Thales inside a triangle

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משפט תלס עוסק במצב אחד ויחיד: משולש, וישר שמקביל לאחת הצלעות וחותך את שתי האחרות. המשפט אומר שהוא חותך אותן באותו יחס.

DE∥BC⇒ADDB=AEECDE \parallel BC \quad \Rightarrow\quad \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

המשפט וההרחבה הראשונה — לא לבלבל ביניהם

זה החלק שמפיל הכי הרבה תלמידים, ולכן צריך להכיר את שני השמות בנפרד, ולדעת כמה יחסים כל אחד מהם נותן.

1\text{1}

משפט תלס — נותן שני יחסים, בצורת חלק חלקי חלק: ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}. כל צלע מחולקת לשני קטעים, ומשווים ביניהם. DEDE אינו מופיע כאן כלל.

2\text{2}

הרחבה ראשונה של משפט תלס — נותנת שלושה יחסים שווים, בצורת חלק חלקי שלם: ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. רק בהרחבה הזאת נכנס גם הקטע DEDE, ורק ממנה מותר להסיק עליו משהו.

הכלל שקובע איזה מהם לכתוב בנימוק: מחפשים את DEDE? הרחבה ראשונה. לא מחפשים אותו? משפט תלס. ובנימוק כותבים את השם המדויק — «משפט תלס» ו«הרחבה ראשונה» אינם אותו משפט.

ועוד כלל שחוסך המון טעויות: יחס נשאר יחס. אם יצא 911\frac{9}{11} — משאירים 911\frac{9}{11}, ולא הופכים ל-0.818...0.818.... המספר העשרוני כמעט תמיד לא מדויק, והוא הופך את הפתרון לקירוב במקום לתשובה.

הטעות המרכזית של הפרק, ובגללה כדאי לרשום תמיד מה מחלקים במה.

ADDB=DEBC\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}
ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

DEDE מושווה לצלע השלמה BCBC, ולכן גם באגף השני צריך חלק חלקי שלם. ערבוב בין שתי הצורות נותן תשובה שגויה גם כשכל מספר בפני עצמו נכון.

דוגמה

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6. מצאו את ECEC.

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

רושמים את המשפט

46=6EC\frac{4}{6} = \frac{6}{EC}

מציבים

4⋅EC=364 \cdot EC = 36

כפל בהצלבה

EC=9EC = 9

ומחלקים

למה זה עובד בכלל: המשולש הקטן ADEADE דומה למשולש הגדול ABCABC — שתי זוויות משותפות בגלל המקבילות. תלס הוא בעצם דמיון משולשים שנוסח מחדש בשפה של קטעים.

ישר מקביל לצלע חותך משולש. מה משפט תלס אומר על הקטעים?

Show the answer and the solution

הוא מחלק את שתי הצלעות באותו יחס: ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}.

Exercises

Exercise 1

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6. מה אורך ECEC?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

46=6EC\frac{4}{6} = \frac{6}{EC}

משפט תלס — חלק חלקי חלק

4⋅EC=364 \cdot EC = 36

כפל בהצלבה

EC=9EC = 9

ומחלקים

שני האגפים נקראים באותו כיוון: הקטע העליון במונה בשניהם.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=3AD = 3, DB=9DB = 9, AE=5AE = 5. מה אורך ECEC?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

39=5EC\frac{3}{9} = \frac{5}{EC}

משפט תלס — חלק חלקי חלק

3⋅EC=453 \cdot EC = 45

כפל בהצלבה

EC=15EC = 15

ומחלקים

שני האגפים נקראים באותו כיוון: הקטע העליון במונה בשניהם.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=8AE = 8. מה אורך ECEC?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

510=8EC\frac{5}{10} = \frac{8}{EC}

משפט תלס — חלק חלקי חלק

5⋅EC=805 \cdot EC = 80

כפל בהצלבה

EC=16EC = 16

ומחלקים

שני האגפים נקראים באותו כיוון: הקטע העליון במונה בשניהם.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9. מה אורך ECEC?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

64=9EC\frac{6}{4} = \frac{9}{EC}

משפט תלס — חלק חלקי חלק

6⋅EC=366 \cdot EC = 36

כפל בהצלבה

EC=6EC = 6

ומחלקים

שני האגפים נקראים באותו כיוון: הקטע העליון במונה בשניהם.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=2AD = 2, DB=8DB = 8, AE=3AE = 3. מה אורך ECEC?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

28=3EC\frac{2}{8} = \frac{3}{EC}

משפט תלס — חלק חלקי חלק

2⋅EC=242 \cdot EC = 24

כפל בהצלבה

EC=12EC = 12

ומחלקים

שני האגפים נקראים באותו כיוון: הקטע העליון במונה בשניהם.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=4AD = 4, AB=10AB = 10 ו-BC=15BC = 15. מה אורך DEDE?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

כאן חייבים חלק חלקי שלם — כי DE מושווה ל-BC השלמה

410=DE15\frac{4}{10} = \frac{DE}{15}

מציבים

DE=6DE = 6

כפל בהצלבה וחילוק

שימו לב ש-AB=10AB = 10 היא הצלע השלמה, לא הקטע DBDB.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=3AD = 3, AB=12AB = 12 ו-BC=20BC = 20. מה אורך DEDE?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

כאן חייבים חלק חלקי שלם — כי DE מושווה ל-BC השלמה

312=DE20\frac{3}{12} = \frac{DE}{20}

מציבים

DE=5DE = 5

כפל בהצלבה וחילוק

שימו לב ש-AB=12AB = 12 היא הצלע השלמה, לא הקטע DBDB.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC. נתון AD=5AD = 5, AB=15AB = 15 ו-BC=24BC = 24. מה אורך DEDE?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

כאן חייבים חלק חלקי שלם — כי DE מושווה ל-BC השלמה

515=DE24\frac{5}{15} = \frac{DE}{24}

מציבים

DE=8DE = 8

כפל בהצלבה וחילוק

שימו לב ש-AB=15AB = 15 היא הצלע השלמה, לא הקטע DBDB.

Check the answer on elev

Exercise 9

מה התנאי ההכרחי כדי להשתמש במשפט תלס?

  1. שהמשולש יהיה ישר זווית
  2. שהמשולש יהיה שווה שוקיים
  3. שהישר יעבור דרך קודקוד
  4. שהישר יהיה מקביל לאחת מצלעות המשולש
Show the answer and the solution

Answer: D שהישר יהיה מקביל לאחת מצלעות המשולש

Worked solution:

DE∥BCDE \parallel BC

המקבילות היא כל התנאי

בלי מקבילות אין שום יחס שווה — הישר חותך איך שבא לו.

Check the answer on elev

Exercise 10

איזו משוואה שגויה?

  1. ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}
  2. ADDB=DEBC\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}
  3. ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
  4. ADAB=AEAC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
Show the answer and the solution

Answer: B ADDB=DEBC\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}

Worked solution:

ADDBחלק/חלק\frac{AD}{DB} \quad \text{חלק/חלק}

אגף שמאל

DEBCחלק/שלם\frac{DE}{BC} \quad \text{חלק/שלם}

ואגף ימין — שתי שפות שונות

שלוש האחרות נכונות. הטעות היא ערבוב בין «חלק חלקי חלק» ל«חלק חלקי שלם».

Check the answer on elev

Exercise 11

למה משפט תלס נכון?

  1. כי המשולשים חופפים
  2. כי המשולש הקטן דומה למשולש הגדול
  3. כי הצלעות שוות
  4. כי סכום הזוויות הוא 180°
Show the answer and the solution

Answer: B כי המשולש הקטן דומה למשולש הגדול

Worked solution:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

שתי זוויות שוות בגלל המקבילות

תלס הוא דמיון משולשים בשפה של קטעים — לא משפט נפרד לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 12

ABCDE
זהו בדיוק המצב של משפט תלס במשולש.

במשולש ABCABC נתון DE∥BCDE \parallel BC (DD על ABAB, EE על ACAC). הוכיחו כי ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}.

  • DD על ABAB, EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}

Show the answer and the solution
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז
  5. ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} — במשולשים דומים היחס בין הצלעות המתאימות שווה

Worked solution:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז — מתאימות ועוד זווית משותפת

ADAB=AEAC\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}

יחס הדמיון

זו ההוכחה של משפט תלס עצמו — הוא לא «נופל מהשמיים», הוא נובע ישירות מדמיון משולשים.

Check the answer on elev

Exercise 13

ABCDEF
שני ישרים מקבילים לשתי צלעות שונות, ושניהם עוברים דרך EE.

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB, הנקודה EE על ACAC והנקודה FF על BCBC. נתון DE∥BCDE \parallel BC ו-EF∥ABEF \parallel AB. הוכיחו כי ADDB=BFFC\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{BF}{FC}.

  • DD על ABAB, EE על ACAC, FF על BCBC
  • DE∥BCDE \parallel BC
  • EF∥ABEF \parallel AB

ADDB=BFFC\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{BF}{FC}

Show the answer and the solution
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ADDB=AEEC\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} — משפט תלס
  3. EF∥ABEF \parallel AB — נתון
  4. AEEC=BFFC\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{BF}{FC} — משפט תלס
  5. ADDB=BFFC\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{BF}{FC} — כלל המעבר

Worked solution:

DE∥BC⇒ADDB=AEECDE \parallel BC \Rightarrow \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תלס במשולש ABCABC, עם הישר DEDE

EF∥AB⇒AEEC=BFFCEF \parallel AB \Rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{BF}{FC}

משפט תלס שוב — הפעם הישר EFEF חותך את CACA ואת CBCB

ADDB=BFFC\frac{AD}{DB} = \frac{BF}{FC}

שני היחסים שווים לאותו יחס AEEC\frac{AE}{EC}

היחס AEEC\frac{AE}{EC} הוא הגשר: הוא נוצר על הצלע ACAC, ששני הישרים המקבילים חותכים אותה באותה נקודה EE.

Check the answer on elev

Exercise 14

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6 ו-BC=12BC = 12. תלמיד חישב את DEDE. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AB=AD+DB=3+6=9\begin{aligned}AB &= AD + DB \\ &= 3 + 6 \\ &= 9\end{aligned}
ADDB=DEBC\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}
39=DE12\frac{3}{9} = \frac{DE}{12}
DE=4DE = 4
Show the answer and the solution

Answer: ADDB=DEBC\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC} → ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

Worked solution:

ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

הרחבה ראשונה: חלק חלקי שלם, כי DEDE מושווה לצלע השלמה BCBC

39=DE12\frac{3}{9} = \frac{DE}{12}

מציבים AB=9AB = 9

DE=4DE = 4

כפל בהצלבה וחילוק

בשורה השנייה התלמיד ערבב «חלק חלקי חלק» (ADDB\frac{AD}{DB}) עם «חלק חלקי שלם» (DEBC\frac{DE}{BC}). מחפשים את DEDE — ולכן כותבים את ההרחבה הראשונה, ADAB\frac{AD}{AB}. שאר השורות נכונות, וגם התשובה DE=4DE = 4.

Check the answer on elev

Exercise 15

במשולש ABCABC מתקיים DE∥BCDE \parallel BC (DD על ABAB, EE על ACAC). מיינו כל שוויון לפי המשפט שממנו הוא נובע.

  • משפט תלס (חלק חלקי חלק)
  • הרחבה ראשונה (עם DEDE)
  • ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}
  • ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
  • AEAC=DEBC\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
  • DBAD=ECAE\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}
Show the answer and the solution

Answer: ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} — משפט תלס (חלק חלקי חלק) · DBAD=ECAE\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE} — משפט תלס (חלק חלקי חלק) · ADAB=DEBC\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} — הרחבה ראשונה (עם DEDE) · AEAC=DEBC\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} — הרחבה ראשונה (עם DEDE)

Worked solution:

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תלס: חלק חלקי חלק

ADAB=AEAC=DEBC\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AE}{AC} \\ &= \frac{DE}{BC}\end{aligned}

הרחבה ראשונה: חלק חלקי שלם

השוויונות שאין בהם DEDE משווים קטע לקטע על אותה צלע — זה משפט תלס (גם כשהופכים את שני האגפים יחד). השוויונות שבהם מופיע DEDE משווים חלק לשלם — רק ההרחבה הראשונה נותנת אותם.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade