Solving together · Probability · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של שאלון 35471: עץ עם הסתברות מותנית «הפוכה», טבלה דו-ממדית, הוצאה בלי החזרה עם נעלם $x$ , ואי-תלות עם «לפחות אחד». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל סעיף שאלו: מהו העולם (המכנה)? «מבין ה...», «בהינתן ש...», «ידוע ש...» מצמצמים את העולם. בלי מילים כאלה העולם הוא כל האוכלוסייה.

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

Interactive activity

בספרייה עירונית 60% מהמנויים הם תלמידים והשאר מבוגרים. 70% מהתלמידים ו-20% מהמבוגרים שאלו החודש ספר דיגיטלי. בוחרים מנוי באקראי. א. מה ההסתברות שהוא שאל ספר דיגיטלי? ב. ידוע שהמנוי שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא תלמיד? ג. ידוע שהמנוי לא שאל ספר דיגיטלי. מה ההסתברות שהוא מבוגר? ד. בוחרים שני מנויים. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם שאל ספר דיגיטלי?

\begin{aligned}P(T) &= 0.6 \\ \quad P(D \mid T) &= 0.7 \\ \quad P(D \mid \bar{T}) &= 0.2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». העץ: בשלב הראשון תלמיד או מבוגר, בשלב השני דיגיטלי או לא.

עץ

\begin{aligned}P(\bar{T}) &= 0.4 \\ \quad P(\bar{D} \mid T) &= 0.3 \\ \quad P(\bar{D} \mid \bar{T}) &= 0.8\end{aligned}

משלימים כל נקודת פיצול ל-1.

א.

\begin{aligned}P(D) &= 0.6 \cdot 0.7+0.4 \cdot 0.2 \\ &= 0.42+0.08 \\ &= 0.5\end{aligned}

שני מסלולים מגיעים ל«דיגיטלי»: מחברים.

ב.

\begin{aligned}P(T \mid D) &= \frac{P(T \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.42}{0.5} \\ &= 0.84\end{aligned}

העולם החדש: מי ששאל ספר דיגיטלי.

ג.

\begin{aligned}P(\bar{T} \mid \bar{D}) &= \frac{0.4 \cdot 0.8}{1-0.5} \\ &= \frac{0.32}{0.5} \\ &= 0.64\end{aligned}

העולם: מי שלא שאל, $P(\bar{D})=0.5$ .

ד.

2 \cdot 0.5 \cdot 0.5=0.5

«בדיוק אחד»: הראשון כן והשני לא, או להפך. שני סדרים.

בסעיף ב הנתון $0.7$ הוא $P(D \mid T)$ , והשאלה על $P(T \mid D)$ . אלה שני מספרים שונים: $0.7$ ו- $0.84$ .

Do the activity on elev

האם המאורעות «המנוי תלמיד» ו«המנוי שאל ספר דיגיטלי» בלתי תלויים?

Show the answer and the solution

לא. $P(T)=0.6$ אבל $P(T \mid D)=0.84$ : הידיעה שהמנוי שאל ספר דיגיטלי משנה את הסיכוי שהוא תלמיד. אפשר לבדוק גם במכפלה: $0.6 \cdot 0.5=0.3 \neq 0.42$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה, ושאלה 5 בודקת טענה על אותם נתונים.

2 — טבלה דו-ממדית

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים)

	אוטובוס	אופניים	ברגל	סך הכול
בנים	40	30	30	100
בנות	50	10	40	100
סך הכול	90	40	70	200

Interactive activity

מי מגיע ברגל?

הטבלה מתארת איך מגיעים 200 תלמידי שכבה לבית הספר. בוחרים באקראי תלמיד שמגיע ברגל. מה ההסתברות שהוא בן?

$\frac{3}{10}$

$0.15$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{7}$

מהו העולם בשאלה הזאת?

כל 200 התלמידים

Show the answer and the solution

«תלמיד שמגיע ברגל» כבר ידוע. העולם הצטמצם.

70 התלמידים שמגיעים ברגל

Show the answer and the solution

העמודה «ברגל» היא המכנה.

100 הבנים

Show the answer and the solution

זה העולם של $P(\text{ברגל} \mid \text{בן})$ , השאלה ההפוכה.

30+40=70

סכום העמודה «ברגל».

כמה מתוכם בנים?

Show the answer and the solution

המשבצת בשורה «בנים» ובעמודה «ברגל».

Show the answer and the solution

זה מספר הבנים בכל השכבה, לא בתוך העמודה.

\begin{aligned}P(\text{בן} \mid \text{ברגל}) &= \frac{30}{70} \\ &= \frac{3}{7}\end{aligned}

המשבצת חלקי סכום העמודה.

Show the answer and the solution

התשובה: $\frac{3}{7}$ . $\frac{3}{10}$ הוא $\frac{30}{100}$ : ההסתברות שבן מגיע ברגל. $0.15$ הוא $\frac{30}{200}$ : ההסתברות לבן וגם ברגל. $\frac{1}{2}$ הוא אחוז הבנים בכל השכבה.

Do the activity on elev

לפי הטבלה, האם המאורעות «התלמיד בן» ו«התלמיד מגיע באופניים» בלתי תלויים?

Show the answer and the solution

לא. $P(\text{בן})=\frac{100}{200}=0.5$ ו- $P(\text{אופניים})=\frac{40}{200}=0.2$ . המכפלה $0.1$ , אבל $P(\text{בן} \cap \text{אופניים})=\frac{30}{200}=0.15$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$

Interactive activity

בקופסה 3 כדורים לבנים ו- $x$ כדורים שחורים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא $\frac{1}{5}$ . א. מצאו את $x$ . ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות שהם לבנים?

\begin{aligned}P(\text{2 לבנים}) &= \frac{3}{x+3} \cdot \frac{2}{x+2} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בשליפה השנייה בקופסה כדור אחד פחות: גם המונה וגם המכנה קטנים.

א. משוואה

\begin{aligned}\frac{6}{(x+3)(x+2)} &= \frac{1}{5} \ \Rightarrow \ (x+3)(x+2) \\ &= 30\end{aligned}

כפל בהצלבה.

א.

\begin{aligned}x^2+5x-24 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -8\end{aligned}

$x$ הוא מספר כדורים, ולכן $x=3$ . בקופסה 6 כדורים.

ב.

\begin{aligned}\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5}+\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} &= \frac{6}{30}+\frac{6}{30} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

לבן-לבן או שחור-שחור.

ג.

\frac{6/30}{12/30}=\frac{1}{2}

המונה: לבן-לבן. המכנה: התשובה של סעיף ב.

המשוואה הריבועית היא הצעד שחוזר בבגרות: הסתברות נתונה, ומספר הכדורים נעלם.

Do the activity on elev

ואם היו מוציאים את שני הכדורים עם החזרה, מה הייתה ההסתברות לשני לבנים (עם $x=3$ )?

Show the answer and the solution

$\frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$ . עם החזרה העולם לא משתנה, והשליפות בלתי תלויות. בלי החזרה יוצא $\frac{1}{5}$ , פחות: הלבן הראשון חסר בשליפה השנייה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

Interactive activity

שני חיישנים

בחממה שני חיישנים שבודקים אם האדמה יבשה. הם פועלים באופן בלתי תלוי. החיישן הראשון מתריע ביום נתון בהסתברות $0.4$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מתריע היא $0.7$ . מה ההסתברות שהחיישן השני מתריע?

$0.3$

$0.5$

$0.75$

$0.28$

איך הכי קל לתרגם «לפחות אחד»?

$0.4+p=0.7$

Show the answer and the solution

החיבור סופר פעמיים את היום שבו שניהם מתריעים.

דרך המשלים: אף אחד לא מתריע

Show the answer and the solution

«לפחות אחד» הוא ההפך של «אף אחד».

1-0.7=0.3

המאורע המשלים.

מה ההסתברות שאף אחד לא מתריע, בעזרת $p$ ?

$0.6(1-p)$

Show the answer and the solution

שני הלא-מתריעים, והם בלתי תלויים: כופלים.

$0.6-p$

Show the answer and the solution

«גם וגם» של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

\begin{aligned}0.6(1-p) &= 0.3 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים.

Show the answer and the solution

התשובה: $0.5$ . $0.3$ יוצא מ- $0.4+p=0.7$ , שמתעלם מהחיתוך. $0.75$ הוא $\frac{0.3}{0.4}$ , ו- $0.28$ הוא $0.4 \cdot 0.7$ : שניהם מערבבים את הנתונים בלי משוואה.

Do the activity on elev

עם $p=0.5$ : מה ההסתברות שבדיוק אחד החיישנים מתריע?

Show the answer and the solution

$0.4 \cdot 0.5+0.6 \cdot 0.5=0.2+0.3=0.5$ . בדיקה: «לפחות אחד» ( $0.7$ ) הוא «בדיוק אחד» ( $0.5$ ) ועוד «שניהם» ( $0.4 \cdot 0.5=0.2$ ) ✓

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. בוחרים קונה באקראי. מצאו את ההסתברות שקנה בחנות הספרים, ואת ההסתברות שהגיע ברכבת אם ידוע שקנה בחנות הספרים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

$P(\text{books})=$ ____ ; $P(\text{train} \mid \text{books})=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $P(\text{books})=$ 0.32 ; $P(\text{train} \mid \text{books})=$ 0.56

Worked solution:

\begin{aligned}0.3 \cdot 0.6+0.7 \cdot 0.2 &= 0.18+0.14 \\ &= 0.32\end{aligned}

שני מסלולים

\frac{0.18}{0.32}=0.5625 \approx 0.56

העולם: מי שקנה ספרים

הנתון $0.6$ הוא $P(\text{ספרים} \mid \text{רכבת})$ . השאלה הפוכה, והמכנה הוא $0.32$ , לא $0.3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

משקה הבוקר בקפטריה (100 אנשים)

	קפה	תה	מים	סך הכול
עובדים	30	10	20	60
סטודנטים	20	15	5	40
סך הכול	50	25	25	100

הטבלה מתארת את משקה הבוקר של 100 אנשים בקפטריה של מכללה. בוחרים באקראי אדם ששותה תה. מה ההסתברות שהוא סטודנט? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

10+15=25

העולם: עמודת התה

\frac{15}{25}=0.6

סטודנטים בתוך העמודה

$\frac{15}{40}$ עונה על השאלה ההפוכה: סטודנט ששותה תה. $\frac{15}{100}$ הוא החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

בקופסה 4 כדורים אדומים ו- $x$ כדורים כחולים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששניהם אדומים היא $\frac{2}{7}$ . מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\frac{4}{x+4} \cdot \frac{3}{x+3}=\frac{2}{7}

בלי החזרה

\begin{aligned}(x+4)(x+3) &= 42 \ \Rightarrow \ x^2+7x-30 \\ &= 0\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}x &= 3 \\ \ x &= -10\end{aligned}

$x=-10$ נפסל

מי שכתב $\frac{4}{x+4} \cdot \frac{4}{x+4}$ פתר עם החזרה. בשליפה השנייה נשארו 3 אדומים מתוך $x+3$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

שני אנשי צוות בודקים בנפרד כל חבילה במחסן, באופן בלתי תלוי. הראשון מוצא פגם בחבילה פגומה בהסתברות $0.2$ . ההסתברות שלפחות אחד מהם מוצא את הפגם היא $0.52$ . מה ההסתברות שהשני מוצא את הפגם? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

1-0.52=0.48

אף אחד לא מוצא

\begin{aligned}0.8(1-p) &= 0.48 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.6\end{aligned}

מכפלה של שני המשלימים

p=0.4

התשובה

$0.2+p=0.52$ נותן $0.32$ : הוא סופר פעמיים את המקרה ששניהם מוצאים.

Check the answer on elev

Exercise 5

בקניון, 30% מהקונים מגיעים ברכבת הקלה והשאר ברכב. 60% מהמגיעים ברכבת ו-20% מהמגיעים ברכב קונים בחנות הספרים. עיתון מקומי כתב: «רוב הקונים בחנות הספרים הגיעו ברכבת». הטענה נכונה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}P(\text{רכבת} \mid \text{ספרים}) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\end{aligned}

מהשאלה הראשונה

0.5625>0.5

יותר ממחצית

הטענה נכונה אף שרק 30% מכל הקונים מגיעים ברכבת. «רוב הקונים בחנות» מדבר על העולם של חנות הספרים, לא על כל הקניון.

Check the answer on elev

1 — עץ, הסתברות שלמה ובייס

2 — טבלה דו-ממדית

3 — בלי החזרה, עם נעלם xxx

4 — אי-תלות ו«לפחות אחד»

Exercises

Keep practising on elev

3 — בלי החזרה, עם נעלם $x$