Practice

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: נגזרת של מנה, חקירת פונקציה רציונלית (אסימפטוטה וקיצון), ובעיות קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

נתונה f(x)=3x+2x+1f(x) = \frac{3x+2}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

f′(x)=3(x+1)−(3x+2)⋅1(x+1)2f'(x) = \frac{3(x+1) - (3x+2) \cdot 1}{(x+1)^2}

גזור-כפול פחות כפול-גזור

=1(x+1)2= \frac{1}{(x+1)^2}
f′(1)=14=0.25\begin{aligned}f'(1) &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המכנה בריבוע — לא לשכוח אותו.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x2+1x+3f(x) = \frac{x^2+1}{x+3}. מהי האסימפטוטה האנכית שלה? (ערך xx)

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

x+3=0⇒x=−3\begin{aligned}x + 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס

(−3)2+1=10≠0(-3)^2 + 1 = 10 \ne 0

המונה לא מתאפס שם

האסימפטוטה האנכית היא x=−3x = -3.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=xx−2f(x) = \frac{x}{x-2}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. −2x−2\frac{-2}{x-2}
  2. −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}
  3. 2(x−2)2\frac{2}{(x-2)^2}
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: B −2(x−2)2\frac{-2}{(x-2)^2}

Worked solution:

f′(x)=1⋅(x−2)−x⋅1(x−2)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - x \cdot 1}{(x-2)^2}
=−2(x−2)2= \frac{-2}{(x-2)^2}

החלפת הסדר במונה נותנת +2+2, ושכחת הריבוע נותנת −2x−2\frac{-2}{x-2}. 11 מתקבל מגזירת המונה והמכנה בנפרד.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

נתונה f(x)=x2+16xf(x) = \frac{x^2+16}{x}. מהו ערך ה-yy של נקודת המינימום המקומי שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=2x⋅x−(x2+16)x2=x2−16x2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x \cdot x - (x^2+16)}{x^2} \\ &= \frac{x^2 - 16}{x^2}\end{aligned}
x2−16=0⇒x=±4\begin{aligned}x^2 - 16 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 4\end{aligned}
f(4)=324=8\begin{aligned}f(4) &= \frac{32}{4} \\ &= 8\end{aligned}

מהסימן: יורדת לפני 4 ועולה אחריו

ב-x=−4x = -4 יש מקסימום מקומי, f(−4)=−8f(-4) = -8 — נמוך מהמינימום, כי הם בשני ענפים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x−1x+1f(x) = \frac{x-1}{x+1}. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.125

Worked solution:

f′(x)=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{2}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(3)=216=0.125\begin{aligned}f'(3) &= \frac{2}{16} \\ &= 0.125\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 6

הפונקציה f(x)=x+2x−3f(x) = \frac{x+2}{x-3} יורדת בכל אחד משני הענפים שלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=(x−3)−(x+2)(x−3)2=−5(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-3) - (x+2)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-5}{(x-3)^2}\end{aligned}
−5<0 , (x−3)2>0-5 < 0 \ , \ (x-3)^2 > 0

המונה שלילי, המכנה חיובי

הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה — אין נקודות קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 7

חקלאי בעמק יזרעאל מגדר חלקה מלבנית בשטח 800 מ״ר, צמודה לנחל. לאורך הנחל לא מגדרים. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

xy=800⇒y=800x\begin{aligned}xy &= 800 \Rightarrow y \\ &= \frac{800}{x}\end{aligned}

xx — הצלע הניצבת לנחל

L(x)=2x+800xL(x) = 2x + \frac{800}{x}

שתי צלעות ניצבות וצלע אחת מקבילה

L′(x)=2−800x2=0⇒x=20\begin{aligned}L'(x) &= 2 - \frac{800}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 20\end{aligned}
L(20)=40+40=80\begin{aligned}L(20) &= 40 + 40 \\ &= 80\end{aligned}

L′L' שלילית לפני 20 וחיובית אחריו — מינימום.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

שני מספרים חיוביים xx ו-yy מקיימים x+y=12x + y = 12. מהו הערך הגדול ביותר של המכפלה x2yx^2 y?

Show the answer and the solution

Answer: 256

Worked solution:

f(x)=x2(12−x)=12x2−x3\begin{aligned}f(x) &= x^2(12 - x) \\ &= 12x^2 - x^3\end{aligned}

האילוץ מחסל משתנה

f′(x)=24x−3x2=3x(8−x)=0\begin{aligned}f'(x) &= 24x - 3x^2 \\ &= 3x(8 - x) \\ &= 0\end{aligned}
x=8⇒f(8)=64⋅4=256\begin{aligned}x &= 8 \Rightarrow f(8) \\ &= 64 \cdot 4 \\ &= 256\end{aligned}

f′f' חיובית לפני 8 ושלילית אחריו

המספרים הם 88 ו-44. הפעם הסימטריה לא מנצחת: 62⋅66^2 \cdot 6 היה נותן 216216 בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x2−2x+4x−2f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}. מהו ערך ה-yy של נקודת המקסימום המקומי שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f′(x)=(2x−2)(x−2)−(x2−2x+4)(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-2) - (x^2-2x+4)}{(x-2)^2}

כלל המנה

=x2−4x(x−2)2= \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2}
x(x−4)=0⇒x=0  x=4\begin{aligned}x(x-4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}
f(0)=4−2=−2\begin{aligned}f(0) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

עולה לפני 0 ויורדת אחריו

ב-x=4x = 4 יש מינימום, f(4)=6f(4) = 6. האסימפטוטה x=2x = 2 מפרידה בין שני הענפים.

Check the answer on elev

Exercise 10

בונים קופסה פתוחה (בלי מכסה) שאורך בסיסה שווה לרוחב בסיסה, ונפחה 32 סמ״ק. מהו שטח הפנים הקטן ביותר של הקופסה (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

x2h=32⇒h=32x2\begin{aligned}x^2 h &= 32 \Rightarrow h \\ &= \frac{32}{x^2}\end{aligned}

xx — צלע הבסיס, hh — הגובה

S(x)=x2+4xh=x2+128x\begin{aligned}S(x) &= x^2 + 4xh \\ &= x^2 + \frac{128}{x}\end{aligned}

בסיס אחד וארבע דפנות

S′(x)=2x−128x2=0⇒x3=64\begin{aligned}S'(x) &= 2x - \frac{128}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x^3 \\ &= 64\end{aligned}
x=4⇒S(4)=16+32=48\begin{aligned}x &= 4 \Rightarrow S(4) \\ &= 16 + 32 \\ &= 48\end{aligned}

S′S' שלילית לפני 4 וחיובית אחריו — מינימום. הגובה יוצא 22 ס״מ.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade