2<1<2-2 < 1 < 2

הקו עובר בין המינימום למקסימום — חותך את שלושת הקטעים

סופרים נקודות מפגש, לא מחשבים. הקו בגובה 1 פוגש את הגרף שלוש פעמים: שלושה פתרונות.

Check the answer on elev

Exercise 17

−2−112−3−2−112345xyf(-1, 2)(1, -2)

השלימו לפי הגרף של ff (מקסימום ב-(−1,2)(-1, 2), מינימום ב-(1,−2)(1, -2)).

למשוואה f(x)=2f(x) = 2 יש ____ פתרונות, ולמשוואה f(x)=5f(x) = 5 יש ____ פתרונות.

Show the answer and the solution

Answer: למשוואה f(x)=2f(x) = 2 יש 2 פתרונות, ולמשוואה f(x)=5f(x) = 5 יש 1 פתרונות.

Worked solution:

y=2y = 2

הקו נוגע במקסימום ב-x=−1x = -1, ופוגש שוב את הענף הימני ב-x=2x = 2

y=5y = 5

מעל המקסימום — רק הענף הימני

נגיעה בפסגה היא נקודת מפגש אחת — פתרון אחד, לא שניים. ומעל הפסגה נשאר רק הענף העולה.

Check the answer on elev

Exercise 18

−2−1123−11234567xyfg(-1, 1)(2, 4)

בציור הגרפים של f(x)=x2f(x) = x^2 ושל g(x)=x+2g(x) = x + 2. מתי f(x)>g(x)f(x) > g(x)?

  1. −1<x<2-1 < x < 2
  2. x<−1x < -1 או x>2x > 2
  3. x=−1x = -1 או x=2x = 2
  4. 1<y<41 < y < 4
Show the answer and the solution

Answer: B x<−1x < -1 או x>2x > 2

Worked solution:

x=−1 x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות החיתוך — גבולות התחומים

x=0: 0<2x = 0: \ 0 < 2

באמצע הפרבולה מתחת לישר

x<−1 או x>2x < -1 \ \text{או} \ x > 2

בחוץ הפרבולה מעל

בודקים מי למעלה בכל תחום. בין נקודות החיתוך הישר מעל — זו התשובה ל-f(x)<g(x)f(x) < g(x), לא לשאלה הזו.

Check the answer on elev

Exercise 19

מיינו: זוגית או אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • −2x-2x
  • 3x2−13x^2 - 1
  • x2+7x^2 + 7
  • x3+xx^3 + x
  • x4x^4
  • x5x^5
Show the answer and the solution

Answer: x4x^4 — זוגית · 3x2−13x^2 - 1 — זוגית · x3+xx^3 + x — אי-זוגית · −2x-2x — אי-זוגית · x5x^5 — אי-זוגית · x2+7x^2 + 7 — זוגית

Worked solution:

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

זוגית: רק חזקות זוגיות (ומספר חופשי)

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

אי-זוגית: רק חזקות אי-זוגיות, בלי מספר חופשי

מציבים −x-x: חזקה זוגית מעלימה את המינוס, חזקה אי-זוגית שומרת אותו. מספר חופשי כמו −1-1 או 77 לא מקלקל זוגיות — אבל היה מקלקל אי-זוגיות.

Check the answer on elev

Exercise 20

f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x היא פונקציה זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(1)=2 f(−1)=0\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \ f(-1) &= 0\end{aligned}

שני ערכים שונים — לא זוגית

f(−1)≠−f(1)f(-1) \neq -f(1)

וגם לא נגדיים — לא אי-זוגית

חזקה זוגית אחת לא מספיקה: xx הוא חזקה אי-זוגית. הפונקציה לא זו ולא זו — המקרה השכיח.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade