The derivative of g·√f

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכיתה י גזרנו x+3\sqrt{x+3}: גרף שמתחיל בנקודה אחת ורק עולה. עכשיו נכפול אותו בגורם xx. הסתכלו מה קורה לגרף לפני שגוזרים משהו.

y = x√(x + 3)
(−3,0)(−2,−2)(0,0)אין גרף-4-3-2-10123-3-2-11234567xy
הגרף מתחיל ב-(−3,0)(-3,0), יורד עד (−2,−2)(-2,-2), ורק אחר כך עולה ועובר ב-(0,0)(0,0). ל-√(x+3)\surd(x+3) לבד אין ירידה כזו: הגורם xx הוא שיצר אותה.

לפי הגרף: מאיזה xx הפונקציה מוגדרת, ולמה הגרף מתחת לציר ה-xx בין −3-3 ל-00?

Show the answer and the solution

התחום הוא x≥−3x \geq -3, כמו של השורש לבדו. בין −3-3 ל-00 הגורם xx שלילי והשורש חיובי, ולכן המכפלה שלילית. ב-x=0x=0 הגורם מתאפס והגרף חוצה את הציר.

תחום ההגדרה ונקודות האפס של g(x)ax+bg(x)\sqrt{ax+b}

gg הוא פולינום, והוא מוגדר לכל xx. לכן התחום נקבע רק על ידי השורש: ax+b≥0ax+b \geq 0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס, אבל רק אם הנקודה בתחום.

xx+3 : x≥−3x\sqrt{x+3} \ : \ x \geq -3

אפסים: x=0x=0 ו-x=−3x=-3

(x−5)2x+4 : x≥−2(x-5)\sqrt{2x+4} \ : \ x \geq -2

אפסים: x=5x=5 ו-x=−2x=-2

(x+4)1−x : x≤1(x+4)\sqrt{1-x} \ : \ x \leq 1

אפסים: x=−4x=-4 ו-x=1x=1

(x−6)2−x : x≤2(x-6)\sqrt{2-x} \ : \ x \leq 2

אפס אחד בלבד, x=2x=2. הערך x=6x=6 מחוץ לתחום

גוזרים: כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת

(g⋅f)′=g′⋅f+g⋅f′2f\left(g \cdot \sqrt{f}\right)' = g' \cdot \sqrt{f} + g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}
(ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{ax+b}\right)' = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

הנגזרת הפנימית aa עולה למונה, עם הסימן שלה

אחרי הגזירה מביאים למכנה משותף 2f2\sqrt{f}. כך מתקבל שבר אחד, והנגזרת מתאפסת בדיוק כשהמונה מתאפס.

גוזרים ומכנסים

נתונה f(x)=(x−2)x+1f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}. מצאו את f′(x)f'(x) כשבר אחד, ומצאו איפה היא מתאפסת.

f′(x)=1⋅x+1+(x−2)⋅12x+1f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+1}+(x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

כלל המכפלה

=2(x+1)+(x−2)2x+1=\frac{2(x+1)+(x-2)}{2\sqrt{x+1}}

מכנה משותף: x+1⋅2x+1=2(x+1)\sqrt{x+1} \cdot 2\sqrt{x+1}=2(x+1)

=3x2x+1 ,x>−1=\frac{3x}{2\sqrt{x+1}} \ ,\quad x>-1

מכנסים את המונה

f′(x)=0 ⇒ 3x=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס. x=0x=0 בתחום

למה כתבנו x>−1x>-1 ולא x≥−1x \geq -1 ליד הנגזרת?

Show the answer and the solution

ב-x=−1x=-1 המכנה 2x+12\sqrt{x+1} הוא 00. הפונקציה מוגדרת שם, f(−1)=0f(-1)=0, אבל הנגזרת לא. על הנקודה הזו נדבר ביחידה הבאה.

כש-gg ממעלה שנייה

הדרך זהה. רק שהמונה יוצא ממעלה שנייה, ולעתים קרובות אפשר להוציא ממנו גורם משותף.

נגזרת של x25−xx^2\sqrt{5-x}

נתונה f(x)=x25−xf(x)=x^2\sqrt{5-x}. מצאו את f′(x)f'(x) ואת האפסים שלה.

f′(x)=2x5−x+x2⋅−125−xf'(x)=2x\sqrt{5-x}+x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של 5−x5-x היא −1-1

=4x(5−x)−x225−x=20x−5x225−x=\frac{4x(5-x)-x^2}{2\sqrt{5-x}}=\frac{20x-5x^2}{2\sqrt{5-x}}

מכנה משותף

=5x(4−x)25−x ,x<5=\frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}} \ ,\quad x<5

גורם משותף 5x5x

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= 4\end{aligned}

שני האפסים, ושניהם בתחום x≤5x \leq 5

נתונה f(x)=x+2x+1f(x)=x+\sqrt{2x+1}, סכום ולא מכפלה. מהי f′(x)f'(x)?

Show the answer and the solution

f′(x)=1+12x+1f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}. בסכום גוזרים כל מחובר לחוד, בלי כלל המכפלה. הנגזרת חיובית בכל x>−12x>-\frac{1}{2}, ולכן הפונקציה עולה בכל התחום.

תבנית שכדאי לזכור: אחרי מכנה משותף, הנגזרת של gax+bg\sqrt{ax+b} היא תמיד פולינום חלקי 2ax+b2\sqrt{ax+b}. הסימן של המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f' הוא הסימן של המונה.

שלוש טעויות בגזירת מכפלה עם שורש.

(5−x)′=125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}
(5−x)′=−125−x\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של 5−x5-x היא −1-1. בלי המינוס, כל הסימנים של f′f' מתהפכים.

(xx+3)′=1⋅12x+3\left(x\sqrt{x+3}\right)'=1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}
x+3+x2x+3\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}

מכפלה נגזרת בכלל המכפלה: שני מחוברים.

x+1+x−22x+1=2x+1+x−22x+1\sqrt{x+1}+\frac{x-2}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2\sqrt{x+1}+x-2}{2\sqrt{x+1}}
=2(x+1)+x−22x+1=\frac{2(x+1)+x-2}{2\sqrt{x+1}}

במכנה משותף כופלים את x+1\sqrt{x+1} ב-2x+12\sqrt{x+1}, ומקבלים 2(x+1)2(x+1), בלי שורש.

Exercises

Exercise 1

מהו תחום ההגדרה של f(x)=(x+5)12−3xf(x)=(x+5)\sqrt{12-3x}?

  1. x≥−5x \geq -5
  2. x≥4x \geq 4
  3. −5≤x≤4-5 \leq x \leq 4
  4. x≤4x \leq 4
Show the answer and the solution

Answer: D x≤4x \leq 4

Worked solution:

12−3x≥0 ⇒ x≤412-3x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

רק השורש מגביל

x+5x+5

פולינום: מוגדר לכל xx

הנכונה: x≤4x \leq 4. x≥−5x \geq -5 מגיע מהגורם x+5x+5, אבל פולינום לא מגביל את התחום. x≥4x \geq 4 שכח להפוך את הכיוון.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=(x−6)2−xf(x)=(x-6)\sqrt{2-x}. באילו נקודות הגרף חותך את ציר ה-xx?

  1. רק ב-x=2x=2
  2. אין נקודות חיתוך
  3. ב-x=6x=6 וב-x=2x=2
  4. רק ב-x=6x=6
Show the answer and the solution

Answer: A רק ב-x=2x=2

Worked solution:

2−x≥0 ⇒ x≤22-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 2

תחום

x−6=0 ⇒ x=6∉תחום\begin{aligned}x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \notin \text{תחום}\end{aligned}

נפסל

2−x=0 ⇒ x=2\begin{aligned}\sqrt{2-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה בתחום

הנכונה: רק x=2x=2. מי שבחר גם x=6x=6 לא בדק את התחום: שם השורש −4\sqrt{-4} לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=xx+5f(x)=x\sqrt{x+5}. חשבו את f′(−1)f'(-1).

Show the answer and the solution

Answer: 1.75

Worked solution:

f′(x)=x+5+x2x+5=3x+102x+5\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+5}+\frac{x}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{3x+10}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

f′(−1)=72⋅2=74=1.75\begin{aligned}f'(-1) &= \frac{7}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{7}{4} \\ &= 1.75\end{aligned}

מציבים

f′(−1)=1.75f'(-1)=1.75. מי שקיבל 22 הציב רק במחובר הראשון, 4\sqrt{4}, ושכח את x2x+5\frac{x}{2\sqrt{x+5}}.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=(x+3)1−xf(x)=(x+3)\sqrt{1-x}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. 5−x21−x\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}}
  2. −3x+521−x\frac{-3x+5}{2\sqrt{1-x}}
  3. −121−x\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}
  4. −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}
Show the answer and the solution

Answer: D −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}

Worked solution:

f′(x)=1−x+(x+3)⋅−121−xf'(x)=\sqrt{1-x}+(x+3) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}

כלל המכפלה; הנגזרת הפנימית −1-1

=2(1−x)−(x+3)21−x=−3x−121−x=\frac{2(1-x)-(x+3)}{2\sqrt{1-x}}=\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}

מכנה משותף

הנכונה: −3x−121−x\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}. 5−x21−x\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}} שכחה את ה-−1-1 של הנגזרת הפנימית. −121−x\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} כפלה את הנגזרות.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x^2\sqrt{x+5}. מצאו את הערכים של xx שבהם f′(x)=0f'(x)=0.

הקטן: x=x= ____ , הגדול: x=x= ____

Show the answer and the solution

Answer: הקטן: x=x= -4 , הגדול: x=x= 0

Worked solution:

f′(x)=2xx+5+x22x+5=4x(x+5)+x22x+5\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף

=5x2+20x2x+5=5x(x+4)2x+5=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}=\frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}}

גורם משותף

x=0 x=−4\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= -4\end{aligned}

שניהם בתחום x>−5x>-5

שני אפסים, −4-4 ו-00. מי שמצמצם ב-xx לפני שפותר מאבד את x=0x=0.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x+41−xf(x)=x+4\sqrt{1-x}. באיזה xx מתקיים f′(x)=0f'(x)=0?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f′(x)=1+4⋅−121−x=1−21−x\begin{aligned}f'(x) &= 1+4 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ &= 1-\frac{2}{\sqrt{1-x}}\end{aligned}

סכום: גוזרים כל מחובר

1−x=2 ⇒ 1−x=4 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{1-x} &= 2 \ \Rightarrow \ 1-x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

משוואה

f′(−3)=1−22=0\begin{aligned}f'(-3) &= 1-\frac{2}{2} \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

x=−3x=-3. בסכום אין כלל מכפלה, אבל יש כלל שרשרת: בלי ה-−1-1 מתקבל 1+21−x1+\frac{2}{\sqrt{1-x}}, שלא מתאפס לעולם.

Check the answer on elev

Exercise 7

גוזרים את f(x)=(x−7)x+2f(x)=(x-7)\sqrt{x+2}. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=x+2+x−72x+2f'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x-7}{2\sqrt{x+2}}
=2x+2+x−72x+2=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}}
=3x−32x+2=\frac{3x-3}{2\sqrt{x+2}}
Show the answer and the solution

Answer: =2x+2+x−72x+2=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}} → =2(x+2)+x−72x+2=\frac{2(x+2)+x-7}{2\sqrt{x+2}}

Worked solution:

x+2⋅2x+2=2(x+2)\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2}=2(x+2)

מה שקורה במכנה משותף

2x+4+x−7=3x−32x+4+x-7=3x-3

ואז השורה השלישית נכונה

השורה השנייה. כדי להגיע למכנה 2x+22\sqrt{x+2} כופלים את x+2\sqrt{x+2} ב-2x+22\sqrt{x+2}, והשורש נעלם: 2(x+2)2(x+2).

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=(x2−9)x+1f(x)=(x^2-9)\sqrt{x+1} ולנגזרת שלה f′(x)f'(x) יש אותו תחום הגדרה, x≥−1x \geq -1.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=2xx+1+x2−92x+1f'(x)=2x\sqrt{x+1}+\frac{x^2-9}{2\sqrt{x+1}}

יש שורש במכנה

x=−1: 2x+1=0\begin{aligned}x &= -1: \ 2\sqrt{x+1} \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס

x2−9=−8≠0x^2-9=-8 \neq 0

והמונה לא

הטענה לא נכונה. f(−1)=0f(-1)=0, אבל f′(−1)f'(-1) לא מוגדרת. התחום של f′f' הוא x>−1x>-1: בלי הקצה.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

  • xx+3x\sqrt{x+3}
  • x3−xx\sqrt{3-x}
  • x+x+3x+\sqrt{x+3}
  • x2x+3x^2\sqrt{x+3}
  • 3x+62x+3\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}
  • 6−3x23−x\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}
  • x(5x+12)2x+3\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}
  • 1+12x+31+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}
Show the answer and the solution

Answer: xx+3x\sqrt{x+3} — 3x+62x+3\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}} · x3−xx\sqrt{3-x} — 6−3x23−x\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} · x+x+3x+\sqrt{x+3} — 1+12x+31+\frac{1}{2\sqrt{x+3}} · x2x+3x^2\sqrt{x+3} — x(5x+12)2x+3\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}

Worked solution:

(x3−x)′=2(3−x)−x23−x\left(x\sqrt{3-x}\right)'=\frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}}

המינוס מ-3−x3-x

(x2x+3)′=4x(x+3)+x22x+3\left(x^2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{4x(x+3)+x^2}{2\sqrt{x+3}}

2x2x כפול 2(x+3)2(x+3)

הסכום x+x+3x+\sqrt{x+3} הוא היחיד שנגזרתו אינה שבר אחד: בסכום אין כלל מכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=(x+a)x+4f(x)=(x+a)\sqrt{x+4}, ו-aa פרמטר. ידוע ש-f′(5)=4f'(5)=4. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2(x+4)+(x+a)2x+4=3x+8+a2x+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+4)+(x+a)}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{3x+8+a}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

גוזרים עם הפרמטר

f′(5)=23+a6=4 ⇒ a=1\begin{aligned}f'(5) &= \frac{23+a}{6} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים x=5x=5: 9=3\sqrt{9}=3

a=1a=1. שימו לב: הנתון הוא על הנגזרת. מי שמציב ב-ff פותר (5+a)⋅3=4(5+a) \cdot 3=4 ומקבל תשובה אחרת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade