Set 3 — towards the bagrut · The circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו נתון בראשו. סעיף מאוחר משתמש בתוצאה של סעיף קודם, כמו בבחינה.

בבחינה סעיף שלא הצלחתם בו לא עוצר אתכם: מותר להשתמש בטענה של סעיף קודם גם בלי להוכיח אותה. ובכל הוכחה, טענה ונימוק בכל שורה.

Exercises

Exercise 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . א. הוכיחו: $BC \perp AD$ .

$AB$ קוטר
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$BC \perp AD$

Show the answer and the solution

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$BC \perp AD$ — $C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

Worked solution:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

BC \perp AD

$C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

המלכודת: לנמק «המשיק מאונך לרדיוס». המשיק נותן זווית ישרה ב- $B$ , לא ב- $C$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ב. הוכיחו: $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ .

$AB$ קוטר
$BD$ משיק בנקודה $B$
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle ACB \sim \triangle ABD$

Show the answer and the solution

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle ABD = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle CAB = \angle BAD$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\triangle ACB \sim \triangle ABD$ — ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

Worked solution:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle ABD = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle CAB = \angle BAD

זווית משותפת לשני המשולשים

\triangle ACB \sim \triangle ABD

ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

שתי זוויות ישרות משני משפטים שונים: הקוטר נותן את $C$ , והמשיק נותן את $B$ . המלכודת: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים לא מתאים.

Check the answer on elev

Exercise 3

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ג. חשבו את $AD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12.5

Worked solution:

\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף ב

\begin{aligned}\frac{8}{10} &= \frac{10}{AD} \ \Rightarrow \ AD \\ &= \frac{100}{8} \\ &= 12.5\end{aligned}

כפל בהצלבה

המלכודת: להתאים את $AC$ ל- $BD$ . $AC$ מול הזווית ב- $B$ במשולש $ACB$ , ולכן מתאים ל- $AB$ , שמול הזווית ב- $D$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . א. חשבו את $\angle BAC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$AB = BC$ : במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

המלכודת: להניח ש- $\angle ABC = 60^\circ$ כי שתי צלעות שוות. המשולש שווה שוקיים וגם ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 5

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ב. חשבו את $\angle ADB$ .

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\angle ADB = \angle ACB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ( $AB$ ) שוות

\angle ACB = 45^\circ

מסעיף א

\begin{aligned}\angle ADC &= 90^\circ \ \Rightarrow \ \angle BDC \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $AC$ ; ולכן $DB$ חוצה את $\angle ADC$

המלכודת: לחפש זווית מרכזית. $D$ ו- $C$ על המעגל ורואות את אותה קשת $AB$ , לכן הזוויות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

הקוטר

\begin{aligned}OB \perp AC \\ \quad OB &= 5\end{aligned}

$AB = BC$ , ולכן $B$ על האנך האמצעי של $AC$ ; $OB$ רדיוס

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25\end{aligned}

בסיס כפול גובה חלקי $2$

דרך אחרת: $AB = BC = 5\sqrt{2}$ , ו- $\frac{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{2} = 25$ . המלכודת: לקחת את הרדיוס כבסיס ואת הקוטר כגובה, ולכפול פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . א. מהי הזווית $\angle OAP$ , ומה הנימוק?

$45^\circ$ , כי המשולש $OAP$ שווה שוקיים
$90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$90^\circ$ , כי זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
אי אפשר לדעת בלי הרדיוס

Show the answer and the solution

Answer: B $90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

Worked solution:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הנכונה: $90^\circ$ , כי המשיק מאונך לרדיוס. המלכודת: הנימוק של הקוטר. הוא נכון לזווית $\angle BAC$ , שהקודקוד שלה על המעגל ו- $BC$ קוטר, לא ל- $\angle OAP$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ב. מצאו את רדיוס המעגל.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

OP = r + 6

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$

(r + 6)^2 = r^2 + 12^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , שבו $\angle OAP = 90^\circ$

\begin{aligned}12r + 36 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 9\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 15$ , ו- $9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$ ✓. המלכודת: $OP = 6$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ג. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= 9 \\ \quad PA &= 12\end{aligned}

מסעיף ב; שניהם ניצבים

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{9 \cdot 12}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

המלכודת: $\frac{15 \cdot 12}{2}$ . $OP$ הוא היתר, לא ניצב.

Check the answer on elev

Exercise 10

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ד. הוכיחו: $\angle PAB = \angle OAC$ .

$PA$ משיק בנקודה $A$
$BC$ קוטר
$B$ בין $P$ ל- $O$

$\angle PAB = \angle OAC$

Show the answer and the solution

$\angle OAP = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$
$\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$
$\angle PAB = \angle OAC$ — שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

Worked solution:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle BAC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$

\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$

\angle PAB = \angle OAC

שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

שתי זוויות ישרות חולקות את אותה זווית $\angle OAB$ , ומה שנשאר שווה. המלכודת: להשתמש בנתונים המספריים. ההוכחה נכונה לכל רדיוס.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev