Circle, triangle and quadrilateral · Equation of a circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלושה יישובים נמצאים בנקודות $A(1,\,1)$ , $B(7,\,1)$ ו- $C(7,\,9)$ . המועצה רוצה להציב מגדל מים במרחק שווה משלושתם. המגדל צריך להיות במרכז של מעגל שעובר דרך שלוש הנקודות. הסתכלו על השרטוט: איפה המרכז?

הזווית

B

ישרה, והמרכז

M(4,\,5)

נמצא בדיוק באמצע היתר

AC

למה מרכז המעגל נמצא דווקא באמצע $AC$ ?

Show the answer and the solution

לפי המשפט: זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. הזווית $B$ ישרה, ולכן $AC$ קוטר, והמרכז הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{1+7}{2},\,\frac{1+9}{2}\right)=(4,\,5)$ . הרדיוס הוא $\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ .

מרכז על ישר נתון

כשהמשולש אינו ישר זווית, משתמשים במשפט אחר: כל נקודה על האנך האמצעי של $AB$ נמצאת במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ . לכן מרכז של מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ נמצא על האנך האמצעי. אם נתון עוד ישר שעליו נמצא המרכז, המרכז הוא נקודת החיתוך של שני הישרים.

מרכז על ישר נתון

מעגל עובר דרך $A(1,\,-2)$ ו- $B(5,\,2)$ , ומרכזו על הישר $y=x+1$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}N &= (3,\,0) \\ \quad m_{AB} &= \frac{2+2}{5-1} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפוע $AB$

\begin{aligned}y &= -(x-3) \\ &= -x+3\end{aligned}

האנך האמצעי: דרך $N$ , שיפוע $-1$

\begin{aligned}-x+3 &= x+1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון: $M(1,\,2)$

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= 0^2+4^2 \\ &= 16\end{aligned}

נוסחת המרחק

(x-1)^2+(y-2)^2=16

בדיקה עם $B$ : $16+0=16$ ✓

אם המרכז נתון על ציר ה- $y$ , איזו משוואה פשוטה יותר אפשר לכתוב במקום האנך האמצעי?

Show the answer and the solution

המרכז הוא $M(0,\,b)$ , ומשווים $MA^2=MB^2$ . ה- $b^2$ מצטמצם משני האגפים, ונשארת משוואה ממעלה ראשונה ב- $b$ .

מעגל, משולש ומרובע

בשאלה על מעגל בבגרות מופיעים כמעט תמיד גם משולש או מרובע. ארבעה כלים עונים על רוב הסעיפים:

m_1 \cdot m_2=-1

שיפועים: ניצבות, ולכן זווית ישרה. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

m_1=m_2

שיפועים: צלעות מקבילות

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

מרחקים: צלעות שוות, ורדיוסים שווים

S=\frac{a \cdot h}{2}

שטח: בסיס מקביל לציר, והגובה נקרא מהשיעורים

איזה מרובע זה?

במעגל $(x-4)^2+(y-5)^2=25$ מסמנים $A(1,1)$ , $B(7,1)$ , $C(7,9)$ ו- $D(1,9)$ . קבעו את סוג המרובע $ABCD$ ומצאו את שטחו.

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= \frac{B+D}{2} \\ &= (4,\,5) \\ &= M\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך המרכז: $AC$ ו- $BD$ קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים

ABCD \ \text{מלבן}

משפט: מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

\begin{aligned}S &= AB \cdot BC \\ &= 6 \cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

$AB$ אופקית ו- $BC$ אנכית

כל מלבן חסום במעגל, והאלכסונים שלו הם קטרים. לכן כששני קטרים נתונים, המרובע שקצותיהם יוצרים הוא תמיד מלבן. הוא ריבוע רק אם הקטרים גם מאונכים.

הטעויות של מעגל ומצולע.

M=\left(\frac{1+7+7}{3},\ \frac{1+1+9}{3}\right)

M=(4,\,5)

מרכז המעגל החוסם אינו ממוצע הקודקודים. זו נקודת מפגש התיכונים, ולא מרכז המעגל.

S=\frac{AB \cdot AC}{2}

S=\frac{AB \cdot BC}{2}

בנוסחת השטח הגובה מאונך לבסיס. $AC$ אינה מאונכת ל- $AB$ .

AC=BD \ \Rightarrow \ \text{ריבוע}

\begin{aligned}AC &= BD \\ \ AC \perp BD\end{aligned}

אלכסונים שווים וחוצים זה את זה נותנים מלבן. לריבוע צריך גם אלכסונים מאונכים.

Exercises

Exercise 1

הזווית $B$ במשולש $ABC$ ישרה: $A(-2,\,-1)$ , $B(4,\,-1)$ , $C(4,\,7)$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 1 $,$ 3 $)$ , $R=$ 5

Worked solution:

\angle B=90^\circ \ \Rightarrow \ AC \ \text{קוטר}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{-1+7}{2}\right) \\ &= (1,\,3)\end{aligned}

נוסחת האמצע

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10 \ \Rightarrow \ R \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק, וחצי קוטר

המרכז הוא אמצע היתר, לא אמצע אחד הניצבים. בדיקה: $MB^2=3^2+4^2=25$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 2

מעגל עובר דרך $A(-4,\,2)$ ו- $B(2,\,8)$ , ומרכזו על ציר ה- $y$ . מהו מרכז המעגל?

$M(-1,\,5)$
$M(0,\,5)$
$M(0,\,2)$
$M(0,\,4)$

Show the answer and the solution

Answer: D $M(0,\,4)$

Worked solution:

\begin{aligned}MA^2 &= MB^2 \ \\ \quad M(0,\,b)\end{aligned}

המרכז במרחקים שווים משתי נקודות על המעגל

16+(b-2)^2=4+(b-8)^2

נוסחת המרחק

\begin{aligned}-4b+20 &= -16b+68 \ \Rightarrow \ b \\ &= 4\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $M(0,4)$ , ו- $R^2=20$ . $(-1,5)$ הוא אמצע $AB$ , אבל הוא אינו על ציר ה- $y$ . $(0,5)$ לקח רק את ה- $y$ של האמצע.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $y=4$ חותך את המעגל $(x-2)^2+(y-1)^2=25$ בנקודות $A$ ו- $B$ . $M$ מרכז המעגל. מהו שטח המשולש $MAB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}(x-2)^2+9 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מציבים $y=4$

\begin{aligned}AB &= 6-(-2) \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס אופקי

\begin{aligned}h &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

הגובה: המרחק של $M(2,1)$ מהישר $y=4$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 3}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח משולש

הבסיס $AB$ מונח על ישר אופקי, ולכן הגובה הוא הפרש שיעורי ה- $y$ . אין צורך לחשב את $MA$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$A(-5,\,0)$ , $B(5,\,0)$ ו- $C(3,\,4)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{4}{-2} \\ &= -2\end{aligned}

השיפועים של שתי הצלעות

\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ניצבות

AB \ \text{קוטר}

גם בלי חישוב: $AB$ עובר דרך המרכז, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הטענה נכונה. כל נקודה על המעגל, מלבד $A$ ו- $B$ , רואה את הקוטר $AB$ בזווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 5

מעגל עובר דרך $A(-1,\,3)$ ו- $B(3,\,7)$ , ומרכזו על הישר $y=2x$ . מצאו את המרכז ואת $R^2$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 2 $,$ 4 $)$ , $R^2=$ 10

Worked solution:

\begin{aligned}N &= (1,\,5) \\ \quad m_{AB} &= 1\end{aligned}

אמצע $AB$ ושיפועו

y=-x+6

האנך האמצעי של $AB$ : כל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$

\begin{aligned}-x+6 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 4\end{aligned}

חיתוך עם $y=2x$

\begin{aligned}R^2 &= (2+1)^2+(4-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $(3-2)^2+(7-4)^2=1+9=10$ ✓. מי שהציב את האמצע $N$ בישר $y=2x$ הניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ , אבל $AB$ אינו קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 6

הנקודות $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ ו- $D(-2,\,2)$ נמצאות על מעגל שמרכזו $M(3,\,2)$ . מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
דלתון שאינו מעוין

Show the answer and the solution

Answer: C מלבן שאינו ריבוע

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{A+C}{2} &= (3,\,2) \\ \quad \frac{B+D}{2} &= (3,\,2)\end{aligned}

שני האלכסונים עוברים דרך $M$ : הם קטרים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 10\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה ושווים: מלבן

\begin{aligned}m_{AC} &= -\frac{4}{3} \\ \quad m_{BD} &= 0\end{aligned}

האלכסונים אינם מאונכים, ולכן זה אינו ריבוע

הנכונה: מלבן שאינו ריבוע. בדיקה: $m_{AB} \cdot m_{BC}=\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2=-1$ , זווית ישרה. אבל $AB=\sqrt{80} \neq BC=\sqrt{20}$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מה השטח של המרובע $ABCD$ מהשאלה הקודמת: $A(0,\,6)$ , $B(8,\,2)$ , $C(6,\,-2)$ , $D(-2,\,2)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2+4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \sqrt{80} \cdot \sqrt{20} \\ &= \sqrt{1600} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מלבן

מכפלת שני שורשים היא שורש המכפלה. מי שחישב $\frac{AC \cdot BD}{2}=50$ השתמש בנוסחה של מעוין, והיא נכונה רק כשהאלכסונים מאונכים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מעגל עובר דרך ראשית הצירים $O$ ודרך $A(8,\,0)$ ו- $B(0,\,6)$ . השלימו את משוואתו בצורה הכללית.

$x^2+y^2+$ ____ $x+$ ____ $y=0$

Show the answer and the solution

Answer: $x^2+y^2+$ -8 $x+$ -6 $y=0$

Worked solution:

\angle AOB=90^\circ \ \Rightarrow \ AB \ \text{קוטר}

הצירים מאונכים, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

\begin{aligned}M &= (4,\,3) \\ \quad R &= \frac{\sqrt{64+36}}{2} \\ &= 5\end{aligned}

אמצע הקוטר וחצי אורכו

\begin{aligned}(x-4)^2+(y-3)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16+y^2-6y+9 \\ &= 25\end{aligned}

פותחים סוגריים

x^2+y^2-8x-6y=0

אין איבר חופשי, כי המעגל עובר בראשית

מי שכתב $+8$ שכח שפתיחת $(x-4)^2$ נותנת $-8x$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

הנקודה $A(4,\,6)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ , שמרכזו $M$ . המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $B$ . מהו שטח המשולש $MAB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{3}{4} \\ \quad y &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

0=-\frac{3}{4}x+9 \ \Rightarrow \ B(12,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}MA &= 5 \\ \quad AB &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{MA \cdot AB}{2} \\ &= \frac{5 \cdot 10}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $A$ ישרה, ולכן $MA$ ו- $AB$ הם בסיס וגובה

הזווית הישרה של המשולש נמצאת ב- $A$ , בגלל המשיק. לכן הניצבים הם $MA$ ו- $AB$ , ולא $MB$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

$AC$ ו- $BD$ הם שני קטרים שונים במעגל שמרכזו $M$ . הוכיחו: $ABCD$ מלבן.

$AC$ קוטר
$BD$ קוטר
$M$ מרכז המעגל

$ABCD$ מלבן

Show the answer and the solution

$MA=MC$ ו- $MB=MD$ — רדיוסים באותו מעגל
$ABCD$ מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
$AC=BD$ — שני קטרים באותו מעגל, כל אחד שווה ל- $2R$
$ABCD$ מלבן — מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן

Worked solution:

\begin{aligned}MA &= MC \\ &= MB \\ &= MD \\ &= R\end{aligned}

רדיוסים

\begin{aligned}AC &= BD \\ &= 2R\end{aligned}

קטרים

ההוכחה אינה צריכה אף שיעור: שני קטרים תמיד יוצרים מלבן. בשאלה עם שיעורים מראים ששני האלכסונים עוברים דרך המרכז, ומשם זה אותו משפט.

Check the answer on elev

מרכז על ישר נתון

מעגל, משולש ומרובע

Exercises

Keep practising on elev