Set 2 — medium · Probability · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: בייס, איחוד וחיתוך, בלי החזרה עם הסתברות מותנית, טבלה להשלמה, נעלם $p$ , והעברה משקית לשקית.

כשהנתונים באחוזים, בנו עץ. כשהם מספרים של אנשים, בנו טבלה. ובכל «ידוע ש...»: חשבו קודם את המכנה, ורק אחר כך את המונה.

Exercises

Exercise 1

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. מה ההסתברות שהמוצר פגום? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.032

Worked solution:

0.6 \cdot 0.02=0.012

מכונה א ופגום

0.4 \cdot 0.05=0.02

מכונה ב ופגום

0.012+0.02=0.032

הסתברות שלמה

ממוצע פשוט של 2% ו-5% (3.5%) מתעלם מכך שמכונה א מייצרת יותר.

Check the answer on elev

Exercise 2

במפעל שתי מכונות. מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, ו-2% מהם פגומים. מכונה ב מייצרת את השאר, ו-5% מהם פגומים. בוחרים מוצר באקראי. ידוע שהמוצר פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה א? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

P(\text{א} \cap \text{פגום})=0.012

המונה

\frac{0.012}{0.032}=0.375

המכנה: כל הפגומים

מכונה א מייצרת 60% מהמוצרים, אבל רק 37.5% מהפגומים: אחוז הפגומים שלה נמוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . מהו $P(B \mid A)$ ? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.5+0.4-0.7 \\ &= 0.2\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.2}{0.5} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: $P(A)$

בהינתן $A$ המכנה הוא $P(A)=0.5$ . $\frac{0.2}{0.4}$ הוא $P(A \mid B)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A \cup B)=0.7$ . האם $A$ ו- $B$ בלתי תלויים?

לא, כי $P(A \cap B) \neq 0$
כן, כי $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$
לא, כי $P(A)+P(B) \neq P(A \cup B)$
אי אפשר לדעת

Show the answer and the solution

Answer: B כן, כי $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$

Worked solution:

P(A \cap B)=0.2

מנוסחת האיחוד

\begin{aligned}P(A) \cdot P(B) &= 0.5 \cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

שווה: בלתי תלויים

\begin{aligned}P(B \mid A) &= 0.4 \\ &= P(B)\end{aligned}

ובדיקה נוספת

$P(A)+P(B) \neq P(A \cup B)$ אומר רק שהמאורעות אינם זרים. זה לא מבחן לאי-תלות.

Check the answer on elev

Exercise 5

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. מה ההסתברות שהסוכריות בצבעים שונים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.54

Worked solution:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

ירוקה ואחר כך צהובה

\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56}

צהובה ואחר כך ירוקה

\frac{30}{56} \approx 0.54

שני סדרים

«צבעים שונים» הם שני מסלולים. מי שענה $0.27$ חישב סדר אחד.

Check the answer on elev

Exercise 6

בשקית 3 סוכריות ירוקות ו-5 צהובות. מוציאים שתי סוכריות בזו אחר זו, בלי החזרה. ידוע שהסוכריות בצבעים שונים. מה ההסתברות שהראשונה ירוקה? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{15}{56}

המסלול ירוקה-צהובה

\frac{15/56}{30/56}=0.5

המכנה מהשאלה הקודמת

התשובה אינה $\frac{3}{8}$ : הידיעה «צבעים שונים» משנה את העולם, ושני הסדרים שווים בו.

Check the answer on elev

Exercise 7

בשכבה 200 תלמידים, מהם 120 בנים. ל-45% מכל התלמידים יש חיית מחמד, ול-40% מהבנים יש חיית מחמד. השלימו: כמה בנות עם חיית מחמד, ומה ההסתברות שלבת שנבחרה באקראי יש חיית מחמד.

בנות עם חיית מחמד: ____ ; $P(\text{חיה} \mid \text{בת})=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: בנות עם חיית מחמד: 42 ; $P(\text{חיה} \mid \text{בת})=$ 0.525

Worked solution:

0.45 \cdot 200=90

כל בעלי החיות

0.4 \cdot 120=48

בנים עם חיה

90-48=42

בנות עם חיה

\frac{42}{80}=0.525

העולם: 80 הבנות

40% הוא מתוך הבנים (120), לא מתוך כל השכבה. ובסוף המכנה הוא 80, לא 200.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון $P(A)=0.3$ , $P(B)=0.6$ ו- $P(A \cap B)=0.12$ . לכן $P(B \mid A)=2 \cdot P(A \mid B)$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.12}{0.6} \\ &= 0.2\end{aligned}

המכנה $P(B)$

\begin{aligned}P(B \mid A) &= \frac{0.12}{0.3} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה $P(A)$

0.4=2 \cdot 0.2

נכון

אותו מונה, מכנים שונים. $P(A \mid B)$ ו- $P(B \mid A)$ שווים רק כש- $P(A)=P(B)$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

שני צלמים מצלמים ציפור נדירה, כל אחד באופן בלתי תלוי. הראשון מצליח בהסתברות $0.8$ והשני בהסתברות $p$ . ההסתברות שבדיוק אחד מהם מצליח היא $0.5$ . מצאו את $p$ . (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

0.8(1-p)+0.2p=0.5

שני מסלולים: רק הראשון, רק השני

\begin{aligned}0.8-0.6p &= 0.5 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

פותרים

«בדיוק אחד» הם שני מסלולים. מי שכתב רק $0.8(1-p)=0.5$ קיבל $p=0.375$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

בשקית א 2 כדורים אדומים ו-3 כחולים. בשקית ב כדור אדום אחד וכדור כחול אחד. מוציאים כדור משקית א ומעבירים אותו לשקית ב, ואז מוציאים כדור משקית ב. מה ההסתברות שהכדור השני אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.47

Worked solution:

\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}

הועבר אדום: בשקית ב 2 אדומים מתוך 3

\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}

הועבר כחול: בשקית ב אדום אחד מתוך 3

\frac{4}{15}+\frac{3}{15}=\frac{7}{15} \approx 0.47

מחברים

אחרי ההעברה בשקית ב שלושה כדורים. מי שחישב מתוך 2 שכח את הכדור שהועבר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev