The definite integral

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כמה שטח יש מתחת לגרף של f(x)=3x2+2xf(x)=3x^2+2x, בין x=1x=1 ל-x=3x=3? אפשר לכסות אותו במלבנים ולחבר את השטחים שלהם. הזיזו את מספר המלבנים.

מה קורה לסכום השטחים של המלבנים כשמגדילים מאוד את מספר המלבנים?

Show the answer and the solution

הסכום מתקרב לערך קבוע, 3434. זה השטח המדויק, ומחשבים אותו בלי מלבנים, בעזרת פונקציה קדומה.

הנוסחה: הפרש של שני ערכים

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\begin{aligned}\int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b)-F(a)\end{aligned}

FF היא פונקציה קדומה כלשהי של ff. את CC לא צריך: הוא מופיע ב-F(b)F(b) וגם ב-F(a)F(a), ונעלם בחיסור. התוצאה היא מספר, לא פונקציה.

האינטגרל של המלבנים

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2+2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x)=x^3+x^2

פונקציה קדומה, בלי CC

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27+9 \\ &= 36\end{aligned}

הגבול העליון

F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הגבול התחתון

36−2=3436-2=34

עליון פחות תחתון

חשבו את ∫02(x3−2x) dx\int_0^2 (x^3-2x)\,dx. האם התוצאה יכולה להיות שטח?

Show the answer and the solution

[x44−x2]02=(4−4)−0=0\Big[\frac{x^4}{4}-x^2\Big]_0^2=(4-4)-0=0. זה לא שטח: הגרף יורד מתחת לציר, והחלק השלילי מבטל את החיובי. בזה נטפל ביחידה הבאה.

אינטגרל מסוים של c(ax+b)2\frac{c}{(ax+b)^2}

ריבוע במכנה

חשבו את ∫136(2x−1)2 dx\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx.

F(x)=−62(2x−1)=−32x−1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{6}{2(2x-1)} \\ &= -\frac{3}{2x-1}\end{aligned}

הכלל מהיחידה הקודמת, a=2a=2

F(3)=−35F(1)=−31=−3\begin{aligned}F(3) &= -\frac{3}{5} \qquad F(1) \\ &= -\frac{3}{1} \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

−35−(−3)=125=2.4\begin{aligned}-\frac{3}{5}-(-3) &= \frac{12}{5} \\ &= 2.4\end{aligned}

הסוגריים שומרים על הסימן

ארבע תכונות

∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx=0

אין רוחב, אין שטח

∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx

החלפת הגבולות הופכת סימן

∫acf dx=∫abf dx+∫bcf dx\int_a^c f\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_b^c f\,dx

אפשר לחלק את הקטע

∫abk f(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b k\,f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx

קבוע יוצא החוצה

כתבו את F(a)F(a) בתוך סוגריים לפני שמחסרים. רוב הטעויות באינטגרל מסוים הן טעויות סימן בשורה האחרונה.

איפה הסימן הולך לאיבוד.

[x2−3x]12=(4−6)−1−3=−6\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-1-3 \\ &= -6\end{aligned}
[x2−3x]12=(4−6)−(1−3)=0\begin{aligned}\Big[x^2-3x\Big]_1^2 &= (4-6)-(1-3) \\ &= 0\end{aligned}

בלי סוגריים המינוס פוגע רק במחובר הראשון של F(1)F(1).

∫136(2x−1)2 dx=f(3)−f(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=f(3)-f(1)
∫136(2x−1)2 dx=F(3)−F(1)\int_1^3 \frac{6}{(2x-1)^2}\,dx=F(3)-F(1)

מציבים בפונקציה הקדומה, לא בפונקציה שבתוך האינטגרל.

∫021(x−1)2 dx=[−1x−1]02=−2\begin{aligned}\int_0^2 \frac{1}{(x-1)^2}\,dx &= \Big[-\frac{1}{x-1}\Big]_0^2 \\ &= -2\end{aligned}

הפונקציה לא מוגדרת ב-x=1x=1, שנמצא בתוך הקטע, ולכן החישוב לא תקף. סימן אזהרה: פונקציה חיובית נתנה תוצאה שלילית.

Exercises

Exercise 1

חשבו את ∫12(6x2−2x) dx\int_1^2 (6x^2-2x)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

F(x)=2x3−x2F(x)=2x^3-x^2

פונקציה קדומה

F(2)=16−4=12F(1)=2−1=1\begin{aligned}F(2) &= 16-4 \\ &= 12 \qquad F(1) \\ &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

12−1=1112-1=11

עליון פחות תחתון

מי שקיבל 1212 שכח לחסר את F(1)F(1): הגבול התחתון הוא לא 00.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫−12(3x2−2) dx\int_{-1}^{2} (3x^2-2)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

F(x)=x3−2xF(x)=x^3-2x

פונקציה קדומה

F(2)=8−4=4\begin{aligned}F(2) &= 8-4 \\ &= 4\end{aligned}

עליון

F(−1)=−1+2=1\begin{aligned}F(-1) &= -1+2 \\ &= 1\end{aligned}

תחתון: (−1)3=−1(-1)^3=-1

4−1=34-1=3

ההפרש

הסכנה בגבול שלילי: −2⋅(−1)=+2-2 \cdot (-1)=+2. מי שכתב F(−1)=−3F(-1)=-3 קיבל 77.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את ∫014(x+1)2 dx\int_0^1 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

F(x)=−4x+1F(x)=-\frac{4}{x+1}

פונקציה קדומה, a=1a=1

F(1)=−2F(0)=−4\begin{aligned}F(1) &= -2 \qquad F(0) \\ &= -4\end{aligned}

מציבים

−2−(−4)=2-2-(-4)=2

ההפרש

פונקציה חיובית בקטע נותנת אינטגרל חיובי. מי שקיבל −2-2 טעה בסימן של FF.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו ∫253(x−1)2 dx\int_2^5 \frac{3}{(x-1)^2}\,dx?

  1. −4516-\frac{45}{16}
  2. 94\frac{9}{4}
  3. 34\frac{3}{4}
  4. −94-\frac{9}{4}
Show the answer and the solution

Answer: B 94\frac{9}{4}

Worked solution:

F(x)=−3x−1F(x)=-\frac{3}{x-1}

פונקציה קדומה

F(5)=−34F(2)=−3\begin{aligned}F(5) &= -\frac{3}{4} \qquad F(2) \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

−34+3=94-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}

ההפרש

הנכונה: 94\frac{9}{4}. −94-\frac{9}{4} לוקחת F=+3x−1F=+\frac{3}{x-1}. −4516-\frac{45}{16} מציבה ב-ff עצמה: 316−3\frac{3}{16}-3.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון ∫15f(x) dx=8\int_1^5 f(x)\,dx=8 ו-∫13f(x) dx=3\int_1^3 f(x)\,dx=3. חשבו את ∫53f(x) dx\int_5^3 f(x)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

∫35f dx=∫15f dx−∫13f dx=8−3=5\begin{aligned}\int_3^5 f\,dx &= \int_1^5 f\,dx-\int_1^3 f\,dx \\ &= 8-3 \\ &= 5\end{aligned}

חלוקת הקטע

∫53f dx=−5\int_5^3 f\,dx=-5

החלפת הגבולות

שתי תכונות ברצף. מי שעונה 55 לא שם לב שהגבולות הפוכים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: ∫−22x3 dx=0\int_{-2}^{2} x^3\,dx=0, ולכן השטח בין הגרף של y=x3y=x^3 לציר ה-xx בקטע הזה הוא 00.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

[x44]−22=4−4=0\begin{aligned}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-2}^{2} &= 4-4 \\ &= 0\end{aligned}

האינטגרל אכן 00

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

אבל מימין יש שטח 44 מעל הציר

4+4=84+4=8

ומשמאל שטח 44 מתחת לציר

הטענה לא נכונה. האינטגרל הוא 00, אבל השטח הוא 88. אינטגרל סופר שטח מתחת לציר עם מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו את החישוב של ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx, כאשר F(x)=x2−xF(x)=x^2-x.

F(4)=F(4)= ____ , F(1)=F(1)= ____ , האינטגרל: ____

Show the answer and the solution

Answer: F(4)=F(4)= 12 , F(1)=F(1)= 0 , האינטגרל: 12

Worked solution:

F(4)=16−4=12\begin{aligned}F(4) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

עליון

F(1)=1−1=0\begin{aligned}F(1) &= 1-1 \\ &= 0\end{aligned}

תחתון

12−0=1212-0=12

ההפרש

F(1)=0F(1)=0 כאן במקרה, ולכן האינטגרל שווה ל-F(4)F(4). זה לא כלל: בדרך כלל מחסרים מספר שאינו אפס.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון ∫0k(2x+1) dx=12\int_0^k (2x+1)\,dx=12, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

[x2+x]0k=k2+k\Big[x^2+x\Big]_0^k=k^2+k

האינטגרל כביטוי ב-kk

k2+k−12=0 ⇒ (k+4)(k−3)=0\begin{aligned}k^2+k-12 &= 0 \ \Rightarrow \ (k+4)(k-3) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית

k=3(k=−4 נפסל)k=3 \quad (k=-4 \ \text{נפסל})

לפי הנתון k>0k>0

שני פתרונות למשוואה, ורק אחד מתאים לתנאי. בדיקה: 9+3=129+3=12 ✓

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון ∫1k2x2 dx=1.5\int_1^k \frac{2}{x^2}\,dx=1.5, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

[−2x]1k=−2k+2\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^k=-\frac{2}{k}+2

עליון פחות תחתון

2−2k=1.5 ⇒ 2k=0.5\begin{aligned}2-\frac{2}{k} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k} \\ &= 0.5\end{aligned}

מבודדים

k=4k=4

בדיקה: 2−0.5=1.52-0.5=1.5 ✓

מי שכתב 2k−2\frac{2}{k}-2 הציב בסדר הפוך וקיבל משוואה בלי פתרון חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו: האם האינטגרל חיובי או שלילי? (בלי לחשב)

  • חיובי
  • שלילי
  • ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx
  • ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx
  • ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx
  • ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx
  • ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx
  • ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx
Show the answer and the solution

Answer: ∫02(x2+1) dx\int_0^2 (x^2+1)\,dx — חיובי · ∫131x2 dx\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx — חיובי · ∫−10x2 dx\int_{-1}^{0} x^2\,dx — חיובי · ∫20(x2+1) dx\int_2^0 (x^2+1)\,dx — שלילי · ∫−3−1x dx\int_{-3}^{-1} x\,dx — שלילי · ∫01(x−2) dx\int_0^1 (x-2)\,dx — שלילי

Worked solution:

x2+1>0∫20=−∫02\begin{aligned}x^2+1>0 \\ \quad \int_2^0 &= -\int_0^2\end{aligned}

גבולות הפוכים

x<0 בקטע [−3,−1]x<0 \ \text{בקטע} \ [-3,-1]

פונקציה שלילית בכל הקטע

x−2<0 בקטע [0,1]x-2<0 \ \text{בקטע} \ [0,1]

גם כאן

שני דברים קובעים את הסימן: הסימן של הפונקציה בקטע, וסדר הגבולות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade