Set 2 — medium · The circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות. כמעט בכל שאלה שני משפטים ברצף: משולש שווה שוקיים ואחריו זווית היקפית, מיתר ואחריו פיתגורס, משיק ואחריו חיסור זוויות.

כשהשאלה לא נפתרת במשפט אחד, חפשו משולש שווה שוקיים של שני רדיוסים, או זווית ישרה של קוטר או של משיק. אלה שתי הדלתות של הפרק.

Exercises

Exercise 1

במעגל שמרכזו $O$ נתון המיתר $AB$ , ו- $\angle OAB = 28^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . חשבו את $\angle ACB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 62

Worked solution:

\angle OBA = 28^\circ

$OA = OB$ רדיוסים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 56^\circ \\ &= 124^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $OAB$

\angle ACB = 62^\circ

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לענות $28^\circ$ או $56^\circ$ . $\angle OAB$ אינה זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, אבל $OA$ אינו מיתר.

Check the answer on elev

Exercise 2

במעגל שרדיוסו $13$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 24$ ו- $CD = 10$ . המרכז נמצא בין המיתרים. מהו המרחק בין שני המיתרים?

Show the answer and the solution

Answer: 17

Worked solution:

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

האנך חוצה את $AB$ ; פיתגורס

\begin{aligned}ON &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

האנך חוצה את $CD$ ; פיתגורס

\begin{aligned}MN &= 5 + 12 \\ &= 17\end{aligned}

המרכז בין המיתרים: מחברים

המלכודת: $12 - 5 = 7$ . מחסרים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

Check the answer on elev

Exercise 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והיחס בין הזוויות הנגדיות הוא $\angle A : \angle C = 2 : 3$ . חשבו את $\angle C$ .

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

\begin{aligned}2k + 3k &= 180^\circ \ \Rightarrow \ k \\ &= 36^\circ\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}\angle C &= 3 \cdot 36^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

שלושה חלקים

המלכודת: לחלק $360^\circ$ לחמישה. רק שתי זוויות נגדיות, וסכומן $180^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$AB$ קוטר של מעגל, $C$ נקודה על המעגל, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . מהו רדיוס המעגל?

Show the answer and the solution

Answer: 7.5

Worked solution:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}r &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: $r = 15$ . פיתגורס נתן את הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 5

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ על המעגל, באותו צד של $OA$ כמו $P$ , ו- $\angle AOB = 70^\circ$ . חשבו את $\angle PAB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OAB &= \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

$OA = OB$ רדיוסים; זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}\angle PAB &= 90^\circ - 55^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

חיסור זוויות

יוצא בדיוק חצי מ- $\angle AOB$ . המלכודת: לעצור ב- $55^\circ$ , שהיא $\angle OAB$ ולא $\angle PAB$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. האלכסון $BD$ יוצר את הזוויות $\angle ABD = 25^\circ$ ו- $\angle DBC = 40^\circ$ . כמה מעלות בזווית $\angle ADC$ ?

$65^\circ$
$130^\circ$
$50^\circ$
$115^\circ$

Show the answer and the solution

Answer: D $115^\circ$

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $B$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

הנכונה: $115^\circ$ . $65^\circ$ היא $\angle ABC$ עצמה; $130^\circ$ ו- $50^\circ$ באים מהכפלה, שמתאימה לזווית מרכזית.

Check the answer on elev

Exercise 7

המלבן $ABCD$ , שאורכי הצלעות שלו $6$ ו- $8$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}AC\ \text{קוטר} \\ \quad r &= 5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: האלכסון הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 5^2 \\ &= 25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $100\pi$ , כשמציבים את האלכסון כרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . רדיוס המעגל $7$ ו- $OP = 25$ . חישבו את $PA$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\angle OAP = 90^\circ

PA^2 = 25^2 + 7^2

PA^2 = 674

PA \approx 25.96

Show the answer and the solution

Answer: $PA^2 = 25^2 + 7^2$ → $PA^2 = 25^2 - 7^2 = 576$

Worked solution:

OP^2 = OA^2 + PA^2

$OP$ מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר

\begin{aligned}PA &= \sqrt{625 - 49} \\ &= 24\end{aligned}

מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר

המשיק $PA$ הוא ניצב, ולכן הוא קצר מהיתר $OP$ . תשובה ארוכה מ- $25$ היא סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: במעגל שרדיוסו $10$ יש מיתר שאורכו $22$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2r = 20

הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל

22 > 20

ולכן אין מיתר שאורכו $22$

לא נכון. המלכודת: לחשוב שמיתר יכול להיות כל אורך. הקוטר, $2r$ , הוא התקרה.

Check the answer on elev

Exercise 10

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נתון מיתר $AB = 16$ . $M$ היא אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה. השלימו.

$OM =$ ____ , $MD =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $OM =$ 6 , $MD =$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר

\begin{aligned}OM &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ רדיוס

המלכודת: $MD = 10$ . רק $OD$ הוא רדיוס; $MD$ הוא החלק שנשאר אחרי $OM$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev