Solving together · Equation of a circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות: מעגל המשיק לציר עם משיק ושטח, מרכז על ציר וזווית היקפית, ישר שחותך מעגל, ודלתון שנבנה על מיתר. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ומתחתיה מחכה שאלה תאומה לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל סעיף שאלו: צריך מרכז ורדיוס, הצבה או שיפוע? כמעט כל סעיף בשאלת מעגל הוא אחד משלושת הכלים האלה.

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח

המשיק בנקודה

A

חותך את ציר ה-

x

בנקודה

C

Interactive activity

מרכז המעגל הוא $M(3,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . א. מצאו את משוואת המעגל. ב. המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). מצאו אותן. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ . ד. המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

\begin{aligned}M(3,\,5) \\ \quad R &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה «משיק לציר ה- $x$ » היא נתון: היא נותנת את הרדיוס.

א. רדיוס

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$ : הרדיוס שווה לגובה המרכז.

א.

(x-3)^2+(y-5)^2=25

המשוואה הקנונית.

ב.

\begin{aligned}9+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 9 \\ \ y &= 1\end{aligned}

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$ . לכן $A(0,\,9)$ ו- $B(0,\,1)$ .

ג. רדיוס

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{0-3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס אל נקודת ההשקה.

ג.

\begin{aligned}m &= \frac{3}{4} \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, והוא עובר דרך $A(0,9)$ .

ד. הנקודה

0=\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ C(-12,\,0)

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$ .

ד. שטח

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot |x_C|}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 12}{2} \\ &= 48\end{aligned}

הבסיס $AB$ על ציר ה- $y$ , והגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ .

הסעיף הראשון נפתר בלי אף חישוב: «משיק לציר» הוא הנתון שנותן את $R$ .

Do the activity on elev

היכן המעגל נוגע בציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

בנקודה $(3,\,0)$ , ישירות מתחת למרכז. הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך לציר, ולכן הוא אנכי.

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

BD

קוטר, ו-

A

נמצאת על המעגל.

Interactive activity

מרכז על ציר ה- $x$

מעגל עובר דרך $A(-1,\,4)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $x$ . א. מצאו את $M$ ואת $R^2$ . ב. $BD$ קוטר במעגל. מצאו את $D$ . ג. הראו שהזווית $BAD$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABD$ .

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=20$

$M(2,\,3)$ , $D(-1,\,4)$ , $S=20$

$M(1,\,0)$ , $D(-5,\,-2)$ , $S=40$

$M(1,\,0)$ , $D(-3,\,-2)$ , $S=40$

מה כותבים על המרכז?

$M(a,\,0)$ ו- $MA^2=MB^2$

Show the answer and the solution

המרכז על ציר ה- $x$ , והוא במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל.

$M$ הוא אמצע $AB$

Show the answer and the solution

זה נכון רק אם $AB$ קוטר, וזה לא נתון. האמצע $(2,3)$ אפילו אינו על ציר ה- $x$ .

(a+1)^2+16=(a-5)^2+4

נוסחת המרחק

מה נותנת המשוואה?

$a=1$ , ו- $R^2=20$

Show the answer and the solution

$2a+17=-10a+29$ , ולכן $12a=12$ .

$a=1$ , ו- $R^2=16$

Show the answer and the solution

$R^2=MA^2=(-1-1)^2+4^2=4+16=20$ .

\begin{aligned}M(1,\,0) \\ \quad R^2 &= 20\end{aligned}

בדיקה עם $B$ : $16+4=20$ ✓

$BD$ קוטר. איך מוצאים את $D$ ?

$M$ הוא אמצע $BD$

Show the answer and the solution

מרכז המעגל הוא אמצע כל קוטר.

$D$ היא הנקודה הנגדית ל- $B$ ביחס לראשית

Show the answer and the solution

השיקוף הוא ביחס למרכז $M(1,0)$ , לא ביחס לראשית.

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 1-5,\ 2 \cdot 0-2) \\ &= (-3,\,-2)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

איך מראים שהזווית $BAD$ ישרה?

היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר $BD$

Show the answer and the solution

זה המשפט. בדיקה בשיפועים: $m_{AB} \cdot m_{AD}=-\frac{1}{3} \cdot 3=-1$ .

צריך למדוד בשרטוט

Show the answer and the solution

שרטוט אינו הוכחה. משפט או שיפועים.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2-4}{5+1} \\ &= -\frac{1}{3} \\ \quad m_{AD} &= \frac{-2-4}{-3+1} \\ &= 3\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$

מהו השטח?

$\frac{AB \cdot AD}{2}$

Show the answer and the solution

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $AB$ ו- $AD$ הם בסיס וגובה.

$\frac{BD \cdot AB}{2}$

Show the answer and the solution

$BD$ אינו מאונך ל- $AB$ .

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים

Show the answer and the solution

$M(1,0)$ , $D(-3,-2)$ , $S=20$ . מי שקיבל $S=40$ שכח לחלק ב- $2$ . $40$ הוא השטח של המלבן שכל ארבעת קודקודיו על המעגל.

Do the activity on elev

איזו נקודה $C$ על המעגל משלימה את $ABD$ למלבן $ABCD$ , ומה שטח המלבן?

Show the answer and the solution

$AC$ צריך להיות קוטר, ולכן $C=2M-A=(3,\,-4)$ . בדיקה: $4+16=20$ ✓. שטח המלבן הוא פעמיים שטח המשולש: $40$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

Interactive activity

נתון המעגל $x^2+y^2-4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+4$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס. ב. מצאו את $A$ ואת $B$ . ג. הראו שהזווית $AMB$ ישרה. ד. מצאו את שטח המשולש $AMB$ . ה. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

\begin{aligned}x^2+y^2-4x-2y-20 &= 0 \\ \quad y &= x+4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משוואה כללית: קודם השלמה לריבוע.

א.

(x-2)^2+(y-1)^2=25

השלמה לריבוע: $20+4+1=25$ . $M(2,1)$ , $R=5$ .

ב. הצבה

\begin{aligned}(x-2)^2+(x+3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+x-6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y=x+4$ , ולכן $y-1=x+3$ .

ב.

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ x &= -3 \ \Rightarrow \ A(2,\,6) \\ \ B(-3,\,1)\end{aligned}

מציבים במשוואת הישר.

ג.

\begin{aligned}MA: \ x &= 2 \qquad MB: \ y \\ &= 1\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי, ולכן הם מאונכים.

ד.

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot MB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

שני הניצבים הם רדיוסים.

ה.

y=6

הרדיוס $MA$ אנכי, והמשיק מאונך לו בנקודת ההשקה, ולכן אופקי.

בסעיפים ג ו-ה אין חישוב שיפוע: כשרדיוס אנכי או אופקי, רואים את הניצבות ישר מהשיעורים.

Do the activity on elev

מה אורך המיתר $AB$ , ולמה אפשר לחשב אותו בלי נוסחת המרחק?

Show the answer and the solution

המשולש $AMB$ ישר זווית ושווה שוקיים, עם ניצבים באורך $5$ . לפי משפט פיתגורס, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

Interactive activity

מרובע על מיתר

הישר $y=-1$ חותך את המעגל $(x+1)^2+(y-2)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(-1,\,-7)$ . א. מצאו את $A$ ואת $C$ . ב. קבעו את סוג המרובע $MABC$ . ג. מצאו את שטחו.

דלתון, $S=36$

מעוין, $S=36$

דלתון, $S=72$

מקבילית, $S=36$

איך מוצאים את $A$ ואת $C$ ?

מציבים $y=-1$ במשוואת המעגל

Show the answer and the solution

הנקודות על הישר ועל המעגל.

מציבים $x=-1$ במשוואת המעגל

Show the answer and the solution

הישר הוא $y=-1$ : הערך הקבוע הוא של $y$ .

\begin{aligned}(x+1)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ A(-5,\,-1) \\ \ C(3,\,-1)\end{aligned}

$(x+1)^2=16$

מה אפשר לומר על $MA$ ועל $MC$ ?

$MA=MC=5$

Show the answer and the solution

שניהם רדיוסים.

$MA=MC=8$

Show the answer and the solution

$8$ הוא אורך המיתר $AC$ , לא הרדיוס.

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= R \\ &= 5\end{aligned}

רדיוסים באותו מעגל

ומה עם $BA$ ו- $BC$ ?

$BA=BC=\sqrt{52}$

Show the answer and the solution

$B$ על האנך האמצעי $x=-1$ של $AC$ .

$BA=BC=5$

Show the answer and the solution

$BA^2=4^2+6^2=52$ , לא $25$ .

\begin{aligned}BA^2 &= 4^2+6^2 \\ &= 52 \\ &= BC^2\end{aligned}

נוסחת המרחק

איזה מרובע זה?

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

Show the answer and the solution

$MA=MC$ ו- $BA=BC$ , אבל $5 \neq \sqrt{52}$ , ולכן לא מעוין.

מעוין

Show the answer and the solution

במעוין כל ארבע הצלעות שוות.

\begin{aligned}MA &= MC \neq BA \\ &= BC\end{aligned}

הגדרת הדלתון

איך מחשבים את השטח?

חצי מכפלת האלכסונים $AC$ ו- $MB$

Show the answer and the solution

בדלתון האלכסונים מאונכים. כאן $AC$ אופקי ו- $MB$ אנכי.

מכפלת האלכסונים

Show the answer and the solution

שוכח את החצי.

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot MB}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 9}{2} \\ &= 36\end{aligned}

$AC=8$ , $MB=2-(-7)=9$

Show the answer and the solution

דלתון, $S=36$ . מי שענה $72$ שכח לחלק ב- $2$ , ומי שענה «מעוין» לא בדק שהרדיוס שונה מ- $BA$ .

Do the activity on elev

האם $B$ נמצאת על המעגל?

Show the answer and the solution

לא. $MB=9>5=R$ , ולכן $B$ מחוץ למעגל. הזווית $MAB$ אינה ישרה, ולכן $BA$ אינו משיק: $m_{MA} \cdot m_{BA}=\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \neq -1$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

מרכז המעגל הוא $M(4,\,5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . השלימו.

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$ , $x_C=$ ____ , $S_{ABC}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $A(0,$ 8 $)$ , $B(0,$ 2 $)$ , $x_C=$ -6 , $S_{ABC}=$ 18

Worked solution:

\begin{aligned}R &= 5 \\ \quad 16+(y-5)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ y \\ &= 8 \\ \ y &= 2\end{aligned}

משיק לציר ה- $x$ : $R=|b|$ . ואז מציבים $x=0$

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8-5}{0-4} \\ &= -\frac{3}{4} \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y &= \frac{4}{3}x+8 \ \Rightarrow \ x_C \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $y=0$

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 6}{2} \\ &= 18\end{aligned}

בסיס $AB=6$ על ציר ה- $y$ , גובה $|x_C|=6$

בסעיף השטח, הגובה הוא $|x_C|=6$ ולא $-6$ : אורך אינו שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 2

מעגל עובר דרך $A(-2,\,1)$ ו- $B(4,\,-1)$ , ומרכזו $M$ על ציר ה- $y$ . $BD$ קוטר במעגל. השלימו.

$M(0,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____ , $D($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{ABD}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M(0,$ -3 $)$ , $R^2=$ 20 , $D($ -4 $,$ -5 $)$ , $S_{ABD}=$ 20

Worked solution:

\begin{aligned}4+(b-1)^2 &= 16+(b+1)^2 \ \Rightarrow \ -2b+5 \\ &= 2b+17 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3\end{aligned}

$MA^2=MB^2$ עם $M(0,b)$

\begin{aligned}R^2 &= 4+16 \\ &= 20\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}D &= (0-4,\ -6+1) \\ &= (-4,\,-5)\end{aligned}

$M$ אמצע הקוטר $BD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 90^\circ \\ \quad AB &= AD \\ &= \sqrt{40} \ \Rightarrow \ S \\ &= 20\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

בדיקת הזווית בשיפועים: $m_{AB}=-\frac{1}{3}$ ו- $m_{AD}=3$ . מי שחישב את $D$ כ- $(-4,1)$ שיקף את $B$ ביחס לראשית ולא ביחס למרכז.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המעגל $x^2+y^2+2x-6y-15=0$ , שמרכזו $M$ . הישר $y=x+9$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $x_A>x_B$ ). השלימו.

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$ , $S_{AMB}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $A($ -1 $,$ 8 $)$ , $B($ -6 $,$ 3 $)$ , $S_{AMB}=$ 12.5

Worked solution:

(x+1)^2+(y-3)^2=25

השלמה לריבוע: $15+1+9=25$

\begin{aligned}(x+1)^2+(x+6)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2+7x+6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים $y-3=x+6$

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= -6 \ \Rightarrow \ A(-1,\,8) \\ \ B(-6,\,3)\end{aligned}

מציבים בישר

\begin{aligned}MA \perp MB \ \Rightarrow \ S &= \frac{5 \cdot 5}{2} \\ &= 12.5\end{aligned}

$MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי: הניצבים הם רדיוסים

המשיק בנקודה $A$ הוא $y=8$ , כי הרדיוס $MA$ אנכי. אם יצא לכם $S=25$ , שכחתם לחלק ב- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הישר $y=2$ חותך את המעגל $(x-3)^2+(y+1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $C$ ( $x_A<x_C$ ). $M$ מרכז המעגל, ו- $B(3,\,6)$ . המרובע $MABC$ הוא דלתון. השלימו.

$A($ ____ $,\,2)$ , $C($ ____ $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $A($ -1 $,\,2)$ , $C($ 7 $,\,2)$ , $S_{MABC}=$ 28

Worked solution:

\begin{aligned}(x-3)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

מציבים $y=2$

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= 5 \\ \quad BA^2 &= BC^2 \\ &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

רדיוסים, ונוסחת המרחק

\begin{aligned}AC &= 8 \\ \quad MB &= 6-(-1) \\ &= 7\end{aligned}

האלכסונים: $AC$ אופקי, $MB$ אנכי

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 7}{2} \\ &= 28\end{aligned}

שטח דלתון: חצי מכפלת האלכסונים המאונכים

האלכסון $MB$ עובר מהמרכז ועד $B$ , ולכן אורכו $7$ . הרדיוס $5$ אינו האלכסון.

Check the answer on elev

Exercise 5

מרכז המעגל הוא $(-5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $y$ . השלימו את הרדיוס ואת אורך המיתר שהמעגל חותך על ציר ה- $x$ .

$R=$ ____ , אורך המיתר: ____

Show the answer and the solution

Answer: $R=$ 5 , אורך המיתר: 6

Worked solution:

\begin{aligned}R &= |a| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $y$

\begin{aligned}(x+5)^2+16 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= -8\end{aligned}

על ציר ה- $x$ מציבים $y=0$

-2-(-8)=6

הפרש השיעורים

הרדיוס נקבע לפי המרחק מהציר המשיק, ציר ה- $y$ : $|a|=5$ . מי שלקח $R=4$ השתמש בציר הלא נכון.

Check the answer on elev

1 — מעגל המשיק לציר ה-xxx, משיק ושטח

2 — מרכז על ציר, קוטר וזווית היקפית

3 — ישר חותך מעגל: נקודות, זווית מרכזית ושטח

4 — מיתר, נקודה על האנך האמצעי, ואיזה מרובע

Exercises

Keep practising on elev

1 — מעגל המשיק לציר ה- $x$ , משיק ושטח