Quotient rule

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כדי לחקור פונקציה רציונלית צריך לגזור מנה של שתי פונקציות. יש לזה נוסחה אחת, והיא שווה שינון בקול רם:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

המונה: נגזרת-העליון כפול התחתון, פחות העליון כפול נגזרת-התחתון. המכנה: התחתון בריבוע.

שני דברים שאסור לשכוח: הסדר במונה חשוב — יש שם מינוס, והחלפה הורסת את הסימן; והמכנה תמיד חיובי (v2v^2), ולכן סימן הנגזרת נקבע במונה בלבד. העובדה הזאת תחסוך המון עבודה בחקירה.

דוגמה מלאה

נגזור את f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}.

u=2x+1 u′=2v=x−3 v′=1\begin{aligned}u &= 2x+1 \\ \ u' &= 2 \\ \quad v &= x-3 \\ \ v' &= 1\end{aligned}

מסדרים את ארבעת החלקים לפני הכול

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)⋅1(x−3)2f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2}
=2x−6−2x−1(x−3)2=−7(x−3)2= \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}

שימו לב: המינוס נכנס לשני האיברים של הסוגריים

מה אפשר לומר על ff מהתוצאה f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2}?

Show the answer and the solution

המכנה חיובי תמיד והמונה שלילי קבוע — הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה, ולכן ff יורדת בכל אחד משני הענפים שלה. אין נקודות קיצון.

מהי f′(4)f'(4)?

Show the answer and the solution

f′(4)=−7(4−3)2=−7f'(4) = \frac{-7}{(4-3)^2} = -7.

שלוש הטעויות של נגזרת המנה.

(uv)′=u′v′\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

מנת הנגזרות איננה נגזרת המנה — כמו שמנת הריבועים איננה ריבוע המנה.

uv′−u′vv2\frac{uv' - u'v}{v^2}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

הסדר הפוך הופך את הסימן של כל הנגזרת — עלייה תיראה ירידה.

2x−6−2x+12x - 6 - 2x + 1
2x−6−2x−12x - 6 - 2x - 1

המינוס שלפני uv′uv' מוכפל בכל האיברים. סוגריים לפני הפתיחה — תמיד.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. מהי f′(4)f'(4)?

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)(x−3)2=−7(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-7}{(x-3)^2}\end{aligned}
f′(4)=−71=−7\begin{aligned}f'(4) &= \frac{-7}{1} \\ &= -7\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2}. מהי f′(0)f'(0)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

f′(x)=(x+2)−x(x+2)2=2(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2) - x}{(x+2)^2} \\ &= \frac{2}{(x+2)^2}\end{aligned}
f′(0)=24=0.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=3x−1x+1f(x) = \frac{3x-1}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=3(x+1)−(3x−1)(x+1)2=4(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3(x+1) - (3x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{4}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(1)=44=1\begin{aligned}f'(1) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 4

לפונקציה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3} עם f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2} — כמה נקודות קיצון?

  1. אחת
  2. שתיים
  3. תלוי בתחום
  4. אף אחת
Show the answer and the solution

Answer: D אף אחת

Worked solution:

f′(x)<0 לכל x≠3f'(x) < 0 \ \text{לכל } x \ne 3

המונה קבוע ושלילי, המכנה חיובי

נגזרת שאינה מתאפסת אף פעם — אין חשודות לקיצון. הפונקציה יורדת בכל ענף.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי f′(2)f'(2)?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=4−41=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{4 - 4}{1} \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

Check the answer on elev

Exercise 6

באותה פונקציה: בנוסף ל-x=2x=2, באיזה xx נוסף מתאפסת הנגזרת?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2−2x=x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 - 2x &= x(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}
x=0 או x=2\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 7

מדוע סימן הנגזרת של מנה נקבע במונה בלבד?

  1. כי המכנה בריבוע ולכן חיובי
  2. כי המכנה מצטמצם
  3. זה לא נכון
  4. כי המונה גדול יותר
Show the answer and the solution

Answer: A כי המכנה בריבוע ולכן חיובי

Worked solution:

v2>0 לכל v≠0v^2 > 0 \ \text{לכל } v \ne 0

מה שחיובי תמיד אינו משפיע על סימן — נשאר לבדוק רק את המונה. חצי מטבלת הסימנים נחסך.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה f(x)=4x2+1f(x) = \frac{4}{x^2+1}. מהי f′(1)f'(1)?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f′(x)=0⋅(x2+1)−4⋅2x(x2+1)2=−8x(x2+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x^2+1) - 4 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-8x}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

נגזרת של קבוע — אפס

f′(1)=−84=−2\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 9

משיק לגרף f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2} בנקודה x=0x = 0 — מהו שיפועו? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

m=f′(0)=0.5\begin{aligned}m &= f'(0) \\ &= 0.5\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x+3}{x-1}. פתרו f′(2)=?f'(2) = ?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

f′(x)=(x−1)−(x+3)(x−1)2=−4(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-1) - (x+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-4}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=−41=−4\begin{aligned}f'(2) &= \frac{-4}{1} \\ &= -4\end{aligned}
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade