Antiderivative and indefinite integral

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גוזרים את x2x^2 ומקבלים 2x2x. עכשיו נלך בכיוון ההפוך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה. הסתכלו קודם על שלושת הגרפים.

שלוש פונקציות, נגזרת אחת
C = 2C = 0C = −3-10123-4-3-2-11234567xy
שלושת הגרפים הם y=x2−2x+Cy=x^2-2x+C עם שלושה ערכים של CC. על הקו המקווקו x=2x=2 לשלושתם אותו שיפוע: כל גרף הוא הזזה אנכית של השני.

מהי הנגזרת של כל אחת משלוש הפונקציות בגרף? וכמה פונקציות יש שהנגזרת שלהן היא 2x−22x-2?

Show the answer and the solution

לשלושתן הנגזרת 2x−22x-2: הקבוע נעלם בגזירה. יש אינסוף פונקציות כאלה, אחת לכל ערך של CC.

פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

FF היא פונקציה קדומה של ff אם F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). אוסף כל הפונקציות הקדומות נקרא האינטגרל הלא מסוים, וכותבים אותו עם +C+C.

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
∫5 dx=5x+C\int 5\,dx=5x+C

קבוע: מוסיפים xx

∫6x2 dx=2x3+C\int 6x^2\,dx=2x^3+C

מעלים את החזקה ב-11 ומחלקים בחזקה החדשה

∫(4x3−6x+5) dx=x4−3x2+5x+C\int (4x^3-6x+5)\,dx=x^4-3x^2+5x+C

סכום: כל מחובר לחוד, ו-CC אחד בסוף

מהו ∫(3x2−4x+1) dx\int (3x^2-4x+1)\,dx?

Show the answer and the solution

x3−2x2+x+Cx^3-2x^2+x+C. בדיקה בגזירה: 3x2−4x+13x^2-4x+1 ✓

פונקציה מהצורה c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

הנגזרת של 1ax+b\frac{1}{ax+b} היא −a(ax+b)2\frac{-a}{(ax+b)^2}. לכן כשרואים ריבוע במכנה, הפונקציה הקדומה היא שבר עם המכנה בלי הריבוע, עם סימן מינוס, ומחלקים ב-aa.

∫c(ax+b)2 dx=−ca(ax+b)+C\int \frac{c}{(ax+b)^2}\,dx=-\frac{c}{a(ax+b)}+C
∫1x2 dx=−1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C

a=1, b=0a=1,\ b=0

∫6(2x+1)2 dx=−32x+1+C\int \frac{6}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{3}{2x+1}+C

a=2a=2: מחלקים את 66 ב-22

∫4(1−2x)2 dx=21−2x+C\int \frac{4}{(1-2x)^2}\,dx=\frac{2}{1-2x}+C

a=−2a=-2: שני מינוסים נותנים פלוס

כל תשובה בודקים בגזירה: הנגזרת של מה שקיבלתם חייבת להחזיר בדיוק את הפונקציה שבתוך האינטגרל.

למצוא את ff לפי f′f' ונקודה

הנגזרת קובעת את ff עד כדי קבוע. נקודה אחת על הגרף קובעת את הקבוע.

נגזרת ונקודה

נתון f′(x)=6x2−2x−4f'(x)=6x^2-2x-4, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). מצאו את ff.

f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

פונקציה קדומה, עם CC

f(1)=2−1−4+C=−3+C\begin{aligned}f(1) &= 2-1-4+C \\ &= -3+C\end{aligned}

מציבים את שיעור ה-xx של הנקודה

−3+C=3 ⇒ C=6\begin{aligned}-3+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 6\end{aligned}

משווים לשיעור ה-yy

f(x)=2x3−x2−4x+6f(x)=2x^3-x^2-4x+6

בדיקה: f(1)=2−1−4+6=3f(1)=2-1-4+6=3 ✓

נתון f′(x)=2(x−1)2f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 4)(3,\,4). מהי ff?

Show the answer and the solution

f(x)=−2x−1+Cf(x)=-\frac{2}{x-1}+C. f(3)=−1+C=4f(3)=-1+C=4, ולכן C=5C=5: f(x)=5−2x−1f(x)=5-\frac{2}{x-1}.

שלוש טעויות שחוזרות.

∫x2 dx=x3+C\int x^2\,dx=x^3+C
∫x2 dx=x33+C\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C

שכחו לחלק בחזקה החדשה. בגזירה: (x3)′=3x2≠x2(x^3)'=3x^2 \neq x^2.

∫2(2x+1)2 dx=−22x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{2x+1}+C
∫2(2x+1)2 dx=−12x+1+C\int \frac{2}{(2x+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2x+1}+C

שכחו לחלק ב-a=2a=2. בגזירה, כלל השרשרת מוסיף את הגורם 22, ולכן מראש מחלקים בו.

f(x)=2x3−x2−4xf(x)=2x^3-x^2-4x
f(x)=2x3−x2−4x+Cf(x)=2x^3-x^2-4x+C

בלי CC אין מה להציב בנקודה. CC הוא לא קישוט: הוא מה שהנקודה קובעת.

Exercises

Exercise 1

מהו ∫(6x2−2x) dx\int (6x^2-2x)\,dx?

  1. 2x3−x2+C2x^3-x^2+C
  2. 3x3−x2+C3x^3-x^2+C
  3. 12x−2+C12x-2+C
  4. 6x3−2x2+C6x^3-2x^2+C
Show the answer and the solution

Answer: A 2x3−x2+C2x^3-x^2+C

Worked solution:

∫6x2 dx=6x33=2x3\begin{aligned}\int 6x^2\,dx &= \frac{6x^3}{3} \\ &= 2x^3\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

∫2x dx=x2\int 2x\,dx=x^2

אותו כלל

(2x3−x2)′=6x2−2x(2x^3-x^2)'=6x^2-2x

בדיקה בגזירה ✓

הנכונה: 2x3−x2+C2x^3-x^2+C. 12x−212x-2 היא נגזרת, לא פונקציה קדומה. 6x3−2x26x^3-2x^2 שוכחת לחלק בחזקה.

Check the answer on elev

Exercise 2

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=4x3−6xf(x)=4x^3-6x, ו-F(0)=2F(0)=2. חשבו את F(2)F(2).

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

F(x)=x4−3x2+CF(x)=x^4-3x^2+C

פונקציה קדומה

F(0)=C=2\begin{aligned}F(0) &= C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה קובעת את CC

F(2)=16−12+2=6\begin{aligned}F(2) &= 16-12+2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

מי שקיבל 44 שכח את C=2C=2.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו ∫8(2x+1)2 dx\int \frac{8}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. −82x+1+C-\frac{8}{2x+1}+C
  2. 42x+1+C\frac{4}{2x+1}+C
  3. −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C
  4. −83(2x+1)3+C-\frac{8}{3(2x+1)^3}+C
Show the answer and the solution

Answer: C −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C

Worked solution:

−ca(ax+b)=−82(2x+1)-\frac{c}{a(ax+b)}=-\frac{8}{2(2x+1)}

c=8, a=2c=8,\ a=2

=−42x+1=-\frac{4}{2x+1}

מצמצמים

(−42x+1)′=4⋅2(2x+1)2=8(2x+1)2\begin{aligned}\left(-\frac{4}{2x+1}\right)' &= \frac{4 \cdot 2}{(2x+1)^2} \\ &= \frac{8}{(2x+1)^2}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −42x+1+C-\frac{4}{2x+1}+C. בלי המינוס הנגזרת יוצאת שלילית. −82x+1-\frac{8}{2x+1} שוכחת לחלק ב-aa. והאפשרות עם החזקה 33 מפעילה את כלל החזקות בכיוון הלא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: F(x)=1x−3+5F(x)=\frac{1}{x-3}+5 היא פונקציה קדומה של f(x)=1(x−3)2f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

F′(x)=−1(x−3)2F'(x)=-\frac{1}{(x-3)^2}

גוזרים: 55 נעלם

−1(x−3)2≠1(x−3)2-\frac{1}{(x-3)^2} \neq \frac{1}{(x-3)^2}

הסימן הפוך

הטענה לא נכונה. פונקציה קדומה נכונה: −1x−3+C-\frac{1}{x-3}+C. ה-55 לא מפריע (הוא קבוע), הסימן כן.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון f′(x)=2x−6f'(x)=2x-6, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 0)(1,\,0). מהו הערך המינימלי של ff?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

f(x)=x2−6x+Cf(x)=x^2-6x+C

פונקציה קדומה

f(1)=1−6+C=0 ⇒ C=5\begin{aligned}f(1) &= 1-6+C \\ &= 0 \ \Rightarrow \ C \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נקודת המינימום

f(3)=9−18+5=−4\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

הערך המינימלי

שני שלבים: קודם CC מהנקודה, ואז מינימום מ-f′=0f'=0. הערך המינימלי הוא f(3)f(3), לא 33.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון f′(x)=3(x+2)2f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 2)(1,\,2). השלימו.

f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ ____ , f(−1)=f(-1)= ____

Show the answer and the solution

Answer: f(x)=−3x+2+f(x)=-\frac{3}{x+2}+ 3 , f(−1)=f(-1)= 0

Worked solution:

f(x)=−3x+2+Cf(x)=-\frac{3}{x+2}+C

פונקציה קדומה, a=1a=1

f(1)=−1+C=2 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -1+C \\ &= 2 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(−1)=−31+3=0\begin{aligned}f(-1) &= -\frac{3}{1}+3 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

מי שכתב +3x+2+\frac{3}{x+2} יקבל C=1C=1 ו-f(−1)=4f(-1)=4: בגזירה הוא היה מגלה נגזרת שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 7

התאימו לכל פונקציה את משפחת הפונקציות הקדומות שלה.

  • 2x2x
  • 1x2\dfrac{1}{x^2}
  • 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2}
  • 33
  • x2x^2
  • −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C
  • −1x+C-\dfrac{1}{x}+C
  • x33+C\dfrac{x^3}{3}+C
  • 3x+C3x+C
  • x2+Cx^2+C
Show the answer and the solution

Answer: 2x2x — x2+Cx^2+C · 1x2\dfrac{1}{x^2} — −1x+C-\dfrac{1}{x}+C · 2(2x−1)2\dfrac{2}{(2x-1)^2} — −12x−1+C-\dfrac{1}{2x-1}+C · 33 — 3x+C3x+C · x2x^2 — x33+C\dfrac{x^3}{3}+C

Worked solution:

(−1x)′=1x2\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}

בדיקה

(−12x−1)′=2(2x−1)2\left(-\frac{1}{2x-1}\right)'=\frac{2}{(2x-1)^2}

בדיקה

כל זוג נבדק בגזירה של העמודה הימנית. 1x2\frac{1}{x^2} ו-2(2x−1)2\frac{2}{(2x-1)^2} נראות שונות, אבל הכלל שלהן זהה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון F′(x)=3x2+4xF'(x)=3x^2+4x ו-F(1)=7F(1)=7. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

F(x)=∫(3x2+4x) dxF(x)=\int (3x^2+4x)\,dx
F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C
F(1)=1+2+C=7\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7\end{aligned}
C=4 F(x)=x3+2x2+4\begin{aligned}C &= 4 \\ \ F(x) &= x^3+2x^2+4\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: F(x)=x3+4x2+CF(x)=x^3+4x^2+C → F(x)=x3+2x2+CF(x)=x^3+2x^2+C

Worked solution:

∫4x dx=4x22=2x2\begin{aligned}\int 4x\,dx &= \frac{4x^2}{2} \\ &= 2x^2\end{aligned}

מחלקים בחזקה החדשה

F(1)=1+2+C=7 ⇒ C=4\begin{aligned}F(1) &= 1+2+C \\ &= 7 \ \Rightarrow \ C \\ &= 4\end{aligned}

ההמשך נכון

בשורה 2 לא חילקו את 4x24x^2 ב-22. בשורה 3 כבר חישבו נכון, ולכן הסתירה נחשפת.

Check the answer on elev

Exercise 9

שיפוע המשיק לגרף של ff בכל נקודה הוא 4(x+1)2\frac{4}{(x+1)^2}. הגרף עובר בנקודה (1, 1)(1,\,1). באיזו נקודה הגרף חותך את ציר ה-yy? כתבו את שיעור ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f′(x)=4(x+1)2f'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}

שיפוע המשיק הוא הנגזרת

f(x)=−4x+1+Cf(x)=-\frac{4}{x+1}+C

פונקציה קדומה

f(1)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(1) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(0)=−4+3=−1\begin{aligned}f(0) &= -4+3 \\ &= -1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy

«שיפוע המשיק» הוא f′f', לא ff. מי שהציב x=0x=0 בשיפוע קיבל 44: זה השיפוע ב-(0,−1)(0,-1), לא הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 10

הפונקציה F(x)=k2x+1F(x)=\frac{k}{2x+1} היא פונקציה קדומה של f(x)=6(2x+1)2f(x)=\frac{6}{(2x+1)^2}. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

F′(x)=−2k(2x+1)2F'(x)=\frac{-2k}{(2x+1)^2}

גוזרים, עם כלל השרשרת

−2k=6 ⇒ k=−3\begin{aligned}-2k &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= -3\end{aligned}

משווים מונים

הפרמטר שלילי: 6(2x+1)2\frac{6}{(2x+1)^2} חיובית, ולכן הקדומה עולה. מי שקיבל k=3k=3 שכח שגזירה של 1u\frac{1}{u} מוסיפה מינוס.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade