Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נגזרת של מנה, אסימפטוטה אנכית ואופקית, נקודת קיצון, עלייה וירידה, הזזות ושיקופים, ובעיית קיצון על גרף. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך (ff), שיפוע (f′f') או אסימפטוטה? אסימפטוטה אנכית באה מהמכנה, ואסימפטוטה אופקית מהחזקות הגבוהות.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x+4x−2f(x)=\frac{x+4}{x-2}. חשבו את f′(3)f'(3).

Show the answer and the solution

Answer: -6

Worked solution:

f′(x)=1⋅(x−2)−(x+4)⋅1(x−2)2=−6(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1 \cdot (x-2)-(x+4) \cdot 1}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-6}{(x-2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(3)=−61=−6\begin{aligned}f'(3) &= \frac{-6}{1} \\ &= -6\end{aligned}

מציבים

הסדר במונה: נגזרת העליון כפול התחתון פחות העליון כפול נגזרת התחתון. בסדר ההפוך יוצא +6+6.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=3x−1x+2f(x)=\frac{3x-1}{x+2}?

  1. y=−12y=-\frac{1}{2}
  2. y=3y=3
  3. x=−2x=-2
  4. y=0y=0
Show the answer and the solution

Answer: B y=3y=3

Worked solution:

3x−1x+2≈3xx=3\frac{3x-1}{x+2} \approx \frac{3x}{x}=3

כש-xx גדול, רק החזקות הגבוהות קובעות

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

x=−2x=-2 היא האסימפטוטה האנכית. −12-\frac{1}{2} הוא f(0)f(0), נקודת החיתוך עם ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x2+12x−6f(x)=\frac{x^2+1}{2x-6}? כתבו את ערך ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x−6=0 ⇒ x=3\begin{aligned}2x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

32+1=10≠03^2+1=10 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

בודקים גם את המונה: אם גם הוא מתאפס באותה נקודה, זו אינה אסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 4

לגרף של f(x)=5x2+1f(x)=\frac{5}{x^2+1} אין אסימפטוטה אנכית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2+1≥1>0x^2+1 \geq 1 > 0

המכנה לעולם אינו מתאפס

D=RD=\mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל xx

יש לה אסימפטוטה אופקית y=0y=0. «אין אסימפטוטה אנכית» אינו אומר «אין אסימפטוטות».

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x2+9xf(x)=\frac{x^2+9}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

f′(x)=2x⋅x−(x2+9)x2=x2−9x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x-(x^2+9)}{x^2} \\ &= \frac{x^2-9}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 x=−3\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -3\end{aligned}

הנקודות החשודות

f(3)=183=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{3} \\ &= 6\end{aligned}

ב-x=3x=3 הנגזרת עוברת מ-−- ל-++

ב-x=−3x=-3 יש מקסימום, עם f(−3)=−6f(-3)=-6. מי שענה 33 כתב את שיעור ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=2x+1x+3f(x)=\frac{2x+1}{x+3}. מה נכון?

  1. ff יורדת בכל אחד משני הענפים
  2. ff עולה ב-x<−3x<-3 ויורדת ב-x>−3x>-3
  3. ל-ff מקסימום ב-x=−3x=-3
  4. ff עולה בכל אחד משני הענפים
Show the answer and the solution

Answer: D ff עולה בכל אחד משני הענפים

Worked solution:

f′(x)=2(x+3)−(2x+1)(x+3)2=5(x+3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)-(2x+1)}{(x+3)^2} \\ &= \frac{5}{(x+3)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(x)>0 , x≠−3f'(x)>0 \ ,\ x \neq -3

מונה חיובי, מכנה חיובי

x=−3x=-3 מחוץ לתחום, ולכן אינו יכול להיות קיצון. והנגזרת חיובית משני צדי האסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x2x+1f(x)=\frac{x^2}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

f′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2=x2+2x(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′(1)=34=0.75\begin{aligned}f'(1) &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

מציבים

השיפוע הוא f′(1)f'(1). f(1)=12f(1)=\frac{1}{2} הוא הגובה של נקודת ההשקה, לא השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=6x22x2+1f(x)=\frac{6x^2}{2x^2+1}. לגרף יש אסימפטוטה אופקית y=cy=c. מצאו את cc.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

6x22x2+1≈6x22x2=3\frac{6x^2}{2x^2+1} \approx \frac{6x^2}{2x^2}=3

אותה חזקה למעלה ולמטה: מנת המקדמים

y=3y=3

אסימפטוטה אופקית

כשהדרגות שוות, האסימפטוטה היא מנת המקדמים המובילים, 62\frac{6}{2}. לא 66 ולא 00.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של ff נתון. התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של ff.

  • y=−f(x)y=-f(x)
  • y=f(x)+2y=f(x)+2
  • y=f(x+2)y=f(x+2)
  • y=∣f(x)∣y=|f(x)|
  • הזזה של 2 למעלה
  • הזזה של 2 שמאלה
  • כל הגרף משתקף בציר ה-xx
  • רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו
Show the answer and the solution

Answer: y=−f(x)y=-f(x) — כל הגרף משתקף בציר ה-xx · y=f(x)+2y=f(x)+2 — הזזה של 2 למעלה · y=f(x+2)y=f(x+2) — הזזה של 2 שמאלה · y=∣f(x)∣y=|f(x)| — רק מה שמתחת לציר ה-xx עולה מעליו

Worked solution:

f(x+2)f(x+2)

מה שקרה ב-x=0x=0 קורה עכשיו ב-x=−2x=-2: שמאלה

f(x)+2f(x)+2

כל גובה גדל ב-2: למעלה

המלכודת: f(x+2)f(x+2) זזה שמאלה, אף שיש בה פלוס. תוספת בתוך הסוגריים פועלת הפוך מהצפוי.

Check the answer on elev

Exercise 10

הנקודה P(x, y)P(x,\,y) נמצאת על הישר y=8−2xy=8-2x ברביע הראשון. מ-PP מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מרובע שקודקודיו OO, PP ושתי נקודות על הצירים. מהו השטח הגדול ביותר של המרובע?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

S(x)=x(8−2x)=8x−2x2 0<x<4\begin{aligned}S(x) &= x(8-2x) \\ &= 8x-2x^2 \ \\ \quad 0<x<4\end{aligned}

רוחב xx, גובה yy

S′(x)=8−4x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}S'(x) &= 8-4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה; S′S' עוברת מ-++ ל-−-

S(2)=2⋅4=8\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השטח המקסימלי

מי שענה 22 כתב את שיעור ה-xx. השאלה מבקשת את השטח.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade