Analyzing a rational function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חקירה מלאה היא מסלול קבוע, ותמיד באותו סדר: תחום הגדרה (איפה המכנה מתאפס), אסימפטוטות, נגזרת ונקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה. נחקור יחד את f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1} מההתחלה עד הסוף.

שלב 1+2 — תחום ואסימפטוטה

המכנה קובע הכול.

x−1=0 ⇒ x≠1x - 1 = 0 \ \Rightarrow \ x \ne 1

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-1

x=1 אסימפטוטה אנכיתx = 1 \ \text{אסימפטוטה אנכית}

המונה שם 1≠01 \ne 0 — הגרף בורח לאינסוף

שלב 3 — נגזרת ונקודות חשודות

גוזרים לפי כלל המנה.

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי — רק המונה קובע

f(0)=0f(2)=41=4\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \qquad f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

שתי הנקודות: (0,0)(0,0) ו-(2,4)(2,4)

שלב 4 — טבלת סימנים. המונה x(x−2)x(x-2) חיובי מחוץ לקטע [0,2][0,2] ושלילי בתוכו. לכן ff עולה עד 0, יורדת בין 0 ל-2 (בדילוג על האסימפטוטה ב-1), ועולה שוב אחרי 2. מכאן: (0,0)(0,0) — מקסימום מקומי, (2,4)(2,4) — מינימום מקומי.

איך ייתכן שהמקסימום (ערך 0) נמוך מהמינימום (ערך 4)?

Show the answer and the solution

כי הם בשני ענפים שונים, משני צידי האסימפטוטה x=1x=1. «מקסימום מקומי» אומר גבוה מהשכנים — לא גבוה מכל הפונקציה. האסימפטוטה מפרידה בין שני עולמות.

מהי נקודת החיתוך של ff עם הצירים?

Show the answer and the solution

מציבים x=0x=0: הנקודה (0,0)(0,0) — הגרף עובר בראשית, וזו גם נקודת המקסימום.

הטעויות שחוזרות בכל חקירה.

x=1 נקודת קיצוןx = 1 \ \text{נקודת קיצון}
x=1 ∉ תחום ההגדרהx = 1 \ \notin \ \text{תחום ההגדרה}

האסימפטוטה איננה קיצון — הפונקציה בכלל לא מוגדרת שם. בטבלת הסימנים היא קו כפול שאסור לדלג עליו בלי לציין.

f′′(x) כדי לסווגf''(x) \ \text{כדי לסווג}
טבלת סימנים של f′\text{טבלת סימנים של } f'

בפונקציה רציונלית טבלת הסימנים קצרה ובטוחה יותר מנגזרת שנייה — פחות גזירות, פחות טעויות.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי האסימפטוטה האנכית? (ערך xx)

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

והמונה שם שונה מאפס

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה פונקציה: כמה נקודות קיצון יש לה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=x(x−2)(x−1)2=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \\ &= 0\end{aligned}
x=0 x=2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

ושתיהן מחליפות סימן

Check the answer on elev

Exercise 3

באותה פונקציה: מהו ערך ה-yy של המינימום המקומי?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(2)=42−1=4\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{2-1} \\ &= 4\end{aligned}

המינימום בענף הימני

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה g(x)=x2x+2g(x) = \frac{x^2}{x+2}. באילו ערכי xx מתאפסת הנגזרת? כתבו את הערך השלילי.

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

g′(x)=2x(x+2)−x2(x+2)2=x2+4x(x+2)2\begin{aligned}g'(x) &= \frac{2x(x+2) - x^2}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2}\end{aligned}
x(x+4)=0⇒x=0 x=−4\begin{aligned}x(x + 4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -4\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 5

באותה gg: מהו ערך הפונקציה ב-x=−4x = -4?

Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

g(−4)=16−2=−8\begin{aligned}g(-4) &= \frac{16}{-2} \\ &= -8\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 6

בחקירת f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}, המקסימום המקומי (0,0)(0,0) נמוך מהמינימום (2,4)(2,4). מה ההסבר?

  1. המקסימום תמיד נמוך
  2. טעות בחישוב
  3. כך קורה בכל פונקציה
  4. הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה
Show the answer and the solution

Answer: D הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה

Worked solution:

x=1x = 1

בין 0 ל-2 עוברת האסימפטוטה

«מקומי» משווה לשכנים בלבד. שני הענפים לא מתחרים זה בזה — האסימפטוטה חוצצת.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה h(x)=x+1x−2h(x) = \frac{x+1}{x-2}. כמה נקודות קיצון יש לה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

h′(x)=(x−2)−(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2\begin{aligned}h'(x) &= \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-2)^2}\end{aligned}
h′<0 תמידh' < 0 \ \text{תמיד}

אין התאפסות — אין קיצון

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו הסדר הנכון של חקירה?

  1. נגזרת ואז תחום
  2. טבלת סימנים ואז נגזרת
  3. הסדר לא משנה
  4. תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים
Show the answer and the solution

Answer: D תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים

Worked solution:

תחום→אסימפטוטות→f′→סימנים\text{תחום} \to \text{אסימפטוטות} \to f' \to \text{סימנים}

מי שגוזר לפני שמצא את התחום עלול «למצוא» קיצון בנקודה שאינה קיימת.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהו שיפוע המשיק בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

f′(3)=9−6(3−1)2=34=0.75\begin{aligned}f'(3) &= \frac{9 - 6}{(3-1)^2} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 10

באותה פונקציה: על הקטע 0<x<10 < x < 1 — האם ff עולה (כתבו 1) או יורדת (כתבו -1)?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x(x−2)<0 עבור 0<x<2x(x-2) < 0 \ \text{עבור } 0 < x < 2

המונה שלילי בקטע

f′<0⇒יורדתf' < 0 \Rightarrow \text{יורדת}
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade