Tangent to a circle and a circle tangent to the axes

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גלגל של אופניים נוסע על כביש ישר. נסמן את הכביש כציר ה-xx. הגלגל נוגע בכביש בנקודה אחת בלבד, ישירות מתחת לציר של הגלגל. לכן גובה הציר מעל הכביש שווה לרדיוס. הסתכלו על השרטוט.

המרכז M(4, 3)M(4,\,3) נמצא בגובה 33 מעל ציר ה-xx, והרדיוס הוא 33. נקודת ההשקה T(4, 0)T(4,\,0) נמצאת ישירות מתחת למרכז.

מרכז של גלגל אחר נמצא ב-(6, 5)(6,\,5), והגלגל נוגע בכביש y=0y=0. מהו הרדיוס, והיכן נקודת ההשקה?

Show the answer and the solution

הרדיוס הוא הגובה של המרכז: R=5R=5. נקודת ההשקה (6, 0)(6,\,0), ישירות מתחת למרכז.

מעגל המשיק לצירים

R=∣b∣R=|b|

משיק לציר ה-xx. נקודת ההשקה (a, 0)(a,\,0)

R=∣a∣R=|a|

משיק לציר ה-yy. נקודת ההשקה (0, b)(0,\,b)

R=∣a∣=∣b∣\begin{aligned}R &= |a| \\ &= |b|\end{aligned}

משיק לשני הצירים. המרכז על אחד הישרים y=xy=x או y=−xy=-x

מעגל שרדיוסו 33 משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע השני. מהי משוואתו?

Show the answer and the solution

ברביע השני x<0x<0 ו-y>0y>0, ולכן המרכז (−3, 3)(-3,\,3). המשוואה: (x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9.

המשיק בנקודה על המעגל

משפט מהגאומטריה: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. בהנדסה אנליטית זה אומר שמכפלת השיפועים של הרדיוס ושל המשיק היא −1-1.

11

שיפוע הרדיוס: מהמרכז MM אל נקודת ההשקה AA

22

שיפוע המשיק: הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

33

משוואת ישר לפי השיפוע ולפי הנקודה AA

משוואת משיק

הנקודה A(4, 6)A(4,\,6) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

(4−1)2+(6−2)2=25 ✓(4-1)^2+(6-2)^2=25 \ \checkmark

בדיקה: AA על המעגל

mMA=6−24−1=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−6=−34(x−4) ⇒ y=−34x+9\begin{aligned}y-6 &= -\frac{3}{4}(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\frac{3}{4}x+9\end{aligned}

ישר דרך AA, לא דרך MM

הרדיוס MAMA והמשיק נפגשים בזווית ישרה בנקודה AA.

מקרה מיוחד: אם הרדיוס אנכי (ל-MM ול-AA אותו xx), המשיק אופקי: y=yAy=y_A. אם הרדיוס אופקי, המשיק אנכי: x=xAx=x_A. אין כאן שיפוע «הופכי» לחשב.

מהו המשיק למעגל (x+2)2+(y−1)2=16(x+2)^2+(y-1)^2=16 בנקודה (−2, 5)(-2,\,5)?

Show the answer and the solution

למרכז (−2,1)(-2,1) ולנקודה אותו xx, ולכן הרדיוס אנכי והמשיק אופקי: y=5y=5.

שלוש הטעויות של המשיק.

mMA=43 ⇒ m=−43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ m \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}
m=−34m=-\frac{3}{4}

להחליף סימן לא מספיק. ישר מאונך דורש גם הפוך וגם נגדי.

y−2=−34(x−1)y-2=-\frac{3}{4}(x-1)
y−6=−34(x−4)y-6=-\frac{3}{4}(x-4)

המשיק עובר דרך נקודת ההשקה AA, לא דרך המרכז MM.

M(3, 5) ⇒ R=∣a∣=3\begin{aligned}M(3,\,5) \ \Rightarrow \ R &= |a| \\ &= 3\end{aligned}
R=∣b∣=5\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

למעגל שמרכזו (3,5)(3,5) ומשיק לציר ה-xx, הרדיוס הוא המרחק מציר ה-xx: ∣b∣=5|b|=5. המרחק ∣a∣|a| שייך לציר ה-yy.

Exercises

Exercise 1

מרכז המעגל הוא (−4, 5)(-4,\,5), והמעגל משיק לציר ה-xx. מהי משוואת המעגל?

  1. (x−4)2+(y+5)2=25(x-4)^2+(y+5)^2=25
  2. (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25
  3. (x+4)2+(y−5)2=5(x+4)^2+(y-5)^2=5
  4. (x+4)2+(y−5)2=16(x+4)^2+(y-5)^2=16
Show the answer and the solution

Answer: B (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25

Worked solution:

R=∣b∣=5\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 5\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה-xx: הרדיוס שווה למרחק המרכז מהציר, שהוא הגובה

(x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25

מציבים

הנכונה: (x+4)2+(y−5)2=25(x+4)^2+(y-5)^2=25. R2=16R^2=16 מתאים למעגל המשיק לציר ה-yy. ו-55 באגף ימין שכח להעלות בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

המעגל (x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4 משיק לאחד הצירים. מצאו את נקודת ההשקה.

נקודת ההשקה: (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: נקודת ההשקה: (( 3 ,, 0 ))

Worked solution:

M(3, −2)R=2\begin{aligned}M(3,\,-2) \\ \quad R &= 2\end{aligned}

קוראים מהמשוואה

∣b∣=2=R\begin{aligned}|b| &= 2 \\ &= R\end{aligned}

המרחק מציר ה-xx שווה לרדיוס: משיק לציר ה-xx

∣a∣=3≠2|a|=3 \neq 2

ציר ה-yy רחוק מדי

(3, 0)(3,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מעל המרכז

המרכז מתחת לציר ה-xx, ולכן נקודת ההשקה נמצאת מעליו. בכל מקרה היא על הציר, ולכן y=0y=0.

Check the answer on elev

Exercise 3

מיינו את המעגלים: אילו מהם משיקים לציר ה-yy?

  • משיק לציר ה-yy
  • לא משיק לציר ה-yy
  • (x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9
  • (x−4)2+(y−4)2=4(x-4)^2+(y-4)^2=4
  • (x−5)2+(y−1)2=25(x-5)^2+(y-1)^2=25
  • (x+2)2+(y−7)2=4(x+2)^2+(y-7)^2=4
  • x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4
  • x2+y2−6x+4y+4=0x^2+y^2-6x+4y+4=0
Show the answer and the solution

Answer: (x−5)2+(y−1)2=25(x-5)^2+(y-1)^2=25 — משיק לציר ה-yy · (x+2)2+(y−7)2=4(x+2)^2+(y-7)^2=4 — משיק לציר ה-yy · x2+y2−6x+4y+4=0x^2+y^2-6x+4y+4=0 — משיק לציר ה-yy · (x−4)2+(y−4)2=4(x-4)^2+(y-4)^2=4 — לא משיק לציר ה-yy · (x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9 — לא משיק לציר ה-yy · x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4 — לא משיק לציר ה-yy

Worked solution:

R=∣a∣R=|a|

התנאי למעגל המשיק לציר ה-yy

x2+y2−6x+4y+4=0 ⇒ (x−3)2+(y+2)2=9\begin{aligned}x^2+y^2-6x+4y+4 &= 0 \ \Rightarrow \ (x-3)^2+(y+2)^2 \\ &= 9\end{aligned}

R=3=∣a∣R=3=|a|: משיק

(x−1)2+(y+3)2=9(x-1)^2+(y+3)^2=9

R=3=∣b∣R=3=|b|: משיק לציר ה-xx, לא לציר ה-yy

ב-x2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4 המרכז על ציר ה-yy, ולכן הציר חותך את המעגל ועובר בקוטר. מעגל משיק לציר ה-yy רק כשהמרחק ∣a∣|a| שווה לרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודה A(5, 3)A(5,\,3) נמצאת על המעגל (x−2)2+(y+1)2=25(x-2)^2+(y+1)^2=25. מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה AA?

  1. 43\frac{4}{3}
  2. 34\frac{3}{4}
  3. −43-\frac{4}{3}
  4. −34-\frac{3}{4}
Show the answer and the solution

Answer: D −34-\frac{3}{4}

Worked solution:

mMA=3−(−1)5−2=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-(-1)}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז (2,−1)(2,-1)

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: 43⋅(−34)=−1\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-1

הנכונה: −34-\frac{3}{4}. 43\frac{4}{3} הוא שיפוע הרדיוס, ו-−43-\frac{4}{3} שכח להפוך את השבר.

Check the answer on elev

Exercise 5

הנקודה A(2, 3)A(2,\,3) נמצאת על המעגל (x+1)2+(y−2)2=10(x+1)^2+(y-2)^2=10. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -3 x+x+ 9

Worked solution:

(2+1)2+(3−2)2=10 ✓(2+1)^2+(3-2)^2=10 \ \checkmark

AA על המעגל

mMA=3−22+1=13\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{3-2}{2+1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מ-M(−1,2)M(-1,2)

m=−3m=-3

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−3=−3(x−2) ⇒ y=−3x+9\begin{aligned}y-3 &= -3(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x+9\end{aligned}

ישר דרך AA

מי שכתב y−2=−3(x+1)y-2=-3(x+1) העביר את המשיק דרך המרכז. ישר כזה מאונך לרדיוס, אבל הוא לא נוגע במעגל.

Check the answer on elev

Exercise 6

הנקודה A(4, 2)A(4,\,2) נמצאת על המעגל x2+y2=20x^2+y^2=20. המשיק למעגל בנקודה AA חותך את ציר ה-xx בנקודה BB. מהו שיעור ה-xx של BB?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

mOA=24=12\begin{aligned}m_{OA} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהראשית

m=−2y−2=−2(x−4) ⇒ y=−2x+10\begin{aligned}m &= -2 \\ \quad y-2 &= -2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+10\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

0=−2x+10 ⇒ x=5\begin{aligned}0 &= -2x+10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

על ציר ה-xx מציבים y=0y=0

B(5, 0)B(5,\,0). בדיקה: OA2+AB2=20+5=25=OB2OA^2+AB^2=20+5=25=OB^2, כמו שמשפט פיתגורס דורש במשולש OABOAB שבו הזווית ב-AA ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה A(1, 6)A(1,\,6) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y−2)2=16(x-1)^2+(y-2)^2=16. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה AA?

  1. y=x+5y=x+5
  2. x=1x=1
  3. y=6y=6
  4. y=−x+7y=-x+7
Show the answer and the solution

Answer: C y=6y=6

Worked solution:

M(1, 2), A(1, 6)M(1,\,2) ,\ A(1,\,6)

לשתי הנקודות אותו xx: הרדיוס MAMA אנכי

y=6y=6

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן אופקי, והוא עובר דרך AA

הנכונה: y=6y=6. x=1x=1 הוא הישר שעליו מונח הרדיוס עצמו. לרדיוס אנכי אין שיפוע, ולכן אי אפשר לחשב «הופכי ונגדי». צריך לחשוב על הכיוון.

Check the answer on elev

Exercise 8

מעגל שרדיוסו 44 משיק לשני הצירים, ומרכזו ברביע הרביעי. השלימו את משוואתו.

(x−(x- ____ )2+(y+)^2+(y+ ____ )2=)^2= ____

Show the answer and the solution

Answer: (x−(x- 4 )2+(y+)^2+(y+ 4 )2=)^2= 16

Worked solution:

x>0, y<0x>0 ,\ y<0

ברביע הרביעי

M(4, −4)M(4,\,-4)

משיק לשני הצירים: ∣a∣=∣b∣=R=4|a|=|b|=R=4

(x−4)2+(y+4)2=16(x-4)^2+(y+4)^2=16

מציבים

המרכז (4,−4)(4,-4), ולכן בסוגריים של yy מופיע פלוס. נקודות ההשקה: (4, 0)(4,\,0) ו-(0, −4)(0,\,-4).

Check the answer on elev

Exercise 9

המעגל x2+y2−8x−6y+9=0x^2+y^2-8x-6y+9=0 משיק לציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(x−4)2+(y−3)2=16(x-4)^2+(y-3)^2=16

השלמה לריבוע: 16+9−9=1616+9-9=16

M(4, 3)R=4\begin{aligned}M(4,\,3) \\ \quad R &= 4\end{aligned}

קוראים

∣b∣=3<4∣a∣=4=R\begin{aligned}|b| &= 3<4 \\ \quad |a| &= 4 \\ &= R\end{aligned}

ציר ה-xx חותך את המעגל, וציר ה-yy משיק לו

הטענה לא נכונה. המעגל משיק לציר ה-yy בנקודה (0, 3)(0,\,3), ואת ציר ה-xx הוא חותך בשתי נקודות: (4±7, 0)(4\pm\sqrt{7},\,0).

Check the answer on elev

Exercise 10

מעגל משיק לציר ה-xx בנקודה (3, 0)(3,\,0), ומרכזו על הישר y=2xy=2x. מהו הרדיוס של המעגל?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

M(3, b)M(3,\,b)

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה: הרדיוס מאונך לציר המשיק

b=2⋅3=6\begin{aligned}b &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

המרכז על הישר y=2xy=2x

R=∣b∣=6\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 6\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה-xx

המשוואה: (x−3)2+(y−6)2=36(x-3)^2+(y-6)^2=36. מי שחיפש את המרכז על הישר בנקודה (0,0)(0,0) שכח שהמרכז חייב להיות מעל נקודת ההשקה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade