Dependence and independence

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה שאחד קרה לא משנה את הסיכוי של השני: P(A∣B)=P(A)P(A \mid B) = P(A). שתי הטלות מטבע — בלתי תלויות: המטבע לא זוכר. שתי שליפות קלף בלי החזרה — תלויות: הקלף הראשון חסר בחפיסה.

AB בלתי תלויים  ⟺  P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\begin{aligned}A \\ B \ \text{בלתי תלויים} \iff P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B)\end{aligned}

זה המבחן המעשי: כופלים את שתי ההסתברויות ומשווים לחיתוך הנתון.

בדיקת אי-תלות במספרים

נתון: P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.4P(B) = 0.4, P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2.

P(A)⋅P(B)=0.5⋅0.4=0.2\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}
0.2=P(A∩B)0.2 = P(A \cap B)

שווה — בלתי תלויים

ואם היה נתון P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3?

Show the answer and the solution

אז 0.3≠0.20.3 \ne 0.2 — תלויים. ומכיוון ש-P(A∣B)=0.30.4=0.75>0.5P(A \mid B) = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 > 0.5, המאורע B «מעודד» את A.

עם החזרה, בלי החזרה

זו ההבחנה שחוזרת בכל שאלה: שליפה עם החזרה מחזירה את העולם לקדמותו — השליפות בלתי תלויות, וההסתברות זהה בכל שלב. שליפה בלי החזרה משנה את העולם — בענף השני של העץ המכנה קטן באחד.

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. מה ההסתברות לשני אדומים — עם החזרה, ובלי?

Show the answer and the solution

עם החזרה: 35⋅35=925\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}. בלי: 35⋅24=310\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10} — קטן יותר, כי האדום הראשון כבר לא בכד.

מה אי-תלות איננה.

זרים=בלתי תלויים\text{זרים} = \text{בלתי תלויים}
זרים⇒תלויים מאוד\text{זרים} \Rightarrow \text{תלויים מאוד}

מאורעות זרים לא יכולים לקרות יחד — אם A קרה, B בטוח לא. זו תלות חזקה, לא אי-תלות: P(A∩B)=0≠P(A)P(B)P(A \cap B) = 0 \ne P(A) P(B).

Exercises

Exercise 1

נתון P(A)=0.3P(A) = 0.3, P(B)=0.6P(B) = 0.6, P(A∩B)=0.18P(A \cap B) = 0.18. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. לא
  2. רק אם הם זרים
  3. אי אפשר לדעת
  4. כן
Show the answer and the solution

Answer: D כן

Worked solution:

0.3⋅0.6=0.18=P(A∩B)\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6 &= 0.18 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}

המבחן מתקיים

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון P(A)=0.5P(A) = 0.5, P(B)=0.2P(B) = 0.2, P(A∩B)=0.15P(A \cap B) = 0.15. האם A ו-B בלתי תלויים?

  1. כן
  2. אי אפשר לדעת
  3. לא
  4. רק אם A מכיל את B
Show the answer and the solution

Answer: C לא

Worked solution:

0.5⋅0.2=0.1≠0.150.5 \cdot 0.2 = 0.1 \ne 0.15

החיתוך גדול מהמכפלה — B מעודד את A

Check the answer on elev

Exercise 3

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(B)=0.5P(B) = 0.5. מהו P(A∩B)P(A \cap B)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

0.4⋅0.5=0.20.4 \cdot 0.5 = 0.2

באי-תלות החיתוך הוא פשוט המכפלה

Check the answer on elev

Exercise 4

A ו-B בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A) = 0.4 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B) = 0.1. מהו P(B)P(B)? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

P(B)=0.10.4=0.25\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.1}{0.4} \\ &= 0.25\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 5

בכד 3 אדומים ו-2 כחולים. שולפים שניים בלי החזרה. מה ההסתברות לשני אדומים? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

35×24=620=0.3\begin{aligned}\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} &= \frac{6}{20} \\ &= 0.3\end{aligned}

השליפה השנייה בעולם של ארבעה

Check the answer on elev

Exercise 6

מכונה א' מתקלקלת ביום נתון בהסתברות 0.1, ומכונה ב' — 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שהיום שתיהן יתקלקלו? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.02

Worked solution:

0.1⋅0.2=0.020.1 \cdot 0.2 = 0.02
Check the answer on elev

Exercise 7

באותם נתונים: מה ההסתברות שהיום אף אחת לא תתקלקל? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

המשלימים גם הם בלתי תלויים

Check the answer on elev

Exercise 8

באותם נתונים: מה ההסתברות שלפחות אחת תתקלקל? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.28

Worked solution:

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים של «אף אחת»

Check the answer on elev

Exercise 9

A ו-B זרים (לא יכולים לקרות יחד), ו-P(A),P(B)>0P(A), P(B) > 0. האם הם בלתי תלויים?

  1. כן — זה אותו דבר
  2. תלוי במספרים
  3. רק אם שניהם קטנים מחצי
  4. לא — זרות היא תלות חזקה
Show the answer and the solution

Answer: D לא — זרות היא תלות חזקה

Worked solution:

P(A∩B)=0≠P(A)⋅P(B)>0P(A \cap B) = 0 \ne P(A) \cdot P(B) > 0

אם A קרה, B נפסל מיד — הידיעה שינתה הכול. זרות ואי-תלות הן כמעט הפכים.

Check the answer on elev

Exercise 10

קולע חופשי מצליח בהסתברות 0.7, זריקות בלתי תלויות. מה ההסתברות שיצליח בדיוק בשתיים משלוש זריקות? (עגלו לשלוש ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 0.441

Worked solution:

3⋅0.72⋅0.33 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3

שלושה מסלולים: ההחטאה בזריקה 1, 2 או 3

3⋅0.49⋅0.3=0.4413 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade