Area under a curve and between two curves

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ביחידה הקודמת יצא ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל תסתכלו על הגרף: יש שם שטח.

y=x2−2xy=x^2-2x בין x=0x=0 ל-x=3x=3
xyS₁S₂230
החלק S1S_1 מתחת לציר, והחלק S2S_2 מעליו. שני החלקים שווים בגודלם, ולכן ∫03(x2−2x) dx=0\int_0^3 (x^2-2x)\,dx=0. אבל השטח האפור אינו אפס.

למה האינטגרל יוצא 00, אף שהשטח האפור אינו ריק?

Show the answer and the solution

באינטגרל, חלק שמתחת לציר נספר עם מינוס: ∫02=−43\int_0^2=-\frac{4}{3} ו-∫23=+43\int_2^3=+\frac{4}{3}. הם מבטלים זה את זה. השטח הוא 43+43=83\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

שטח בין גרף לציר ה-xx

f≥0: S=∫abf(x) dxf≤0: S=−∫abf(x) dx\begin{aligned}f \geq 0: \ S &= \int_a^b f(x)\,dx \qquad f \leq 0: \ S \\ &= -\int_a^b f(x)\,dx\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי. כשהגרף חוצה את הציר בתוך הקטע, מחלקים את הקטע בנקודות החיתוך, מחשבים כל חלק לחוד, והופכים את הסימן של כל חלק שמתחת לציר.

11

מוצאים את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx

22

מחלקים את הקטע לחלקים לפי הנקודות

33

מחשבים אינטגרל לכל חלק; לחלק שלילי לוקחים את הערך הנגדי

44

מחברים את השטחים

השטח מהגרף

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x, ציר ה-xx והישר x=3x=3.

x2−2x=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x^2-2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים עם הציר

∫02(x2−2x) dx=[x33−x2]02=−43\begin{aligned}\int_0^2 (x^2-2x)\,dx &= \Big[\tfrac{x^3}{3}-x^2\Big]_0^2 \\ &= -\tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

∫23(x2−2x) dx=0−(−43)=43\begin{aligned}\int_2^3 (x^2-2x)\,dx &= 0-\left(-\tfrac{4}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

החלק שמעל הציר

S=43+43=83\begin{aligned}S &= \tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

מחברים ערכים חיוביים

מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x−x2y=4x-x^2 וציר ה-xx?

Show the answer and the solution

החיתוכים: x=0x=0 ו-x=4x=4, והגרף מעל הציר ביניהם. [2x2−x33]04=32−643=323\Big[2x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.

שטח בין שני גרפים

שטח בין פרבולה לישר
xyy = x + 2y = x²−12
בכל xx בין −1-1 ל-22, הגובה של הרצועה הוא הישר פחות הפרבולה.
S=∫ab(f(x)−g(x)) dxf(x)≥g(x) בקטעS=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx \qquad f(x) \geq g(x) \ \text{בקטע}

העליון פחות התחתון. הגבולות aa ו-bb הם שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים, לא של החיתוך עם הציר. זה נכון גם כשחלק מהשטח מתחת לציר ה-xx: ההפרש f−gf-g לא מושפע מהמיקום.

פרבולה וישר

חשבו את השטח המוגבל בין y=x2y=x^2 לבין y=x+2y=x+2.

x2=x+2 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}x^2 &= x+2 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

x=0: 0+2=2>0\begin{aligned}x &= 0: \ 0+2 \\ &= 2>0\end{aligned}

נקודת בדיקה: הישר מעל

∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=103−(−76)=92=\tfrac{10}{3}-\left(-\tfrac{7}{6}\right)=\tfrac{9}{2}

השטח: 4.54.5

איזה גרף עליון? מציבים נקודה אחת מתוך הקטע בשתי הפונקציות. הגבוהה יותר היא העליונה, בכל הקטע שבין שני חיתוכים סמוכים.

שלוש דרכים לקבל שטח שגוי.

S=∫03(x2−2x) dx=0\begin{aligned}S &= \int_0^3 (x^2-2x)\,dx \\ &= 0\end{aligned}
S=∣∫02∣+∫23=83\begin{aligned}S &= \left|\int_0^2\right|+\int_2^3 \\ &= \tfrac{8}{3}\end{aligned}

לא חילקו בנקודת החיתוך x=2x=2, והחלקים ביטלו זה את זה.

∫−12(x2−x−2) dx=−92\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-\tfrac{9}{2}
∫−12(x+2−x2) dx=92\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx=\tfrac{9}{2}

התחתון פחות העליון נותן מספר שלילי. שטח שלילי הוא סימן לסדר הפוך.

∫02(x+2−x2) dx\int_{0}^{2} (x+2-x^2)\,dx
∫−12(x+2−x2) dx\int_{-1}^{2} (x+2-x^2)\,dx

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים, לא מציר ה-yy.

Exercises

Exercise 1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=9−x2y=9-x^2 וציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

9−x2=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}9-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

חיתוכים

[9x−x33]−33=18−(−18)\Big[9x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-3}^{3}=18-(-18)

הגרף מעל הציר

S=36S=36

השטח

אפשר גם בסימטריה: 2⋅∫03(9−x2) dx=2⋅182 \cdot \int_0^3 (9-x^2)\,dx=2 \cdot 18. מי שקיבל 1818 לקח רק חצי.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−6xy=3x^2-6x וציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}3x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

[x3−3x2]02=8−12=−4\begin{aligned}\Big[x^3-3x^2\Big]_0^2 &= 8-12 \\ &= -4\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

S=4S=4

לוקחים את הערך הנגדי

אינטגרל −4-4 הוא לא התשובה: שטח תמיד חיובי. בין השורשים, פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר.

Check the answer on elev

Exercise 3

xy12

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x2−1y=x^2-1, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2−1=0 ⇒ x=1\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך בתוך הקטע

∫01(x2−1) dx=13−1=−23\begin{aligned}\int_0^1 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{1}{3}-1 \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫12(x2−1) dx=23−(−23)=43\begin{aligned}\int_1^2 (x^2-1)\,dx &= \tfrac{2}{3}-\left(-\tfrac{2}{3}\right) \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}

מעל הציר

S=23+43=2\begin{aligned}S &= \tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3} \\ &= 2\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫02(x2−1) dx=23\int_0^2 (x^2-1)\,dx=\frac{2}{3}, תשובה שגויה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2−4f(x)=x^2-4. איזה ביטוי שווה לשטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=3x=3?

  1. −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  2. ∫02f(x) dx+∫23f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx
  3. ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx
  4. −∫03f(x) dx-\int_0^3 f(x)\,dx
Show the answer and the solution

Answer: A −∫02f(x) dx+∫23f(x) dx-\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^3 f(x)\,dx

Worked solution:

x2−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

חיתוך בתוך [0,3][0,3]

0<x<2: f<02<x<3: f>00<x<2: \ f<0 \qquad 2<x<3: \ f>0

הסימנים

הנכונה: −∫02f dx+∫23f dx-\int_0^2 f\,dx+\int_2^3 f\,dx. האפשרות האחרונה שווה בדיוק ל-∫03f dx\int_0^3 f\,dx: חלוקה בלי שינוי סימן לא משנה כלום.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=2x2y=2x^2 לבין הישר y=2x+4y=2x+4.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

2x2=2x+4 ⇒ x2−x−2=0 ⇒ x=−1 x=2\begin{aligned}2x^2 &= 2x+4 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

x=0: 4>0x=0: \ 4>0

הישר עליון

∫−12(2x+4−2x2) dx=[x2+4x−2x33]−12\int_{-1}^{2} (2x+4-2x^2)\,dx=\Big[x^2+4x-\tfrac{2x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}

העליון פחות התחתון

=203−(−73)=9=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)=9

השטח

מי שקיבל −9-9 חיסר את הישר מהפרבולה. הגבולות הם החיתוכים של שני הגרפים.

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: השטח בין y=x2y=x^2 לבין y=x3y=x^3 בקטע 0≤x≤10 \leq x \leq 1 שווה ל-∫01(x3−x2) dx\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=12: 14>18x=\tfrac{1}{2}: \ \tfrac{1}{4}>\tfrac{1}{8}

בקטע x2≥x3x^2 \geq x^3

∫01(x3−x2) dx=14−13=−112\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx &= \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{3} \\ &= -\tfrac{1}{12}\end{aligned}

הביטוי שלילי

הטענה לא נכונה. בין 00 ל-11 דווקא x2x^2 עליון, כי חזקה גבוהה של מספר קטן מ-11 קטנה יותר. השטח 112\frac{1}{12}.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונים f(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x ו-g(x)=xg(x)=x. השלימו.

שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: ____ ו- ____ ; השטח המוגבל בין הגרפים: ____

Show the answer and the solution

Answer: שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך: 0 ו- 3 ; השטח המוגבל בין הגרפים: 4.5

Worked solution:

x2−2x=x ⇒ x2−3x=0 ⇒ x=0 x=3\begin{aligned}x^2-2x &= x \ \Rightarrow \ x^2-3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוכים

x=1: g=1>f=−1\begin{aligned}x &= 1: \ g \\ &= 1>f \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(3x−x2) dx=272−9=4.5\begin{aligned}\int_0^3 (3x-x^2)\,dx &= \tfrac{27}{2}-9 \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח

חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה-xx, ובכל זאת אין צורך לחלק: ההפרש g−fg-f חיובי בכל הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=4x2y=\frac{4}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

[−4x]14=−1−(−4)\Big[-\tfrac{4}{x}\Big]_1^4=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3S=3

השטח

הפונקציה חיובית בכל הקטע, ולכן השטח שווה לאינטגרל.

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=8(x+1)2y=\frac{8}{(x+1)^2}, הצירים והישר x=3x=3.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

F(x)=−8x+1F(x)=-\frac{8}{x+1}

פונקציה קדומה

F(3)−F(0)=−2−(−8)=6\begin{aligned}F(3)-F(0) &= -2-(-8) \\ &= 6\end{aligned}

מציר ה-yy עד x=3x=3

«הצירים» נותנים את הגבול x=0x=0 ואת הגבול התחתון של השטח, y=0y=0.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

Show the answer and the solution

Answer: 4.25

Worked solution:

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^{0} x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

S=14+4=4.25\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+4 \\ &= 4.25\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה: ∫−12x3 dx=3.75\int_{-1}^{2} x^3\,dx=3.75. ההפרש, 0.50.5, הוא פעמיים החלק שמתחת לציר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade