Optimization problems · Differential calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

«לחקלאי 40 מטר גדר, והוא רוצה לגדר מגרש מלבני צמוד לקיר — מה השטח הגדול ביותר?» שאלת קיצון היא תמיד אותו מחול בארבעה צעדים: משתנה → פונקציה → נגזרת → בדיקה. הקושי אינו בגזירה — הוא בתרגום.

המגרש ליד הקיר

נסמן ב- $x$ את הצלע הניצבת לקיר. הקיר חוסך את הצלע הרביעית.

\begin{aligned}2x + y &= 40 \ \Rightarrow \ y \\ &= 40 - 2x\end{aligned}

אילוץ הגדר — ממנו מחלצים את $y$

\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

השטח כפונקציה של משתנה אחד

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

מטרים רבועים — עם $y = 20$

איך יודעים ש- $x = 10$ הוא מקסימום ולא מינימום?

Show the answer and the solution

$S'(x) = 40 - 4x$ חיובית לפני 10 ושלילית אחריו — עלייה ואז ירידה, פסגה. אפשר גם לראות ש- $S$ היא פרבולה עם מקדם שלילי ל- $x^2$ .

שימו לב לצעד שהופך תלמידים רבים: בפונקציה $S = xy$ יש שני משתנים, וגוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ — משפט הגדר, הסכום הנתון, ההיקף — הוא בדיוק הכלי שמחסל משתנה אחד. בלעדיו אין בעיה פתירה.

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מתי מכפלתם מרבית?

Show the answer and the solution

$P(x) = x(20-x)$ , $P' = 20 - 2x = 0$ , $x = 10$ . שני המספרים שווים — 10 ו-10 — והמכפלה 100. זו תבנית שחוזרת: סימטריה מנצחת.

איפה נופלים בבעיות קיצון.

\begin{aligned}S &= xy \\ \ \frac{dS}{dx} &= y\end{aligned}

S(x) = x(40 - 2x)

אסור לגזור לפני שנשאר משתנה אחד — $y$ תלוי ב- $x$ ואינו קבוע.

x = 10 \ \text{היא התשובה}

S(10) = 200 \ \text{היא התשובה}

לקרוא את השאלה עד הסוף: ביקשו את השטח, לא את $x$ . שאלה על ערך — עונים בערך.

Exercises

Exercise 1

לחקלאי 40 מטר גדר למגרש מלבני צמוד לקיר (שלוש צלעות). מהו השטח המרבי (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

S(x) = x(40 - 2x)

\begin{aligned}S' &= 40 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

S(10) = 200

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה בעיה: מהו אורך הצלע המקבילה לקיר במצב המרבי?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 40 - 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}

Check the answer on elev

Exercise 3

סכום שני מספרים חיוביים 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

P(x) = x(20 - x)

\begin{aligned}P' &= 20 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

10 \cdot 10 = 100

Check the answer on elev

Exercise 4

סכום שני מספרים חיוביים 16, ומחפשים שסכום ריבועיהם יהיה הקטן ביותר. מהו הסכום המזערי?

Show the answer and the solution

Answer: 128

Worked solution:

Q(x) = x^2 + (16 - x)^2

\begin{aligned}Q' &= 2x - 2(16 - x) \\ &= 4x - 32 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 8 \\ \ Q(8) &= 64 + 64 \\ &= 128\end{aligned}

שוב הסימטריה

Check the answer on elev

Exercise 5

מהיקף 24 ס״מ בונים מלבן. מהו השטח המרבי (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}x + y &= 12 \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}

\begin{aligned}S' &= 12 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

S = 36

ריבוע — תמיד ריבוע

Check the answer on elev

Exercise 6

בבעיית קיצון הגענו ל- $S = xy$ עם האילוץ $x + y = 12$ . מה הצעד הבא?

לגזור לפי שני המשתנים
לחלץ $y$ מהאילוץ ולהציב
לנחש ערכים
לגזור לפי $x$ מיד

Show the answer and the solution

Answer: B לחלץ $y$ מהאילוץ ולהציב

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 12 - x \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}

גוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ קיים בדיוק בשביל לחסל את המשתנה השני.

Check the answer on elev

Exercise 7

מנייר בגודל 20 על 20 ס״מ גוזרים ריבועים בפינות בצלע $x$ ומקפלים לקופסה. הנפח $V(x) = x(20-2x)^2$ . מהי $x$ שנותנת נפח מרבי? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 3.33

Worked solution:

V' = (20-2x)^2 + x \cdot 2(20-2x)(-2)

= (20-2x)(20 - 6x) = 0

\begin{aligned}x &= \frac{20}{6} \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

הפתרון $x=10$ נותן נפח אפס

Check the answer on elev

Exercise 8

נקודה נעה על הישר $y = 10 - x$ . מהו המרחק הריבועי הקטן ביותר שלה מהראשית? ( $d^2$ )

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

d^2(x) = x^2 + (10 - x)^2

\begin{aligned}(d^2)' &= 4x - 20 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

Check the answer on elev

Exercise 9

מבין כל המלבנים ששטחם 36 סמ״ר — מהו ההיקף הקטן ביותר (בס״מ)?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

P(x) = 2x + \frac{72}{x}

עם $y = \frac{36}{x}$

\begin{aligned}P' &= 2 - \frac{72}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}P &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}

הריבוע מנצח גם הפוך

Check the answer on elev

Exercise 10

מצאנו נקודה חשודה $x_0$ עם $f'(x_0) = 0$ . מה עוד חובה לבדוק?

כלום — סיימנו
שהפונקציה רציפה
שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה
רק ש- $x_0$ חיובי

Show the answer and the solution

Answer: C שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה

Worked solution:

f' > 0 \to f' < 0

פסגה ; ולקרוא מה נשאל — $x$ או הערך

התאפסות הנגזרת היא חשד, לא הרשעה. ואחרי ההרשעה — לוודא שעונים על מה ששאלו.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev