Set 2 — medium · Advanced probability · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בדרגה בינונית: «בדיוק אחד» בשני מסלולים, הוצאה בלי החזרה בשני סדרים, נוסחת האיחוד לכיוון ההפוך, בדיקת תלות, ומעבר מעץ באחוזים לטבלה.

לפני שכופלים, ציירו את העץ ורשמו על כל ענף את ההסתברות שלו. בסוף בדקו: סכום הקצוות 1.

Exercises

Exercise 1

הסוללה של טלפון תקינה בהסתברות 0.9, והמטען תקין בהסתברות 0.95, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשניים תקין?

Show the answer and the solution

Answer: 0.14

Worked solution:

0.9 \cdot 0.05 = 0.045

סוללה תקינה, מטען לא

0.1 \cdot 0.95 = 0.095

סוללה לא, מטען תקין

0.045 + 0.095 = 0.14

שני מסלולים

«בדיוק אחד» הם שני מסלולים. בכל אחד מהם צריך גם את ההסתברות של הכישלון של השני.

Check the answer on elev

Exercise 2

בכיתה 20 תלמידים: 12 בנים ו-8 בנות. מגרילים שני תלמידים שונים. מה ההסתברות שייבחרו בן אחד ובת אחת? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.505263

Worked solution:

\frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} = \frac{96}{380}

בן ואז בת

\frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} = \frac{96}{380}

בת ואז בן

\frac{192}{380} \approx 0.51

מחברים

שני המסלולים שווים, ולכן אפשר לכפול מסלול אחד ב-2. מי שענה 0.25 חישב סדר אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.6$ ו- $P(A \cup B)=0.8$ . מהי $P(A \cap B)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

0.8 = 0.5 + 0.6 - P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 1.1 - 0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

מבודדים

$0.5 + 0.6 = 1.1$ גדול מ-1: זה סימן לכך שיש חיתוך, והוא לפחות $0.1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

באותם נתונים ( $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.6$ , $P(A \cup B)=0.8$ ): מה ההסתברות ש- $A$ קרה ו- $B$ לא קרה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

P(A \cap B) = 0.3

מהשאלה הקודמת

0.5 - 0.3 = 0.2

מ- $A$ מורידים את החלק המשותף

הטעות: $0.5 \cdot 0.4 = 0.2$ . כאן היא נותנת במקרה אותו מספר, אבל היא מניחה אי-תלות שלא נאמרה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון $P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ ו- $P(A \cap B)=0.2$ . מה נכון?

אי אפשר לדעת
$A$ ו- $B$ תלויים
$A$ ו- $B$ בלתי תלויים
$A$ ו- $B$ לא יכולים לקרות יחד

Show the answer and the solution

Answer: C $A$ ו- $B$ בלתי תלויים

Worked solution:

\begin{aligned}0.4 \cdot 0.5 &= 0.2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המכפלה שווה לחיתוך

הנכונה: בלתי תלויים. «לא יכולים לקרות יחד» היה דורש חיתוך 0, וכאן הוא 0.2.

Check the answer on elev

Exercise 6

בחדר שתי נורות. נורה א׳ נשרפת השנה בהסתברות 0.3, ונורה ב׳ בהסתברות 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות נורה אחת לא תישרף?

Show the answer and the solution

Answer: 0.94

Worked solution:

0.3 \cdot 0.2 = 0.06

המשלים: שתיהן נשרפות

1 - 0.06 = 0.94

לפחות אחת נשארת

המשלים של «לפחות אחת לא נשרפת» הוא «שתיהן נשרפות». הטעות: $1 - 0.7 \cdot 0.8$ , שהוא «לפחות אחת נשרפת».

Check the answer on elev

Exercise 7

בסקר 500 משתתפים, 40% מהם צעירים. מבין הצעירים 70% מעדיפים קניות ברשת, ומבין המבוגרים 30%. השלימו.

צעירים שמעדיפים ברשת: ____ ; מבוגרים שמעדיפים ברשת: ____ ; ההסתברות שמשתתף אקראי מעדיף ברשת: ____

Show the answer and the solution

Answer: צעירים שמעדיפים ברשת: 140 ; מבוגרים שמעדיפים ברשת: 90 ; ההסתברות שמשתתף אקראי מעדיף ברשת: 0.46

Worked solution:

\begin{aligned}500 \cdot 0.4 &= 200 \\ \quad 200 \cdot 0.7 &= 140\end{aligned}

שורת הצעירים

\begin{aligned}500 - 200 &= 300 \\ \quad 300 \cdot 0.3 &= 90\end{aligned}

שורת המבוגרים

\frac{140 + 90}{500} = 0.46

העמודה כולה

\begin{aligned}0.4 \cdot 0.7 + 0.6 \cdot 0.3 &= 0.28 + 0.18 \\ &= 0.46\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

30% הם מתוך 300 המבוגרים, לא מתוך 500. הממוצע $\frac{70\% + 30\%}{2} = 50\%$ שגוי: בקבוצות גדלים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים, $P(A)=0.3$ ו- $P(B)=0.5$ . מחשבים את $P(A \cup B)$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.3 \cdot 0.5 \\ &= 0.15\end{aligned}

\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3 + 0.5 \\ &= 0.8\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 = 0.8$ → $P(A \cup B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65$

Worked solution:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

נוסחת האיחוד

החיתוך חושב נכון בשורה הראשונה, ואז נשכח. חיבור בלבד מתאים רק למאורעות שלא קורים יחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: האם שני המאורעות תלויים או בלתי תלויים?

תלויים
בלתי תלויים

בחירת שני תלמידים שונים לוועד
הטלת קובייה פעמיים
שתי גולות משקית, בלי החזרה
שתי גולות משקית, עם החזרה

Show the answer and the solution

Answer: שתי גולות משקית, בלי החזרה — תלויים · שתי גולות משקית, עם החזרה — בלתי תלויים · הטלת קובייה פעמיים — בלתי תלויים · בחירת שני תלמידים שונים לוועד — תלויים

Worked solution:

\frac{3}{5} \to \frac{2}{4}

בלי החזרה: השלב השני משתנה

\frac{3}{5} \to \frac{3}{5}

עם החזרה: השלב השני זהה

השאלה היא תמיד: האם התוצאה של השלב הראשון משנה את ההסתברויות בשלב השני?

Check the answer on elev

Exercise 10

לנועה 6 מפתחות, ו-2 מהם פותחים את המחסן. היא מנסה שני מפתחות שונים באקראי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהשניים יפתח את המחסן?

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{12}{30} \\ &= 0.4\end{aligned}

המשלים: שני המפתחות לא מתאימים, בלי החזרה

1 - 0.4 = 0.6

לפחות אחד פותח

משלים וגם בלי החזרה: המסלול «לא, לא» הוא $\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5}$ , ולא $\left(\frac{4}{6}\right)^2$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev