Inscribed angle and central angle

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בתיאטרון עגול, הבמה ABAB נמצאת על שפת המעגל. צופה שיושב בנקודה CC על המעגל רואה את הבמה בזווית ∠ACB\angle ACB. במאית שעומדת במרכז OO רואה אותה בזווית ∠AOB\angle AOB. מי רואה בזווית גדולה יותר, ובכמה?

100°?OABC
∠AOB\angle AOB היא זווית מרכזית: הקודקוד שלה במרכז. ∠ACB\angle ACB היא זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, והשוקיים שלה מיתרים. שתיהן נשענות על הקשת ABAB.

העריכו בעין: האם ∠ACB\angle ACB גדולה מ-∠AOB\angle AOB או קטנה ממנה?

Show the answer and the solution

קטנה. בשרטוט ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ ו-∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ, בדיוק חצי. זה לא מקרה, וזה המשפט הבא.

המשפט

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

שלוש מסקנות

∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. שתיהן חצי מאותה זווית מרכזית.

AB קוטר ⇒ ∠ACB=90∘AB\ \text{קוטר} \ \Rightarrow \ \angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. הזווית המרכזית שלה היא 180∘180^\circ.

∠ACB=90∘ ⇒ AB קוטר\angle ACB = 90^\circ \ \Rightarrow \ AB\ \text{קוטר}

והמשפט ההפוך: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

הנקודות CC ו-DD נמצאות על המעגל, באותו צד של המיתר ABAB, ו-∠ACB=35∘\angle ACB = 35^\circ. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB? ובזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB?

Show the answer and the solution

∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ: זוויות היקפיות על אותה קשת. ∠AOB=70∘\angle AOB = 70^\circ: פי שניים.

משולש בתוך חצי מעגל

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=28∘\angle CAB = 28^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−28∘=62∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

בכל שאלה על זווית במעגל שאלו שתי שאלות: איפה הקודקוד, במרכז או על המעגל, ועל איזו קשת הזווית נשענת. וקוטר בשרטוט הוא רמז לזווית ישרה.

שתי טעויות בזווית היקפית.

∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

ההיקפית היא הקטנה: חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

∠AOB=100∘⇒∠ADB=50∘\begin{aligned}\angle AOB &= 100^\circ \Rightarrow \angle ADB \\ &= 50^\circ\end{aligned}
∠ADB=130∘\angle ADB = 130^\circ

כש-DD על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה, שמידתה 260∘260^\circ. חצי ממנה: 130∘130^\circ.

Exercises

Exercise 1

110°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=110∘\angle AOB = 110^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 55

Worked solution:

∠ACB=12⋅110∘=55∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 110^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לענות 220∘220^\circ. ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

Check the answer on elev

Exercise 2

?38°OABC

במעגל שמרכזו OO, הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB שווה 38∘38^\circ. חשבו את הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB הנשענת על אותה קשת.

Show the answer and the solution

Answer: 76

Worked solution:

∠AOB=2⋅∠ACB\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠AOB=2⋅38∘=76∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 38^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

חישוב

המלכודת: לחלק ב-2. כאן נתונה ההיקפית, ולכן מכפילים.

Check the answer on elev

Exercise 3

34°?OABC

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=34∘\angle CAB = 34^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

Show the answer and the solution

Answer: 56

Worked solution:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−34∘=56∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

המלכודת: לענות 34∘34^\circ או 68∘68^\circ. בלי הזווית הישרה ב-CC אין מה לחשב.

Check the answer on elev

Exercise 4

30°45°?ABCDE

הנקודות AA, BB, CC ו-DD על מעגל. המיתרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE. נתון ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ ו-∠BDC=45∘\angle BDC = 45^\circ. חשבו את ∠DEC\angle DEC.

Show the answer and the solution

Answer: 105

Worked solution:

∠ACD=∠ABD=30∘\begin{aligned}\angle ACD &= \angle ABD \\ &= 30^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת (ADAD) שוות

∠DEC=180∘−30∘−45∘=105∘\begin{aligned}\angle DEC &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש EDCEDC

המלכודת: לחבר 30∘+45∘=75∘30^\circ + 45^\circ = 75^\circ. זו הזווית החיצונית, לא ∠DEC\angle DEC עצמה.

Check the answer on elev

Exercise 5

100°?OABD

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. הנקודה DD נמצאת על הקשת הקטנה ABAB. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB?

  1. 130∘130^\circ
  2. 100∘100^\circ
  3. 50∘50^\circ
  4. 260∘260^\circ
Show the answer and the solution

Answer: A 130∘130^\circ

Worked solution:

360∘−100∘=260∘360^\circ - 100^\circ = 260^\circ

DD על הקשת הקטנה, ולכן ∠ADB\angle ADB נשענת על הקשת הגדולה

∠ADB=12⋅260∘=130∘\begin{aligned}\angle ADB &= \frac{1}{2} \cdot 260^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת

הנכונה: 130∘130^\circ. המלכודת: 50∘50^\circ נכון רק לנקודה על הקשת הגדולה.

Check the answer on elev

Exercise 6

OABC

המשולש ABCABC חסום במעגל, ו-∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. נתון AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. מהו רדיוס המעגל?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

r=102=5\begin{aligned}r &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לענות 1010. היתר הוא קוטר, והרדיוס חצי ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 7

?OABC

הוכיחו או הפריכו: זווית היקפית הנשענת על מיתר שאינו קוטר היא תמיד חדה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ

דוגמה נגדית: מיתר ABAB שהזווית המרכזית שלו 120∘120^\circ

∠ACB=12(360∘−120∘)=120∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2}(360^\circ - 120^\circ) \\ &= 120^\circ\end{aligned}

כש-CC על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה

לא נכון. זווית היקפית שהקודקוד שלה על הקשת הקטנה היא קהה. המלכודת: לבדוק רק נקודה אחת על המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 8

20°OABC

במעגל שמרכזו OO נתון המיתר ABAB, ו-∠OAB=20∘\angle OAB = 20^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. השלימו.

∠AOB=\angle AOB = ____° , ∠ACB=\angle ACB = ____°

Show the answer and the solution

Answer: ∠AOB=\angle AOB = 140° , ∠ACB=\angle ACB = 70°

Worked solution:

OA=OB ⇒ ∠OBA=20∘\begin{aligned}OA &= OB \ \Rightarrow \ \angle OBA \\ &= 20^\circ\end{aligned}

רדיוסים שווים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠AOB=180∘−2⋅20∘=140∘\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 2 \cdot 20^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש OABOAB

∠ACB=12⋅140∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 140^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לחשוב ש-∠ACB=20∘\angle ACB = 20^\circ או 40∘40^\circ. קודם מוצאים את המרכזית מהמשולש שווה השוקיים, ורק אחר כך חוצים.

Check the answer on elev

Exercise 9

OABC

ABAB קוטר של מעגל, ו-CC נקודה על המעגל. הוכיחו: ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ.

  • ABAB קוטר
  • CC על המעגל

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

Show the answer and the solution
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
  2. ∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ — סכום הזוויות במשולש
  3. ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ — חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

Worked solution:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ

סכום הזוויות במשולש

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

שתי הזוויות החדות במשולש ישר זווית משלימות ל-90∘90^\circ. המלכודת: לנמק את הזווית הישרה במילה «נתון». היא נובעת מהקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 10

80°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ, והנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB. חישבו את ∠ACB\angle ACB. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ
∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=160∘\angle ACB = 160^\circ
Show the answer and the solution

Answer: ∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB → ∠ACB=12∠AOB=40∘\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 40^\circ

Worked solution:

∠ACB=12⋅80∘=40∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 80^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

השורה השנייה הפכה את המשפט. המלכודת: הזווית שהקודקוד שלה רחוק מהקשת נראית גדולה, אבל היא הקטנה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade