Conditional probability

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מטילים קובייה. P(6)=16P(6) = \frac{1}{6}. ועכשיו לוחשים לנו: «יצא מספר זוגי». העולם הצטמק — במקום שש תוצאות נשארו שלוש: 2, 4, 6. בעולם המצומק, ההסתברות ל-6 היא 13\frac{1}{3}. מידע משנה הסתברות, וזה טבעי לגמרי.

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

קוראים: ההסתברות של A בהינתן B. המכנה הוא העולם החדש — B.

הקובייה, דרך הנוסחה

A = «יצא 6», B = «יצא זוגי».

P(A∩B)=P(6)=16\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(6) \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

«שש וגם זוגי» זה פשוט «שש»

P(B)=36=12\begin{aligned}P(B) &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
P(A∣B)=1/61/2=13\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{1/6}{1/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיוק מה שראינו בספירה ישירה

מטילים קובייה. בהינתן שיצא יותר מ-3, מה ההסתברות שיצא 6?

Show the answer and the solution

העולם החדש: {4, 5, 6}. שלוש תוצאות שוות סיכוי, אחת מהן 6 — 13\frac{1}{3}.

הנוסחה עובדת גם הפוך — לפעמים נתונה המותנית ומחפשים את החיתוך. מסדרים מחדש: P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B). זה בדיוק כלל הכפל של העץ: ההסתברות של הענף השני תלויה במה שקרה בראשון.

בקופסה 4 סוללות, אחת ריקה. מוציאים שתיים בזו אחר זו בלי החזרה. מה ההסתברות שהריקה תצא שנייה?

Show the answer and the solution

צריך: הראשונה תקינה וגם השנייה ריקה. 34×13=14\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} — הענף השני חושב בעולם של שלוש סוללות שנשארו.

המלכודת המפורסמת.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B) = P(B \mid A)
שני מכנים שונים\text{שני מכנים שונים}

ההסתברות שגשם בהינתן עננים איננה ההסתברות לעננים בהינתן גשם. המונה משותף — המכנה קובע.

Exercises

Exercise 1

מטילים קובייה הוגנת. בהינתן שיצא מספר זוגי, מה ההסתברות שיצא 2? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.33

Worked solution:

{2,4,6}\{2, 4, 6\}

העולם החדש — שלוש תוצאות

13≈0.33\frac{1}{3} \approx 0.33
Check the answer on elev

Exercise 2

מטילים קובייה. בהינתן שיצא לכל היותר 4, מה ההסתברות שיצא 1? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
14=0.25\frac{1}{4} = 0.25
Check the answer on elev

Exercise 3

נתון P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

P(A∣B)=0.20.5=0.4\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 4

נתון P(A∣B)=0.6P(A \mid B) = 0.6 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)=0.5⋅0.6=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= P(B) \cdot P(A \mid B) \\ &= 0.5 \cdot 0.6 \\ &= 0.3\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 5

בקופסה 4 סוללות ואחת מהן ריקה. מוציאים שתיים בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן תקינות? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

34×23=612=12\begin{aligned}\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הענף השני — בעולם של שלוש נותרות

Check the answer on elev

Exercise 6

בכד 5 כדורים: 2 לבנים ו-3 שחורים. מוציאים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני לבנים? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.1

Worked solution:

25×14=220=0.1\begin{aligned}\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} &= \frac{2}{20} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחרי לבן ראשון נשאר לבן אחד מתוך ארבעה

Check the answer on elev

Exercise 7

בכיתה 25 תלמידים, 10 מהם בחוג רובוטיקה, ו-6 מתוך העשרה גם בחוג שחמט. בחרו תלמיד מחוג הרובוטיקה — מה ההסתברות שהוא גם בשחמט? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

610=0.6\frac{6}{10} = 0.6

העולם: עשרת הרובוטיקאים בלבד

Check the answer on elev

Exercise 8

מטילים שתי קוביות. בהינתן שסכומן 8, מה ההסתברות ששתיהן שוות? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

חמישה צירופים שסכומם 8

15=0.2\frac{1}{5} = 0.2

רק (4,4) שווה

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B) = 0.7. מהו P(A∣B)P(A \mid B)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

P(A∩B)=0.5+0.4−0.7=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5 + 0.4 - 0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

נוסחת האיחוד

P(A∣B)=0.20.4=0.5\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.2}{0.4} \\ &= 0.5\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 10

העננים מקדימים גשם. איזו טענה נכונה בהכרח?

  1. שתי המותניות שוות
  2. בהינתן גשם, סביר שהיו עננים
  3. עננים גורמים גשם
  4. בהינתן עננים, סביר שירד גשם
Show the answer and the solution

Answer: B בהינתן גשם, סביר שהיו עננים

Worked solution:

P(ענן∣גשם)≠P(גשם∣ענן)P(\text{ענן} \mid \text{גשם}) \ne P(\text{גשם} \mid \text{ענן})

רוב ימי העננים בכלל בלי גשם — אבל כמעט כל גשם בא עם עננים. שני הכיוונים חיים חיים נפרדים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade