Volume of cone, pyramid and sphere

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לגליל ולמנסרה יש אותו חתך מלמטה עד למעלה. לכן «שטח הבסיס כפול הגובה» עבד.

החרוט והפירמידה מצטמצמים עד לחוד. ברור שייכנס בהם פחות — אבל כמה פחות?

נחשו: כמה חרוטים מלאים ימלאו את הגליל שלהם?

Show the answer and the solution

שלושה. בדקו בניסוי.

חרוט

נפח חרוט = שליש משטח הבסיס כפול הגובה

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

גביע גלידה

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מה נפחו? (π=3.14\pi = 3.14)

πr2h=3.14⋅9⋅10=282.6\begin{aligned}\pi r^2 h &= 3.14 \cdot 9 \cdot 10 \\ &= 282.6\end{aligned}

קודם מחשבים כאילו זה גליל

V=282.6:3V = 282.6 : 3

ורק בסוף לוקחים שליש

V=94.2 סמ״קV = 94.2\ \text{סמ״ק}

פחות משליש ליטר

סדר העבודה הנוח: קודם הגליל, בסוף שליש. כך יש מספר אחד לחלק ב-3, ולא שבר שנגרר בכל השורות.

גליל וחרוט בעלי אותו בסיס ואותו גובה. נפח הגליל 600 סמ״ק. מה נפח החרוט?

Show the answer and the solution

200 סמ״ק — שליש. אין צורך ברדיוס או בגובה: היחס לבדו מספיק.

פירמידה

אותו יחס בדיוק חוזר בין הפירמידה למנסרה שלה.

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

פירמידה עם בסיס ריבועי

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 6 ס״מ, וגובהה 10 ס״מ.

Sבסיס=6⋅6=36\begin{aligned}S_{\text{בסיס}} &= 6 \cdot 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח הריבוע

36⋅10=36036 \cdot 10 = 360

כאילו זו מנסרה

V=360:3=120 סמ״ק\begin{aligned}V &= 360 : 3 \\ &= 120\ \text{סמ״ק}\end{aligned}

ושליש

כדור

לכדור אין בסיס ואין גובה — יש לו רק רדיוס.

אבל אפשר לשים אותו בתוך גליל שעוטף אותו בדיוק: אותו רדיוס, וגובה 2r2r.

V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

כאן הרדיוס בחזקה שלישית: אין גובה נפרד, וכל שלושת הממדים באים מהרדיוס.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ

מחשבים לפי הסדר: קודם החזקה, אחר כך פאי, ובסוף השבר.

r3=33=27\begin{aligned}r^3 &= 3^3 \\ &= 27\end{aligned}

חזקה שלישית

3.14⋅27=84.783.14 \cdot 27 = 84.78

כפול פאי

84.78⋅43=113.04 סמ״ק84.78 \cdot \frac{4}{3} = 113.04\ \text{סמ״ק}

כפול ארבע חלקי שלוש

שתי הטעויות של הפרק.

Vחרוט=πr2hV_{\text{חרוט}} = \pi r^2 h
Vחרוט=13πr2hV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

לשכוח את השליש. התשובה יוצאת פי שלושה גדולה מדי — וחרוט לעולם אינו מכיל כמו הגליל שסביבו.

Vכדור=43πr2V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^2
Vכדור=43πr3V_{\text{כדור}} = \frac{4}{3}\pi r^3

בכדור החזקה היא שלישית. חזקה שנייה נותנת שטח, ושטח אינו נפח.

למה בכדור הרדיוס בחזקה שלישית, ובגליל רק בשנייה?

Show the answer and the solution

כי נפח הוא תמיד שלושה ממדים. בגליל שני ממדים באים מהבסיס (r2r^2) והשלישי מהגובה. בכדור אין גובה נפרד — כל שלושת הממדים חייבים לבוא מהרדיוס עצמו.

Exercises

להתאמן

Exercise 1

נפח גליל הוא 90 סמ״ק. מה נפח החרוט בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלושים סמ״ק.

Check the answer on elev

Exercise 2

103
רדיוס הבסיס: 3 ס״מ. הגובה: 10 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 3 ס״מ וגובהו 10 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 94.2

Worked solution:

3.14⋅9⋅10=282.63.14 \cdot 9 \cdot 10 = 282.6

כאילו גליל

282.6:3=94.2282.6 : 3 = 94.2

ושליש

כ-94 סמ״ק.

Check the answer on elev

Exercise 3

ah
צלע הריבוע a והגובה h — המספרים כתובים בשאלה.

פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו 5 ס״מ וגובהה 12 ס״מ. מהו נפחה בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

S=5⋅5=25\begin{aligned}S &= 5 \cdot 5 \\ &= 25\end{aligned}

שטח הבסיס

25⋅12=30025 \cdot 12 = 300

כאילו מנסרה

300:3=100300 : 3 = 100

ושליש

מאה סמ״ק.

Check the answer on elev

Exercise 4

3
הרדיוס: 3 ס״מ.

כדור שרדיוסו 3 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 113.04

Worked solution:

33=273^3 = 27

חזקה שלישית

43⋅3.14⋅27=113.04\frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 27 = 113.04

והנוסחה

כ-113 סמ״ק.

Check the answer on elev

Exercise 5

חרוט וגליל בעלי אותו בסיס ואותו גובה. מה נכון?

  1. נפחם שווה
  2. נפח החרוט גדול פי 3
  3. נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל
  4. נפח החרוט הוא חצי מנפח הגליל
Show the answer and the solution

Answer: C נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל

Worked solution:

Vחרוט=13VגלילV_{\text{חרוט}} = \frac{1}{3} V_{\text{גליל}}

שלוש שפיכות מילאו את הגליל

זה בדיוק מה שהניסוי הראה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נפח חרוט הוא 50 סמ״ק. מה נפח הגליל בעל אותו בסיס ואותו גובה, בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 150

Worked solution:

50⋅3=15050 \cdot 3 = 150

הכיוון ההפוך — כפל ב-3

הגליל גדול פי שלושה.

Check the answer on elev

Exercise 7

בנוסחת נפח הכדור הרדיוס מועלה בחזקה שנייה

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3

חזקה שלישית

חזקה שנייה הייתה נותנת שטח. נפח דורש שלושה ממדים.

Check the answer on elev

Exercise 8

930
שטח הבסיס: 30 סמ״ר. הגובה: 9 ס״מ.

חרוט ששטח בסיסו 30 סמ״ר וגובהו 9 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

30⋅9=27030 \cdot 9 = 270

בסיס כפול גובה

270:3=90270 : 3 = 90

ושליש

כשנתון שטח הבסיס אין צורך בפאי כלל.

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרו את שלבי חישוב נפח חרוט

  • כותבים את התשובה בסמ״ק
  • מחלקים ב-3
  • מחשבים את שטח הבסיס
  • מכפילים בגובה
Show the answer and the solution

Answer: מחשבים את שטח הבסיס · מכפילים בגובה · מחלקים ב-3 · כותבים את התשובה בסמ״ק

Worked solution:

Sבסיס → ×h → :3S_{\text{בסיס}} \ \rightarrow \ \times h \ \rightarrow \ : 3

שלושת הצעדים, בסדר הזה

V=13Sבסיס⋅hV = \frac{1}{3} S_{\text{בסיס}} \cdot h

וזו הנוסחה שהם מרכיבים

השליש תמיד אחרון — כך מחלקים מספר אחד ולא גוררים שבר.

Check the answer on elev

Exercise 10

6
הרדיוס: 6 ס״מ.

כדור שרדיוסו 6 ס״מ. מהו נפחו בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 904.32

Worked solution:

63=2166^3 = 216

חזקה שלישית

3.14⋅216=678.243.14 \cdot 216 = 678.24

כפול פאי

678.24⋅43=904.32678.24 \cdot \frac{4}{3} = 904.32

וכפול ארבע שלישים

רדיוס כפול הביא נפח גדול פי שמונה — כי החזקה שלישית.

Check the answer on elev

Exercise 11

חרוט שגובהו 9 ס״מ, וגליל שגובהו 3 ס״מ, עם אותו בסיס בדיוק — נפחם שווה

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

13⋅S⋅9=3S\frac{1}{3} \cdot S \cdot 9 = 3S

החרוט

S⋅3=3SS \cdot 3 = 3S

הגליל

נכון! החרוט גבוה פי 3, וזה בדיוק מאזן את השליש.

Check the answer on elev

Exercise 12

56
רדיוס הבסיס: 6 ס״מ. הגובה: 5 ס״מ.

חרוט שרדיוס בסיסו 6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מהו נפחו, בסמ״ק? (π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 188.4

Worked solution:

3.14⋅36⋅5=565.23.14 \cdot 36 \cdot 5 = 565.2

כאילו גליל

565.2:3=188.4565.2 : 3 = 188.4

ושליש

בלי השליש יוצא 565.2 — נפח הגליל שמסביב.

Check the answer on elev

Exercise 13

10
שטח הבסיס: 48 סמ״ר. הגובה: 10 ס״מ.

פירמידה ששטח בסיסה 48 סמ״ר וגובהה 10 ס״מ. מהו נפחה, בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 160

Worked solution:

48⋅10=48048 \cdot 10 = 480

כאילו מנסרה

480:3=160480 : 3 = 160

ושליש

כשנתון שטח הבסיס, לא צריך לדעת את צורתו.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו

מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה ____ סמ״ק, וצריך ____ פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

Show the answer and the solution

Answer: מנסרה שנפחה 90 סמ״ק. פירמידה עם אותו בסיס ואותו גובה — נפחה 30 סמ״ק, וצריך 3 פירמידות כאלה כדי למלא את המנסרה.

Worked solution:

90:3=3090 : 3 = 30

שליש

שלוש שפיכות ממלאות את המנסרה — כמו בניסוי.

Check the answer on elev

Exercise 15

באיזו נוסחה יש שליש?

  • יש שליש
  • אין שליש
  • גליל
  • חרוט
  • מנסרה
  • פירמידה
  • תיבה
Show the answer and the solution

Answer: חרוט — יש שליש · פירמידה — יש שליש · גליל — אין שליש · מנסרה — אין שליש · תיבה — אין שליש

Worked solution:

V=13ShV = \frac{1}{3} S h

גופים שמסתיימים בחוד

רק לגופים שמסתיימים בחוד יש שליש.

Check the answer on elev

Exercise 16

גליל עוטף כדור בדיוק: אותו רדיוס, וגובה פעמיים הרדיוס. נפח הגליל 150 סמ״ק. מה נפח הכדור, בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

150⋅23=100150 \cdot \frac{2}{3} = 100

הכדור ממלא שני שלישים

כמו בניסוי של ארכימדס: הכדור הוא שני שלישים מהגליל שעוטף אותו.

Check the answer on elev

Exercise 17

מה נפח כדור שרדיוסו 3, כשכותבים אותו עם π\pi?

  1. 36π36\pi
  2. 12π12\pi
  3. 108π108\pi
  4. 27π27\pi
Show the answer and the solution

Answer: A 36π36\pi

Worked solution:

43π⋅33=43⋅27π=36π\begin{aligned}\frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 &= \frac{4}{3} \cdot 27 \pi \\ &= 36\pi\end{aligned}

החזקה קודם

12π12\pi הוא עם r2r^2, ו-27π27\pi שוכח את 43\frac{4}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 18

התאימו כל גוף לנוסחת הנפח שלו

  • גליל
  • חרוט
  • כדור
  • פירמידה
  • 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h
  • 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h
  • 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3
  • πr2h\pi r^2 h
Show the answer and the solution

Answer: גליל — πr2h\pi r^2 h · חרוט — 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h · כדור — 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3 · פירמידה — 13S⋅h\frac{1}{3} S \cdot h

Worked solution:

13, 43\frac{1}{3}, \ \frac{4}{3}

השליש של החוד, וארבעה שלישים של הכדור

גליל — בסיס כפול גובה. חרוט ופירמידה — שליש מזה. כדור — רדיוס בחזקה שלישית.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade