Set 3 — towards the bagrut · Probability · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של שאלון 35471, מחולקות לסעיפים: עץ עם בייס וטענה של עיתון (א–ד), טבלה דו-ממדית עם בדיקת תלות (א–ג), והוצאה בלי החזרה עם נעלם $x$ (א–ג). כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כמו בבחינה: עץ או טבלה לפני הסעיף הראשון, ובכל סעיף אמרו מהו העולם. תשובה של סעיף קודם היא בדרך כלל המכנה של הסעיף הבא.

Exercises

Exercise 1

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. א. מה ההסתברות שהנבחן עבר את המבחן? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.76

Worked solution:

0.4 \cdot 0.85=0.34

אפליקציה ועבר

0.6 \cdot 0.7=0.42

ספר ועבר

0.34+0.42=0.76

הסתברות שלמה

הממוצע $\frac{0.85+0.7}{2}=0.775$ שגוי: יש יותר נבחנים שהתכוננו בספר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ב. ידוע שהנבחן עבר את המבחן. מה ההסתברות שהוא התכונן באפליקציה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.45

Worked solution:

P(\text{אפליקציה} \cap \text{עבר})=0.34

מסעיף א

\frac{0.34}{0.76} \approx 0.45

העולם: מי שעבר

$0.85$ הוא $P(\text{עבר} \mid \text{אפליקציה})$ , הכיוון ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ג. ידוע שהנבחן לא עבר את המבחן. מה ההסתברות שהוא התכונן בספר? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

\begin{aligned}P(\overline{\text{עבר}}) &= 1-0.76 \\ &= 0.24\end{aligned}

המשלים של סעיף א

\begin{aligned}P(\text{ספר} \cap \overline{\text{עבר}}) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}

המסלול

\frac{0.18}{0.24}=0.75

העולם: מי שלא עבר

המכנה הוא $0.24$ , לא $0.3$ : $0.3$ הוא אחוז הנכשלים מתוך המתכוננים בספר.

Check the answer on elev

Exercise 4

מבין הנבחנים במבחן התיאוריה בנהיגה, 40% התכוננו באפליקציה והשאר התכוננו בספר. מבין אלה שהתכוננו באפליקציה 85% עברו את המבחן, ומבין אלה שהתכוננו בספר 70% עברו. בוחרים נבחן באקראי. ד. עיתון כתב: «רוב מי שעברו את המבחן התכוננו באפליקציה». הטענה נכונה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

P(\text{אפליקציה} \mid \text{עבר}) \approx 0.45

מסעיף ב

0.45<0.5

פחות ממחצית

באפליקציה אחוז ההצלחה גבוה יותר (85% מול 70%), אבל רוב מי שעברו התכוננו בספר, כי בספר התכוננו יותר נבחנים. אל תבלבלו בין $P(\text{עבר} \mid \text{אפליקציה})$ לבין $P(\text{אפליקציה} \mid \text{עבר})$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. א. מה ההסתברות שהתושב מעדיף רכבת? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.22

Worked solution:

70+40=110

סכום העמודה «רכבת»

\frac{110}{500}=0.22

העולם: כל 500 התושבים

אין «ידוע ש...»: המכנה הוא 500. $\frac{70}{200}$ הוא רק אחוז מעדיפי הרכבת עד גיל 40.

Check the answer on elev

Exercise 6

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. ב. ידוע שהתושב מעדיף אוטובוס. מה ההסתברות שהוא מעל גיל 40? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.43

Worked solution:

80+60=140

העולם: עמודת «אוטובוס»

\frac{60}{140} \approx 0.43

מעל גיל 40 בתוך העמודה

$\frac{60}{300}=0.2$ עונה על השאלה ההפוכה: מי שמעל 40 ומעדיף אוטובוס.

Check the answer on elev

Exercise 7

אמצעי התחבורה המועדף (500 תושבים)

	אוטובוס	רכבת	רכב פרטי	סך הכול
עד גיל 40	80	70	50	200
מעל גיל 40	60	40	200	300
סך הכול	140	110	250	500

בסקר נשאלו 500 תושבים של עיר מהו אמצעי התחבורה המועדף עליהם. התוצאות בטבלה. בוחרים תושב באקראי. ג. האם המאורעות «התושב עד גיל 40» ו«התושב מעדיף רכבת» בלתי תלויים?

לא, כי $0.4+0.22 \neq 1$
לא, כי $0.4 \cdot 0.22 \neq 0.14$
כן, כי שני המאורעות יכולים לקרות יחד
כן, כי $0.4 \cdot 0.22=0.088$

Show the answer and the solution

Answer: B לא, כי $0.4 \cdot 0.22 \neq 0.14$

Worked solution:

\begin{aligned}P(\text{עד 40}) &= \frac{200}{500} \\ &= 0.4 \qquad P(\text{רכבת}) \\ &= 0.22\end{aligned}

ההסתברויות הבודדות

\begin{aligned}P(\text{עד 40} \cap \text{רכבת}) &= \frac{70}{500} \\ &= 0.14\end{aligned}

המשבצת

0.4 \cdot 0.22=0.088 \neq 0.14

תלויים

המבחן הוא השוואה בין המכפלה לבין החיתוך. המכפלה לבדה לא אומרת כלום, ומאורעות שיכולים לקרות יחד יכולים להיות תלויים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . א. מצאו את $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\frac{5}{x+5} \cdot \frac{4}{x+4}=\frac{2}{9}

בלי החזרה

\begin{aligned}(x+5)(x+4) &= 90 \ \Rightarrow \ x^2+9x-70 \\ &= 0\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}x &= 5 \\ \ x &= -14\end{aligned}

$x=-14$ נפסל

בשליפה השנייה נשארו 4 תפוזים מתוך $x+4$ פירות. עם החזרה המשוואה הייתה אחרת לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 9

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . ב. מה ההסתברות שיוצאים פרי אחד מכל סוג? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.56

Worked solution:

x=5: \ 10 \ \text{פירות}

מסעיף א

\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}+\frac{5}{10} \cdot \frac{5}{9}=\frac{50}{90}

תפוז-קלמנטינה או קלמנטינה-תפוז

=\frac{5}{9} \approx 0.56

התשובה

שני סדרים. בדיקה: שני תפוזים $\frac{2}{9}$ , שתי קלמנטינות $\frac{2}{9}$ , אחד מכל סוג $\frac{5}{9}$ . הסכום $1$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 10

בקערה 5 תפוזים ו- $x$ קלמנטינות. מוציאים שני פירות בזה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הפירות תפוזים היא $\frac{2}{9}$ . ג. ידוע ששני הפירות מאותו סוג. מה ההסתברות ששניהם תפוזים? (עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}

שני תפוזים או שתי קלמנטינות

\frac{2/9}{4/9}=\frac{1}{2}

העולם: אותו סוג

התשובה אינה $\frac{2}{9}$ : הידיעה «אותו סוג» מצמצמת את העולם. עם 5 מכל סוג, שני הסוגים שווים בו.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev